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1. 下列分式中是最简分式的是 ()
A.$\frac{1 + x^{2}}{1 + x}$
B.$\frac{3b}{12a}$
C.$\frac{x^{2} - y^{2}}{y - x}$
D.$\frac{a^{2}}{2ab}$
A.$\frac{1 + x^{2}}{1 + x}$
B.$\frac{3b}{12a}$
C.$\frac{x^{2} - y^{2}}{y - x}$
D.$\frac{a^{2}}{2ab}$
答案
A
解析
A 选项：分子 $1 + x^{2}$ 与分母 $1 + x$ 没有公因式，所以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x}$ 是最简分式；
B 选项：分子 $3b$ 与分母 $12a$ 有公因式 $3$，可化简为 $\frac{b}{4a}$，不是最简分式；
C 选项：分子 $x^{2} - y^{2}=(x + y)(x - y)$，与分母 $y - x$ 有公因式 $x - y$（或 $y - x$），可化简为 $-x - y$，不是最简分式；
D 选项：分子 $a^{2}$ 与分母 $2ab$ 有公因式 $a$，可化简为 $\frac{a}{2b}$，不是最简分式。
2. 把分式$\frac{2ab}{3a - 4b}$的分子、分母中的$a$,$b$都扩大为原来的 3 倍,则分式的值 ()
A.不变
B.扩大为原来的 3 倍
C.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
D.扩大为原来的 9 倍
A.不变
B.扩大为原来的 3 倍
C.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
D.扩大为原来的 9 倍
答案
B
解析
将分子分母中的$a$和$b$都扩大为原来的3倍，即$a$变为$3a$，$b$变为$3b$，
分子变为$2 × (3a) × (3b) = 18ab$，
分母变为$3 × (3a) - 4 × (3b) = 9a - 12b = 3(3a - 4b)$，
新分式为$\frac{18ab}{3(3a - 4b)} = \frac{6ab}{3a - 4b} = 3 × \frac{2ab}{3a - 4b}$，
因此分式的值扩大为原来的3倍。
分子变为$2 × (3a) × (3b) = 18ab$，
分母变为$3 × (3a) - 4 × (3b) = 9a - 12b = 3(3a - 4b)$，
新分式为$\frac{18ab}{3(3a - 4b)} = \frac{6ab}{3a - 4b} = 3 × \frac{2ab}{3a - 4b}$，
因此分式的值扩大为原来的3倍。
3. 下列计算正确的是 ()
A.$2a^{3}·a^{2} = 2a^{6}$
B.$(-2a)^{3}÷b×\frac{1}{b} = -8a^{3}$
C.$(a^{3} + a^{2} + a)÷a = a^{2} + a$
D.$3a^{-2} = \frac{3}{a^{2}}$
A.$2a^{3}·a^{2} = 2a^{6}$
B.$(-2a)^{3}÷b×\frac{1}{b} = -8a^{3}$
C.$(a^{3} + a^{2} + a)÷a = a^{2} + a$
D.$3a^{-2} = \frac{3}{a^{2}}$
答案
D
解析
选项A：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$2a^{3}· a^{2}=2a^{3 + 2}=2a^{5}≠2a^{6}$，所以A选项错误。
选项B：先计算$(-2a)^{3}=-8a^{3}$，则$(-2a)^{3}÷ b×\frac{1}{b}=-8a^{3}×\frac{1}{b}×\frac{1}{b}=-\frac{8a^{3}}{b^{2}}≠ - 8a^{3}$，所以B选项错误。
选项C：根据多项式除以单项式，把多项式的每一项都分别除以这个单项式，$(a^{3}+a^{2}+a)÷ a=a^{3}÷ a + a^{2}÷ a+a÷ a=a^{2}+a + 1≠ a^{2}+a$，所以C选项错误。
选项D：根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$3a^{-2}=3×\frac{1}{a^{2}}=\frac{3}{a^{2}}$，所以D选项正确。
选项B：先计算$(-2a)^{3}=-8a^{3}$，则$(-2a)^{3}÷ b×\frac{1}{b}=-8a^{3}×\frac{1}{b}×\frac{1}{b}=-\frac{8a^{3}}{b^{2}}≠ - 8a^{3}$，所以B选项错误。
选项C：根据多项式除以单项式，把多项式的每一项都分别除以这个单项式，$(a^{3}+a^{2}+a)÷ a=a^{3}÷ a + a^{2}÷ a+a÷ a=a^{2}+a + 1≠ a^{2}+a$，所以C选项错误。
选项D：根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$3a^{-2}=3×\frac{1}{a^{2}}=\frac{3}{a^{2}}$，所以D选项正确。
4. 已知$A$为整式,若计算$\frac{A}{xy + y^{2}} - \frac{y}{x^{2} + xy}$的结果为$\frac{x - y}{xy}$,则$A =$ ()
A.$x$
B.$y$
C.$x + y$
D.$x - y$
A.$x$
B.$y$
C.$x + y$
D.$x - y$
答案
A
解析
先对分母因式分解：$xy + y^2 = y(x + y)$，$x^2 + xy = x(x + y)$，最简公分母为$xy(x + y)$。
左边通分后为$\frac{Ax - y^2}{xy(x + y)}$，右边$\frac{x - y}{xy} = \frac{(x - y)(x + y)}{xy(x + y)} = \frac{x^2 - y^2}{xy(x + y)}$。
由分子相等得$Ax - y^2 = x^2 - y^2$，即$Ax = x^2$，故$A = x$。
左边通分后为$\frac{Ax - y^2}{xy(x + y)}$，右边$\frac{x - y}{xy} = \frac{(x - y)(x + y)}{xy(x + y)} = \frac{x^2 - y^2}{xy(x + y)}$。
由分子相等得$Ax - y^2 = x^2 - y^2$，即$Ax = x^2$，故$A = x$。
5. 当$3m - n = 0$时,分式$(\frac{2}{m^{2} - mn} + \frac{1}{m^{2} + mn})÷\frac{1}{m^{2} - n^{2}}$的值为 ()
A.$-6$
B.$6$
C.$-12$
D.$12$
A.$-6$
B.$6$
C.$-12$
D.$12$
答案
B
解析
先化简分式，原式括号内通分：
$\begin{aligned}&\frac{2}{m^2 - mn} + \frac{1}{m^2 + mn}\\=&\frac{2}{m(m - n)} + \frac{1}{m(m + n)}\\=&\frac{2(m + n) + (m - n)}{m(m - n)(m + n)}\\=&\frac{2m + 2n + m - n}{m(m^2 - n^2)}\\=&\frac{3m + n}{m(m^2 - n^2)}\end{aligned}$
再算除法，除以$\frac{1}{m^2 - n^2}$即乘$m^2 - n^2$：
$\frac{3m + n}{m(m^2 - n^2)} × (m^2 - n^2) = \frac{3m + n}{m}$
由$3m - n = 0$得$n = 3m$，代入上式：
$\frac{3m + 3m}{m} = \frac{6m}{m} = 6$
$\begin{aligned}&\frac{2}{m^2 - mn} + \frac{1}{m^2 + mn}\\=&\frac{2}{m(m - n)} + \frac{1}{m(m + n)}\\=&\frac{2(m + n) + (m - n)}{m(m - n)(m + n)}\\=&\frac{2m + 2n + m - n}{m(m^2 - n^2)}\\=&\frac{3m + n}{m(m^2 - n^2)}\end{aligned}$
再算除法，除以$\frac{1}{m^2 - n^2}$即乘$m^2 - n^2$：
$\frac{3m + n}{m(m^2 - n^2)} × (m^2 - n^2) = \frac{3m + n}{m}$
由$3m - n = 0$得$n = 3m$，代入上式：
$\frac{3m + 3m}{m} = \frac{6m}{m} = 6$
二、填空题(每题 5 分,共 25 分)
6. 若分式$\frac{|x| - 1}{x - 1}$的值等于 0,则$x$等于.
6. 若分式$\frac{|x| - 1}{x - 1}$的值等于 0,则$x$等于.
答案
-1
解析
要使分式$\frac{|x| - 1}{x - 1}$的值为$0$，则分子$|x| - 1 = 0$且分母$x - 1 ≠ 0$。由$|x| - 1 = 0$得$|x| = 1$，即$x = \pm 1$。又因为$x - 1 ≠ 0$，所以$x ≠ 1$，故$x = -1$。
7. 如果$\frac{a}{b} = 2$,那么$\frac{a^{2} - ab - b^{2}}{a^{2} + b^{2}} =$.
答案
$\frac{1}{5}$
解析
因为$\frac{a}{b}=2$，所以设$a=2b$。将$a=2b$代入原式：
$\begin{aligned}\frac{(2b)^{2}-(2b)b - b^{2}}{(2b)^{2}+b^{2}}&=\frac{4b^{2}-2b^{2}-b^{2}}{4b^{2}+b^{2}}\\&=\frac{b^{2}}{5b^{2}}\\&=\frac{1}{5}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{(2b)^{2}-(2b)b - b^{2}}{(2b)^{2}+b^{2}}&=\frac{4b^{2}-2b^{2}-b^{2}}{4b^{2}+b^{2}}\\&=\frac{b^{2}}{5b^{2}}\\&=\frac{1}{5}\end{aligned}$
8. (2025·姜堰月考)若分式$\frac{3a + 2}{a - 1}$的值为正整数,且$a$也为正整数,则$a$的值为.
答案
2或6
解析
将分式$\frac{3a + 2}{a - 1}$变形为$3 + \frac{5}{a - 1}$。因为分式的值为正整数，所以$\frac{5}{a - 1}$必为整数，且$a - 1$是5的正因数。5的正因数为1和5，故$a - 1 = 1$或$a - 1 = 5$，解得$a = 2$或$a = 6$。
9. (溧阳期末)已知等式$\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$对任意正整数$n$都成立,计算$\frac{1}{1×2} + \frac{1}{2×3} + \frac{1}{3×4} + ··· + \frac{1}{m(m + 1)} =$.( $m$为正整数)
答案
$\frac{m}{m + 1}$
解析
根据题目给出的等式 $\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$，
将原式中的每一项都展开为这种形式：
$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \ldots + \frac{1}{m(m + 1)}$
$= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \ldots + (\frac{1}{m} - \frac{1}{m + 1})$
观察上式，可以发现从第二项开始，每两项都会相消，留下首项和末项：
$= 1 - \frac{1}{m + 1}$
$= \frac{m + 1 - 1}{m + 1}$
$= \frac{m}{m + 1}$
将原式中的每一项都展开为这种形式：
$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \ldots + \frac{1}{m(m + 1)}$
$= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \ldots + (\frac{1}{m} - \frac{1}{m + 1})$
观察上式，可以发现从第二项开始，每两项都会相消，留下首项和末项：
$= 1 - \frac{1}{m + 1}$
$= \frac{m + 1 - 1}{m + 1}$
$= \frac{m}{m + 1}$
10. (2025·南师大附中月考)$a$,$b$,$c$为三个不同的非零实数,已知$2b = a + c$,$a^{2} = bc$,则$\frac{a^{2} + c^{2}}{b^{2}}$的值为.
答案
20
解析
由2b = a + c得c = 2b - a，代入a² = bc得a² = b(2b - a)，整理得a² + ab - 2b² = 0，因式分解得(a + 2b)(a - b) = 0，解得a = -2b或a = b。因a，b，c不同，a = b时c = b（舍去），故a = -2b，代入c = 2b - a得c = 4b。则a² = 4b²，c² = 16b²，所以(a² + c²)/b² = (4b² + 16b²)/b² = 20。
