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三、解答题(共 50 分)
11. (20 分)化简:
(1)$\frac{a}{bc^{2}}·(-\frac{bc}{2a})$;
(2)$\frac{2a}{a - 1} - \frac{a + 1}{a - 1}$;
(3)$\frac{m - 15}{m^{2} - 9} + \frac{2}{m - 3}$;
(4)$(1 - \frac{1}{a - 1})÷\frac{a^{2} - 4a + 4}{a^{2} - a}$.
11. (20 分)化简:
(1)$\frac{a}{bc^{2}}·(-\frac{bc}{2a})$;
(2)$\frac{2a}{a - 1} - \frac{a + 1}{a - 1}$;
(3)$\frac{m - 15}{m^{2} - 9} + \frac{2}{m - 3}$;
(4)$(1 - \frac{1}{a - 1})÷\frac{a^{2} - 4a + 4}{a^{2} - a}$.
答案
1
解析
(2) 对于表达式 $\frac{2a}{a - 1} - \frac{a + 1}{a - 1}$，
由于两个分式的分母相同，可以直接进行分子的加减运算：
$\frac{2a}{a - 1} - \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{2a - (a + 1)}{a - 1} = \frac{a - 1}{a - 1} = 1$
由于两个分式的分母相同，可以直接进行分子的加减运算：
$\frac{2a}{a - 1} - \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{2a - (a + 1)}{a - 1} = \frac{a - 1}{a - 1} = 1$
12. (10 分)(2025·烟台)先化简,再求值:$(2 + m + \frac{4}{m - 2})÷\frac{m}{3m - 6}$,其中$m = (-1)^{2025}$.
答案
-3
解析
化简过程：
$\begin{aligned}&(2 + m + \frac{4}{m - 2})÷\frac{m}{3m - 6}\\=&(\frac{(m + 2)(m - 2)}{m - 2} + \frac{4}{m - 2})÷\frac{m}{3(m - 2)}\\=&\frac{m^2 - 4 + 4}{m - 2} · \frac{3(m - 2)}{m}\\=&\frac{m^2}{m - 2} · \frac{3(m - 2)}{m}\\=&3m\end{aligned}$
求值：
$m = (-1)^{2025} = -1$，代入得：$3m = 3×(-1) = -3$
$\begin{aligned}&(2 + m + \frac{4}{m - 2})÷\frac{m}{3m - 6}\\=&(\frac{(m + 2)(m - 2)}{m - 2} + \frac{4}{m - 2})÷\frac{m}{3(m - 2)}\\=&\frac{m^2 - 4 + 4}{m - 2} · \frac{3(m - 2)}{m}\\=&\frac{m^2}{m - 2} · \frac{3(m - 2)}{m}\\=&3m\end{aligned}$
求值：
$m = (-1)^{2025} = -1$，代入得：$3m = 3×(-1) = -3$
13. (10 分)观察等式:$\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$,$\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$,$\frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20}······$
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论;(用含$n$的等式表示,$n$为正整数)
(2)请运用分式的有关知识,推理说明这个结论是正确的.
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论;(用含$n$的等式表示,$n$为正整数)
(2)请运用分式的有关知识,推理说明这个结论是正确的.
答案
(1)
观察给出的等式可得：$\frac{1}{n}=\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n(n + 1)}$（$n$为正整数）。
(2)
推理过程如下：
右边$=\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n(n + 1)}$
$=\frac{n}{n(n + 1)}+\frac{1}{n(n + 1)}$
$=\frac{n + 1}{n(n + 1)}$
$=\frac{1}{n}=$左边
所以$\frac{1}{n}=\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n(n + 1)}$（$n$为正整数）这个结论是正确的。
观察给出的等式可得：$\frac{1}{n}=\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n(n + 1)}$（$n$为正整数）。
(2)
推理过程如下：
右边$=\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n(n + 1)}$
$=\frac{n}{n(n + 1)}+\frac{1}{n(n + 1)}$
$=\frac{n + 1}{n(n + 1)}$
$=\frac{1}{n}=$左边
所以$\frac{1}{n}=\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n(n + 1)}$（$n$为正整数）这个结论是正确的。
14. (10 分)已知$A$,$B$两地相距$a$ km,甲、乙两人分别从$A$,$B$两地同时匀速出发. 若相向而行,则经过$a$ min 后两人相遇;若同向而行,则经过$b(b ＞ a)$min 后甲追上乙.
(1)试用含$a$,$b$的代数式表示甲、乙两人的速度$v_{甲}$,$v_{乙}$;
(2)若$\frac{v_{甲}}{v_{乙}} = \frac{7}{3}$,求$\frac{a}{b}$的值.
(1)试用含$a$,$b$的代数式表示甲、乙两人的速度$v_{甲}$,$v_{乙}$;
(2)若$\frac{v_{甲}}{v_{乙}} = \frac{7}{3}$,求$\frac{a}{b}$的值.
答案
(1)$v_{甲}=\frac{b + a}{2b}$,$v_{乙}=\frac{b - a}{2b}$；
(2)$\frac{2}{5}$。
(2)$\frac{2}{5}$。
解析
(1)
当相向而行时，根据路程$=$速度$×$时间，可得$a(v_{甲} + v_{乙})=a×1（因为a km，a min 相遇，速度单位转换后相乘路程为 a（km·(km/min 转换后实际是数值运算) ），这里可理解为数值关系）$，即$v_{甲} + v_{乙}=\frac{a}{a} = 1$（km/min 相关的数值，实际速度单位可理解为 km/min 下的数值）。
当同向而行时，$b v_{甲}-b v_{乙}=a$，即$v_{甲} - v_{乙}=\frac{a}{b}$。
联立$\begin{cases}v_{甲} + v_{乙}=1\\v_{甲} - v_{乙}=\frac{a}{b}\end{cases}$
将两式相加得$2v_{甲}=1+\frac{a}{b}$，所以$v_{甲}=\frac{b + a}{2b}$。
两式相减得$2v_{乙}=1-\frac{a}{b}$，所以$v_{乙}=\frac{b - a}{2b}$。
(2)
因为$\frac{v_{甲}}{v_{乙}} = \frac{7}{3}$，即$\frac{\frac{b + a}{2b}}{\frac{b - a}{2b}} = \frac{7}{3}$。
$\frac{b + a}{b - a}=\frac{7}{3}$
$3(b + a)=7(b - a)$
$3b+3a = 7b-7a$
$3a + 7a=7b - 3b$
$10a = 4b$
$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$
当相向而行时，根据路程$=$速度$×$时间，可得$a(v_{甲} + v_{乙})=a×1（因为a km，a min 相遇，速度单位转换后相乘路程为 a（km·(km/min 转换后实际是数值运算) ），这里可理解为数值关系）$，即$v_{甲} + v_{乙}=\frac{a}{a} = 1$（km/min 相关的数值，实际速度单位可理解为 km/min 下的数值）。
当同向而行时，$b v_{甲}-b v_{乙}=a$，即$v_{甲} - v_{乙}=\frac{a}{b}$。
联立$\begin{cases}v_{甲} + v_{乙}=1\\v_{甲} - v_{乙}=\frac{a}{b}\end{cases}$
将两式相加得$2v_{甲}=1+\frac{a}{b}$，所以$v_{甲}=\frac{b + a}{2b}$。
两式相减得$2v_{乙}=1-\frac{a}{b}$，所以$v_{乙}=\frac{b - a}{2b}$。
(2)
因为$\frac{v_{甲}}{v_{乙}} = \frac{7}{3}$，即$\frac{\frac{b + a}{2b}}{\frac{b - a}{2b}} = \frac{7}{3}$。
$\frac{b + a}{b - a}=\frac{7}{3}$
$3(b + a)=7(b - a)$
$3b+3a = 7b-7a$
$3a + 7a=7b - 3b$
$10a = 4b$
$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$
