9. 如图,正方形ABCD的边长为1,将正方形ABCD绕点C顺时针旋转α到正方形A'B'CD',其中0°＜α＜90°,AD与A'B'相交于点E。
(1)如图1,求证:A'E=AE。
(2)如图2,当E是AD的中点时。
①求∠A'DD'的大小。
②求DD'的长。

9.(1)证明:如图1,连结AC,A'C,AA',易得AC=A'C,所以∠CAA'=∠CA'A,又因为∠CAD=∠CA'B'=45°,所以∠EAA'=∠EA'A,所以A'E=AE。(2)解:①如图2,连结CA,CA',AA',所以∠ACA'=α,则由(1)易得∠CAA'=∠CA'A=(180°−α)/2=90°−α/2,所以∠A'AD=∠CAN'−∠CAD=90°−α/2−45°=45°−α/2。由(1)得A'E=AE,所以A'E=ED,所以∠AA'D=90°,∠A'DA=90°−∠A'AD=90°−(45°−α/2)=45°+α/2。又因为∠ADC=90°,∠CDD'=∠CD'D=(180°−∠DCD')/2=90°−α/2。所以∠A'DD'=360°−∠A'DA−∠ADC−∠CDD'=360°−(45°+α/2)−90°−(90°−α/2)=135°。②如图2,延长A'D,并过点D'作D'H⊥A'D的延长线,垂足为H,设D'H=x,易证△A'AD≌△HA'D'(AAS),所以D'H=DA'=x,又因为∠A'DD'=135°,所以∠HDD'=45°,所以DH=D'H=x,所以在Rt△A'HD'中,有(2x)²+x²=1,解得x²=1/5,所以DD'=√10/5。

【分析】
本题为正方形旋转的几何综合题，解题思路：(1) 要证线段相等，可利用旋转性质得到对应边相等，构造等腰三角形，结合正方形的45°角推导角相等，进而证得A'E=AE；(2) 当E为AD中点时，利用(1)的结论得A'E=AE=ED，结合直角三角形性质推导角度关系，再通过旋转的等腰三角形和全等三角形计算DD'的长度。
【解析】
(1) 证明：如图1，连接AC、A'C。
∵ 正方形ABCD绕点C顺时针旋转得到正方形A'B'CD'，
∴ AC = A'C（正方形对角线相等，旋转后对应边相等），
∴ △ACA'为等腰三角形，∠CAA' = ∠CA'A。
又
∵ 正方形中∠CAD = ∠CA'B' = 45°，
∴ ∠CAA' - ∠CAD = ∠CA'A - ∠CA'B'，即∠EAA' = ∠EA'A，
∴ △EAA'为等腰三角形，故A'E = AE。
(2) 解：① 如图2，连接CA、CA'、AA'。
∵ E是AD中点，AD=1，
∴ AE=ED=1/2，
由(1)知A'E=AE，
∴ A'E=ED=1/2，
∴ 在△AA'D中，E是AD中点且A'E=ED，故∠AA'D=90°（直角三角形斜边中线逆定理），
∴ ∠A'DA = 90° - ∠A'AD。
又∠CA'A = (180° - ∠ACA')/2 = (180° - α)/2 = 90° - α/2，
∴ ∠A'AD = ∠CA'A - ∠CAD = (90° - α/2) - 45° = 45° - α/2，
∴ ∠A'DA = 90° - (45° - α/2) = 45° + α/2。
∵ CD=CD'，∠DCD'=α，
∴ △CDD'为等腰三角形，
∴ ∠CDD' = (180° - α)/2 = 90° - α/2。
又∠ADC=90°，
∴ ∠A'DD' = 360° - ∠A'DA - ∠ADC - ∠CDD' = 360° - (45° + α/2) - 90° - (90° - α/2) = 135°。
② 如图2，延长A'D，过点D'作D'H⊥A'D的延长线于H，设D'H=x。
∵ ∠A'DD'=135°，
∴ ∠HDD'=180° - 135°=45°，故DH=D'H=x。
由旋转性质得A'D'=AD=1，易证△A'AD≌△HA'D'（AAS），得A'D=D'H=x，
在Rt△A'HD'中，A'H = A'D + DH = x + x = 2x，
由勾股定理：A'H² + D'H² = A'D'²，即(2x)² + x² = 1，解得x²=1/5。
∴ DD' = √(DH² + D'H²) = √(x² + x²) = √(2*(1/5)) = √10/5。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ①∠A'DD'=135°；②DD'=√10/5
【知识点】
正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查正方形、旋转的性质，以及等腰三角形、直角三角形的相关知识，解题关键是利用旋转前后图形的全等性推导角度和边长关系，需要学生具备较强的逻辑推理和几何计算能力。
【难度系数】
0.5