1.综合与实践。
【课题学习】平行线的“等角转化”功能。
如图1,已知点A是BC外一点,联结AB,AC。求∠BAC+∠B+∠C的度数。
解:过点A作ED//BC,所以∠B=∠EAB,∠C=∠DAC。又因为∠BAC+∠EAB+∠DAC=180°,所以∠BAC+∠B+∠C=180°。
【问题解决】(1)阅读并补全上述推理过程。
【解题反思】从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决。
【方法运用】(2)如图2,已知AB//CD,BE,CE交于点E,∠BEC=80°,在图2的情况下求∠B－∠C的度数。
【拓展探究】(3)如图3,已知AB//CD,BF,CG分别平分∠ABE和∠DCE,且BF,CG所在直线交于点F,过点F作FH//AB,若∠BFC=36°,在图3的情况下求∠BEC的度数。

1.(1)∠EAB 180°
(2)解:如图1,过点E作EF//AB。因为AB//CD,所以CD//EF,所以∠FEC=∠C。因为EF//AB,所以∠B+∠BEF=180°,所以∠BEF=180°-∠B。因为∠BEC=80°,所以∠FEC+∠BEF=80°,所以∠C+180°-∠B=80°,所以∠B-∠C=180°-80°=100°。
(3)解:如图2,过点E作EM//AB。因为AB//CD,所以EM//CD,所以∠MEC=∠DCE。因为CG平分∠DCE,所以∠ECG=∠DCG。设∠ECG=∠DCG=α,则∠DCE=2α,所以∠MEC=2α。因为AB//CD,FH//AB,所以CD//FH,所以∠HFC=∠DCG=α。因为∠BFC=36°,所以∠BFH=∠BFC+∠HFC=36°+α。因为FH//AB,所以∠ABF=∠BFH=36°+α。因为BF平分∠ABE,所以∠ABE=2∠ABF=2(36°+α)=72°+2α。因为EM//AB,所以∠ABE+∠BEM=180°,所以∠BEM=180°-∠ABE=180°-(72°+2α)=108°-2α,所以∠BEC=∠BEM+∠MEC=108°-2α+2α=108°。

【分析】
本题是平行线“等角转化”的典型应用，核心方法为：遇到平行线间的拐点时，过拐点作已知直线的平行线，利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补）转化角，建立角的数量关系。第(1)问补全基础推理，第(2)问通过辅助线转化∠B与∠C的关系，第(3)问结合角平分线设参数，推导∠BEC的度数。
【解析】
(1) 过点A作ED//BC，根据平行线内错角相等，得∠B=∠EAB，∠C=∠DAC；又因为平角为180°，所以∠BAC+∠EAB+∠DAC=180°，因此∠BAC+∠B+∠C=180°，故补全为∠EAB、180°。
(2) 如图1，过点E作EF//AB。
∵ AB//CD，
∴ CD//EF（平行于同一直线的两直线平行），
∴ ∠FEC=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵ EF//AB，
∴ ∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠BEF=180°-∠B。
又
∵ ∠BEC=∠FEC+∠BEF=80°，
∴ ∠C + (180°-∠B)=80°，
整理得：∠B - ∠C=180°-80°=100°。
(3) 如图2，过点E作EM//AB。
∵ AB//CD，
∴ EM//CD，
∴ ∠MEC=∠DCE（两直线平行，内错角相等）。
∵ CG平分∠DCE，
∴ ∠ECG=∠DCG，设∠ECG=∠DCG=α，则∠DCE=2α，故∠MEC=2α。
∵ FH//AB，AB//CD，
∴ CD//FH，
∴ ∠HFC=∠DCG=α（两直线平行，内错角相等）。
已知∠BFC=36°，
∴ ∠BFH=∠BFC+∠HFC=36°+α。
∵ FH//AB，
∴ ∠ABF=∠BFH=36°+α（两直线平行，内错角相等）。
∵ BF平分∠ABE，
∴ ∠ABE=2∠ABF=2(36°+α)=72°+2α。
∵ EM//AB，
∴ ∠ABE+∠BEM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠BEM=180°-(72°+2α)=108°-2α。
因此∠BEC=∠BEM+∠MEC=(108°-2α)+2α=108°。
【答案】
(1) ∠EAB；180°
(2) ∠B - ∠C = 100°
(3) ∠BEC = 108°


【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题以平行线的“等角转化”为核心，通过拐点作平行线的辅助线方法，将分散的角转化为可计算的角，体现了几何解题的转化思想。题目层次分明，从基础补全到综合应用，考查学生对平行线性质和角平分线性质的掌握，以及辅助线的运用能力。
【难度系数】
0.5