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1.(2024·三门)甲、乙两位同学采用折叠的方法,判断两张四边形纸片是否为正方形。
甲:如图1进行两次折叠,每次折叠后折痕两侧部分能完全重合,故判断原四边形是正方形。
乙:如图2进行两次折叠,每次折叠后折痕两侧部分能完全重合,故判断原四边形是正方形。
下列判断正确的是 (
A.仅甲正确
B.仅乙正确
C.甲、乙均正确
D.甲、乙均错误
甲:如图1进行两次折叠,每次折叠后折痕两侧部分能完全重合,故判断原四边形是正方形。
乙:如图2进行两次折叠,每次折叠后折痕两侧部分能完全重合,故判断原四边形是正方形。
下列判断正确的是 (
D
)A.仅甲正确
B.仅乙正确
C.甲、乙均正确
D.甲、乙均错误
答案
1.D 解析:按照题图1折叠,可得原四边形的四边相等,只能判断原四边形为菱形;按照题图2折叠,可得原四边形的四个角相等,不能得四条边相等,只能判断原四边形为矩形。故甲、乙均错误。故选D。
解析
【分析】要判断甲、乙的结论是否正确，需分析他们的折叠操作能得到的图形性质：甲的两次折叠后，原四边形四边相等，只能判定为菱形，菱形不一定是正方形；乙的两次折叠后，原四边形四个角相等，只能判定为矩形，矩形不一定是正方形，因此两人的判断都错误。
【解析】
1. 分析甲的操作：
图1中，甲对原四边形进行两次折叠，每次折痕两侧完全重合，说明原四边形是轴对称图形，两次折叠后可得到原四边形的四条边相等，根据四边形判定，四边相等的四边形是菱形，但菱形的角不一定是直角，因此菱形不一定是正方形，故甲的判断错误。
2. 分析乙的操作：
图2中，乙对原四边形进行两次折叠，每次折痕两侧完全重合，两次折叠后可得到原四边形的四个角相等，根据四边形判定，四个角相等的四边形是矩形，但矩形的边不一定相等，因此矩形不一定是正方形，故乙的判断错误。
综上，甲、乙均错误，答案选D。
【答案】D
【知识点】轴对称性质、正方形判定、菱形判定、矩形判定
【点评】本题结合折叠的轴对称性质，考查特殊四边形的判定，需准确区分菱形、矩形、正方形的判定条件，避免因折叠得到的性质误判为正方形，属于易错题。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 分析甲的操作：
图1中，甲对原四边形进行两次折叠，每次折痕两侧完全重合，说明原四边形是轴对称图形，两次折叠后可得到原四边形的四条边相等，根据四边形判定，四边相等的四边形是菱形，但菱形的角不一定是直角，因此菱形不一定是正方形，故甲的判断错误。
2. 分析乙的操作：
图2中，乙对原四边形进行两次折叠，每次折痕两侧完全重合，两次折叠后可得到原四边形的四个角相等，根据四边形判定，四个角相等的四边形是矩形，但矩形的边不一定相等，因此矩形不一定是正方形，故乙的判断错误。
综上，甲、乙均错误，答案选D。
【答案】D
【知识点】轴对称性质、正方形判定、菱形判定、矩形判定
【点评】本题结合折叠的轴对称性质，考查特殊四边形的判定，需准确区分菱形、矩形、正方形的判定条件，避免因折叠得到的性质误判为正方形，属于易错题。
【难度系数】0.5
2.(2024·杭州拱墅)如图是正方形纸片ABCD,点E在边BC上(不与点B,C重合),连结DE。把四边形ADEB翻折,折痕为DE,点A,B分别落在点A',B'处。若AB=3,则点A'到点A的距离可能是（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2.C 解析:如图,连结AA',与DE相交于点O,由折叠的性质可知DE垂直且平分AA',所以AA'=2OA。在Rt△AOD中,OA=√(AD²-OD²)。因为点E在边BC上(不与点B,C重合),所以0＜OD＜3/2√2。因为AD=AB=3,所以3/2√2＜OA＜3,所以3√2＜AA'＜6。故选C。
解析
【分析】
要解决本题，需结合折叠的性质、正方形的性质，通过勾股定理分析线段的取值范围。首先，折叠后折痕DE是点A与A'的对称轴，因此DE垂直平分AA'，可得AA'与OA的关系；再根据正方形边长确定AD的长度，结合点E的位置确定OD的范围，进而推导AA'的范围，最终匹配选项。
【解析】
连结AA'，交DE于点O。
根据折叠的性质，折痕DE垂直平分线段AA'，因此AA' = 2OA，且∠AOD = 90°。
因为四边形ABCD是正方形，AB=3，所以AD=AB=3。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA = √(AD² - OD²) = √(9 - OD²)。
由于点E在边BC上（不与B、C重合），OD的取值范围是0 ＜ OD ＜ (3√2)/2（当E与C重合时，OD最大为正方形对角线AC的一半，即3√2/2，因E不与C重合，故OD小于该值）。
当OD趋近于0时，OA趋近于√9=3，AA'趋近于6；当OD趋近于(3√2)/2时，OA趋近于√(9 - (9×2)/4)= (3√2)/2，AA'趋近于3√2≈4.24。
因此，AA'的取值范围是3√2 ＜ AA' ＜ 6，即约4.24 ＜ AA' ＜ 6。
观察选项，只有5符合该范围，故选C。
【答案】C
【知识点】折叠的性质、正方形的性质、勾股定理
【点评】本题结合正方形的折叠变换，考查几何性质的综合应用，关键是确定线段OD的取值范围以推导AA'的范围，需学生灵活运用对称性与勾股定理，难度适中。
【难度系数】0.4
要解决本题，需结合折叠的性质、正方形的性质，通过勾股定理分析线段的取值范围。首先，折叠后折痕DE是点A与A'的对称轴，因此DE垂直平分AA'，可得AA'与OA的关系；再根据正方形边长确定AD的长度，结合点E的位置确定OD的范围，进而推导AA'的范围，最终匹配选项。
【解析】
连结AA'，交DE于点O。
根据折叠的性质，折痕DE垂直平分线段AA'，因此AA' = 2OA，且∠AOD = 90°。
因为四边形ABCD是正方形，AB=3，所以AD=AB=3。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA = √(AD² - OD²) = √(9 - OD²)。
由于点E在边BC上（不与B、C重合），OD的取值范围是0 ＜ OD ＜ (3√2)/2（当E与C重合时，OD最大为正方形对角线AC的一半，即3√2/2，因E不与C重合，故OD小于该值）。
当OD趋近于0时，OA趋近于√9=3，AA'趋近于6；当OD趋近于(3√2)/2时，OA趋近于√(9 - (9×2)/4)= (3√2)/2，AA'趋近于3√2≈4.24。
因此，AA'的取值范围是3√2 ＜ AA' ＜ 6，即约4.24 ＜ AA' ＜ 6。
观察选项，只有5符合该范围，故选C。
【答案】C
【知识点】折叠的性质、正方形的性质、勾股定理
【点评】本题结合正方形的折叠变换，考查几何性质的综合应用，关键是确定线段OD的取值范围以推导AA'的范围，需学生灵活运用对称性与勾股定理，难度适中。
【难度系数】0.4
3.(2024·温州)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AD,CD上的点,且$AE＜ED$,将矩形沿EF折叠,点D恰好落在边BC上的点G处,再将$△ ABE$沿BE折叠,点A恰好落在EG上的点H处。若$AB=1,AD=2$,则ED的长为 （
A.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{8}{5}$
D.$\frac{5}{3}$
D
）A.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{8}{5}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
3.D 解析:设ED=x,则AE=2-x,所以EH=2-x,HG=EG-EH=x-(2-x)=2x-2,又因为$S_{△ BEG}=\frac{1}{2}AB· BG=\frac{1}{2}BH· EG,BH=AB$,所以BG=EG=x,所以在$Rt△ BHG$中,有$1^2+(2x-2)^2=x^2$,解得x=1或$\frac{5}{3}$。又因为$AE＜ED$,所以$2-x＜x$,即$x＞1$,所以$x=\frac{5}{3}$。故选D。
解析
【分析】
本题是矩形折叠问题，解题思路为：设ED的长度为未知数，利用折叠的性质得到对应线段相等，结合矩形边长表示出相关线段的长度；再通过三角形面积关系或勾股定理建立方程，最后根据题目给出的AE＜ED的条件筛选出符合要求的解，从而得到ED的长度。
【解析】
设ED的长为$ x $，已知矩形$ ABCD $中$ AD=2 $，则$ AE = AD - ED = 2 - x $。
根据折叠的性质：
1. 将$ △ ABE $沿$ BE $折叠，点$ A $落在$ EG $上的$ H $处，因此$ EH = AE = 2 - x $，$ BH = AB = 1 $；
2. 将矩形沿$ EF $折叠，点$ D $落在$ BC $上的$ G $处，因此$ EG = ED = x $。
由此可得$ HG = EG - EH = x - (2 - x) = 2x - 2 $。
在矩形$ ABCD $中，$ AB ⊥ BC $，$ △ BEG $的面积可表示为$ \frac{1}{2} × BG × AB $，也可表示为$ \frac{1}{2} × EG × BH $，因此：
$ BG × AB = EG × BH $，代入$ AB=BH=1 $，得$ BG = EG = x $。
在$ Rt△ BHG $中，根据勾股定理$ BH^2 + HG^2 = BG^2 $，代入各线段长度：
$ 1^2 + (2x - 2)^2 = x^2 $
展开并整理方程：
$ 1 + 4x^2 - 8x + 4 = x^2 $
$ 3x^2 - 8x + 5 = 0 $
因式分解得$ (3x - 5)(x - 1) = 0 $，解得$ x = 1 $或$ x = \frac{5}{3} $。
根据题目条件$ AE ＜ ED $，即$ 2 - x ＜ x $，解得$ x ＞ 1 $，因此舍去$ x=1 $，得$ x = \frac{5}{3} $，即$ ED $的长为$ \frac{5}{3} $。
【答案】
D
【知识点】
矩形性质，折叠性质，勾股定理
【点评】
本题结合矩形的折叠性质，通过设未知数建立方程求解，关键在于利用折叠前后对应边相等的特点，结合勾股定理找到线段关系，同时需注意根据题目条件筛选解，属于中等难度的几何折叠问题。
【难度系数】
0.5
本题是矩形折叠问题，解题思路为：设ED的长度为未知数，利用折叠的性质得到对应线段相等，结合矩形边长表示出相关线段的长度；再通过三角形面积关系或勾股定理建立方程，最后根据题目给出的AE＜ED的条件筛选出符合要求的解，从而得到ED的长度。
【解析】
设ED的长为$ x $，已知矩形$ ABCD $中$ AD=2 $，则$ AE = AD - ED = 2 - x $。
根据折叠的性质：
1. 将$ △ ABE $沿$ BE $折叠，点$ A $落在$ EG $上的$ H $处，因此$ EH = AE = 2 - x $，$ BH = AB = 1 $；
2. 将矩形沿$ EF $折叠，点$ D $落在$ BC $上的$ G $处，因此$ EG = ED = x $。
由此可得$ HG = EG - EH = x - (2 - x) = 2x - 2 $。
在矩形$ ABCD $中，$ AB ⊥ BC $，$ △ BEG $的面积可表示为$ \frac{1}{2} × BG × AB $，也可表示为$ \frac{1}{2} × EG × BH $，因此：
$ BG × AB = EG × BH $，代入$ AB=BH=1 $，得$ BG = EG = x $。
在$ Rt△ BHG $中，根据勾股定理$ BH^2 + HG^2 = BG^2 $，代入各线段长度：
$ 1^2 + (2x - 2)^2 = x^2 $
展开并整理方程：
$ 1 + 4x^2 - 8x + 4 = x^2 $
$ 3x^2 - 8x + 5 = 0 $
因式分解得$ (3x - 5)(x - 1) = 0 $，解得$ x = 1 $或$ x = \frac{5}{3} $。
根据题目条件$ AE ＜ ED $，即$ 2 - x ＜ x $，解得$ x ＞ 1 $，因此舍去$ x=1 $，得$ x = \frac{5}{3} $，即$ ED $的长为$ \frac{5}{3} $。
【答案】
D
【知识点】
矩形性质，折叠性质，勾股定理
【点评】
本题结合矩形的折叠性质，通过设未知数建立方程求解，关键在于利用折叠前后对应边相等的特点，结合勾股定理找到线段关系，同时需注意根据题目条件筛选解，属于中等难度的几何折叠问题。
【难度系数】
0.5
