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4. (★★)已知 $x^2 + 2y + 1 = 0$, 求代数式 $(2x^2 + 4y)x^2 - 4y + 8$ 的值.
答案
解：
由$x^2 + 2y + 1 = 0$，可得$x^2 + 2y = -1$。
对所求代数式变形：
$\begin{aligned}&(2x^2 + 4y)x^2 - 4y + 8\\=&2(x^2 + 2y)· x^2 -4y +8\end{aligned}$
将$x^2+2y=-1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-1)· x^2 -4y +8\\&=-2x^2 -4y +8\\&=-2(x^2 + 2y) +8\end{aligned}$
再次将$x^2+2y=-1$代入：
$\mathrm{原式}=-2×(-1) +8=2+8=10$
最终代数式的值为$\boldsymbol{10}$。
由$x^2 + 2y + 1 = 0$，可得$x^2 + 2y = -1$。
对所求代数式变形：
$\begin{aligned}&(2x^2 + 4y)x^2 - 4y + 8\\=&2(x^2 + 2y)· x^2 -4y +8\end{aligned}$
将$x^2+2y=-1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-1)· x^2 -4y +8\\&=-2x^2 -4y +8\\&=-2(x^2 + 2y) +8\end{aligned}$
再次将$x^2+2y=-1$代入：
$\mathrm{原式}=-2×(-1) +8=2+8=10$
最终代数式的值为$\boldsymbol{10}$。
解析
【分析】
本题给出的是含两个未知数的方程，无法直接求出x、y的具体值，因此考虑用整体代入法求解。首先从已知等式整理得出$x^2+2y$的整体值，再观察所求代数式的结构，通过提公因式将代数式变形为含有$x^2+2y$的形式，分两次代入整体值即可算出结果。
【解析】
解：由$x^2 + 2y + 1 = 0$，可得$x^2 + 2y = -1$。
对所求代数式变形：
$\begin{aligned}&(2x^2 + 4y)x^2 - 4y + 8\\=&2(x^2 + 2y)· x^2 -4y +8\end{aligned}$
将$x^2+2y=-1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-1)· x^2 -4y +8\\&=-2x^2 -4y +8\\&=-2(x^2 + 2y) +8\end{aligned}$
再次将$x^2+2y=-1$代入：
$\mathrm{原式}=-2×(-1) +8=2+8=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
整式的化简求值、整体代入思想、提公因式法
【点评】
本题是整式求值的典型题型，核心考查整体代入思想的应用，无需计算单个未知数的取值，只需通过提公因式对所求代数式变形，凑出已知的整体代数式后代入计算即可，能有效简化运算步骤。
【难度系数】
0.7
本题给出的是含两个未知数的方程，无法直接求出x、y的具体值，因此考虑用整体代入法求解。首先从已知等式整理得出$x^2+2y$的整体值，再观察所求代数式的结构，通过提公因式将代数式变形为含有$x^2+2y$的形式，分两次代入整体值即可算出结果。
【解析】
解：由$x^2 + 2y + 1 = 0$，可得$x^2 + 2y = -1$。
对所求代数式变形：
$\begin{aligned}&(2x^2 + 4y)x^2 - 4y + 8\\=&2(x^2 + 2y)· x^2 -4y +8\end{aligned}$
将$x^2+2y=-1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-1)· x^2 -4y +8\\&=-2x^2 -4y +8\\&=-2(x^2 + 2y) +8\end{aligned}$
再次将$x^2+2y=-1$代入：
$\mathrm{原式}=-2×(-1) +8=2+8=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
整式的化简求值、整体代入思想、提公因式法
【点评】
本题是整式求值的典型题型，核心考查整体代入思想的应用，无需计算单个未知数的取值，只需通过提公因式对所求代数式变形，凑出已知的整体代数式后代入计算即可，能有效简化运算步骤。
【难度系数】
0.7
5. (★★★)已知$x^2 - 2x^2y = 3$，$2x^2y - y^2 = 5$，$y^2 - xy^2 = 10$，求代数式$(x^2 - y^2) + (2x^2y - xy^2) - (2x^2y - y^2)$的值。
答案
解：先对所求代数式化简：
$\begin{aligned}&(x^2 - y^2) + (2x^2y - xy^2) - (2x^2y - y^2)\\=&x^2 - y^2 + 2x^2y - xy^2 - 2x^2y + y^2\\=&x^2 - xy^2\end{aligned}$
已知：
$x^2 - 2x^2y = 3$，$2x^2y - y^2 = 5$，$y^2 - xy^2 = 10$
将三个等式左右两边分别相加：
$\begin{aligned}(x^2 - 2x^2y)+(2x^2y - y^2)+(y^2 - xy^2)&=3+5+10\\x^2 - xy^2&=18\end{aligned}$
所以原代数式的值为18。
$\begin{aligned}&(x^2 - y^2) + (2x^2y - xy^2) - (2x^2y - y^2)\\=&x^2 - y^2 + 2x^2y - xy^2 - 2x^2y + y^2\\=&x^2 - xy^2\end{aligned}$
已知：
$x^2 - 2x^2y = 3$，$2x^2y - y^2 = 5$，$y^2 - xy^2 = 10$
将三个等式左右两边分别相加：
$\begin{aligned}(x^2 - 2x^2y)+(2x^2y - y^2)+(y^2 - xy^2)&=3+5+10\\x^2 - xy^2&=18\end{aligned}$
所以原代数式的值为18。
解析
【分析】
遇到整式求值类题目，首先要先化简所求代数式来减少计算量。第一步先对所求式子去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，再合并同类项得到最简结果；观察最简结果的结构，再对照给出的三个已知等式，将三个等式左右两边分别相加，中间的同类项会相互抵消，刚好得到化简后的式子，直接计算右边的和就能得到结果，不需要单独求出x、y的值，用整体思想求解更简便。
【解析】
先对所求代数式去括号、合并同类项化简：
$\begin{aligned}&(x^2 - y^2) + (2x^2y - xy^2) - (2x^2y - y^2)\\=&x^2 - y^2 + 2x^2y - xy^2 - 2x^2y + y^2\\=&x^2 - xy^2\end{aligned}$
已知三个等式：
$x^2 - 2x^2y = 3$①，$2x^2y - y^2 = 5$②，$y^2 - xy^2 = 10$③
将①②③三个等式左右两边分别相加：
$\begin{aligned}(x^2 - 2x^2y)+(2x^2y - y^2)+(y^2 - xy^2)&=3+5+10\\x^2 - xy^2&=18\end{aligned}$
因此原代数式的值为18。
【答案】
18
【知识点】
整式的加减，合并同类项，整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，解题核心是先化简所求代数式，再利用整体思想将已知条件叠加，抵消中间项后直接得到所求代数式的值，避免了求解单个未知数的繁琐过程，很好地考查了整式运算能力和整体思维。
【难度系数】
0.6
遇到整式求值类题目，首先要先化简所求代数式来减少计算量。第一步先对所求式子去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，再合并同类项得到最简结果；观察最简结果的结构，再对照给出的三个已知等式，将三个等式左右两边分别相加，中间的同类项会相互抵消，刚好得到化简后的式子，直接计算右边的和就能得到结果，不需要单独求出x、y的值，用整体思想求解更简便。
【解析】
先对所求代数式去括号、合并同类项化简：
$\begin{aligned}&(x^2 - y^2) + (2x^2y - xy^2) - (2x^2y - y^2)\\=&x^2 - y^2 + 2x^2y - xy^2 - 2x^2y + y^2\\=&x^2 - xy^2\end{aligned}$
已知三个等式：
$x^2 - 2x^2y = 3$①，$2x^2y - y^2 = 5$②，$y^2 - xy^2 = 10$③
将①②③三个等式左右两边分别相加：
$\begin{aligned}(x^2 - 2x^2y)+(2x^2y - y^2)+(y^2 - xy^2)&=3+5+10\\x^2 - xy^2&=18\end{aligned}$
因此原代数式的值为18。
【答案】
18
【知识点】
整式的加减，合并同类项，整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，解题核心是先化简所求代数式，再利用整体思想将已知条件叠加，抵消中间项后直接得到所求代数式的值，避免了求解单个未知数的繁琐过程，很好地考查了整式运算能力和整体思维。
【难度系数】
0.6
6. (★★)已知a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示.
(1)$a-b$ $0$,$b-c$ $0$,$b+c$ $0$. (填“＞”或“＜”)
(2)化简:$|b+c|-|a-b|-|b-c|$.
(1)$a-b$ $0$,$b-c$ $0$,$b+c$ $0$. (填“＞”或“＜”)
(2)化简:$|b+c|-|a-b|-|b-c|$.
答案
解：
(1) 由数轴可知$a＜0＜b＜c$，
可得$a-b＜0$，$b-c＜0$，$b+c＞0$，
故依次填入：$＜$，$＜$，$＞$。
(2) 由题意得$b+c＞0$，$a-b＜0$，$b-c＜0$，
根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，可得
$|b+c|=b+c$，$|a-b|=-(a-b)=b-a$，$|b-c|=-(b-c)=c-b$，
代入原式得：
$\begin{aligned}|b+c|-|a-b|-|b-c|&=(b+c)-(b-a)-(c-b)\\&=b+c-b+a-c+b\\&=a+b\end{aligned}$
最终化简结果为$a+b$。
(1) 由数轴可知$a＜0＜b＜c$，
可得$a-b＜0$，$b-c＜0$，$b+c＞0$，
故依次填入：$＜$，$＜$，$＞$。
(2) 由题意得$b+c＞0$，$a-b＜0$，$b-c＜0$，
根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，可得
$|b+c|=b+c$，$|a-b|=-(a-b)=b-a$，$|b-c|=-(b-c)=c-b$，
代入原式得：
$\begin{aligned}|b+c|-|a-b|-|b-c|&=(b+c)-(b-a)-(c-b)\\&=b+c-b+a-c+b\\&=a+b\end{aligned}$
最终化简结果为$a+b$。
解析
【分析】
首先观察数轴可得$a＜0＜b＜c$的大小关系。(1)判断式子与0的大小关系时，两个数相减，较小的数减较大的数结果为负，较大的数减较小的数结果为正；两个正数相加结果为正，据此可判断三个式子的符号。(2)化简含绝对值的整式时，先根据(1)中得到的各绝对值内式子的正负，结合“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，再去括号、合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
(1) 由数轴可知$a＜0＜b＜c$，
因为$a$小于$b$，所以$a-b＜0$；因为$b$小于$c$，所以$b-c＜0$；因为$b$、$c$均为正数，所以$b+c＞0$。
(2) 根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，可得：
$|b+c|=b+c$，$|a-b|=-(a-b)=b-a$，$|b-c|=-(b-c)=c-b$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}|b+c|-|a-b|-|b-c|&=(b+c)-(b-a)-(c-b)\\&=b+c-b+a-c+b\\&=a+b\end{aligned}$
【答案】
(1) $＜$，$＜$，$＞$；(2) $a+b$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题是数轴与整式化简的结合类常考题，解题关键是先通过数轴确定数的大小关系，判断绝对值内表达式的正负，再正确运用绝对值性质去符号后合并同类项，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴可得$a＜0＜b＜c$的大小关系。(1)判断式子与0的大小关系时，两个数相减，较小的数减较大的数结果为负，较大的数减较小的数结果为正；两个正数相加结果为正，据此可判断三个式子的符号。(2)化简含绝对值的整式时，先根据(1)中得到的各绝对值内式子的正负，结合“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，再去括号、合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
(1) 由数轴可知$a＜0＜b＜c$，
因为$a$小于$b$，所以$a-b＜0$；因为$b$小于$c$，所以$b-c＜0$；因为$b$、$c$均为正数，所以$b+c＞0$。
(2) 根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，可得：
$|b+c|=b+c$，$|a-b|=-(a-b)=b-a$，$|b-c|=-(b-c)=c-b$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}|b+c|-|a-b|-|b-c|&=(b+c)-(b-a)-(c-b)\\&=b+c-b+a-c+b\\&=a+b\end{aligned}$
【答案】
(1) $＜$，$＜$，$＞$；(2) $a+b$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题是数轴与整式化简的结合类常考题，解题关键是先通过数轴确定数的大小关系，判断绝对值内表达式的正负，再正确运用绝对值性质去符号后合并同类项，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
7.(★★)已知有理数$a,b,c$在数轴上对应点的位置如图所示.
化简:$|a-c|-|b+c|+|b+a|.$
化简:$|a-c|-|b+c|+|b+a|.$
答案
解：
由数轴可知：$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＞ |c|$，
因此可得：$a - c ＜ 0$，$b + c ＜ 0$，$b + a ＜ 0$。
根据绝对值的性质去绝对值符号：
$\begin{aligned}|a-c|-|b+c|+|b+a|&= -(a-c) + (b+c) - (b+a)\\&= -a + c + b + c - b - a\\&= 2c - 2a\end{aligned}$
最终化简结果为$\boldsymbol{2c-2a}$。
由数轴可知：$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＞ |c|$，
因此可得：$a - c ＜ 0$，$b + c ＜ 0$，$b + a ＜ 0$。
根据绝对值的性质去绝对值符号：
$\begin{aligned}|a-c|-|b+c|+|b+a|&= -(a-c) + (b+c) - (b+a)\\&= -a + c + b + c - b - a\\&= 2c - 2a\end{aligned}$
最终化简结果为$\boldsymbol{2c-2a}$。
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定数的大小关系：数轴上右侧的数总大于左侧的数，可得$b＜a＜0＜c$，且$b$到原点的距离大于$c$到原点的距离，即$|b|＞|c|$。接下来判断每个绝对值内代数式的正负：小数减大数结果为负，两数相加时负数的绝对值更大则和为负，两个负数相加和为负，据此可判断$a-c$、$b+c$、$b+a$均为负数。再根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值符号，最后去括号、合并同类项即可完成化简。
【解析】
解：由数轴可知：$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＞ |c|$，
因此可得：$a - c ＜ 0$，$b + c ＜ 0$，$b + a ＜ 0$。
根据绝对值的性质去绝对值符号：
$\begin{aligned}|a-c|-|b+c|+|b+a|&= -(a-c) + (b+c) - (b+a)\\&= -a + c + b + c - b - a\\&= 2c - 2a\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{2c-2a}$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题是数轴、绝对值与整式化简结合的典型题型，解题的关键是借助数轴准确判断绝对值内表达式的正负，计算时要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察数轴确定数的大小关系：数轴上右侧的数总大于左侧的数，可得$b＜a＜0＜c$，且$b$到原点的距离大于$c$到原点的距离，即$|b|＞|c|$。接下来判断每个绝对值内代数式的正负：小数减大数结果为负，两数相加时负数的绝对值更大则和为负，两个负数相加和为负，据此可判断$a-c$、$b+c$、$b+a$均为负数。再根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值符号，最后去括号、合并同类项即可完成化简。
【解析】
解：由数轴可知：$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＞ |c|$，
因此可得：$a - c ＜ 0$，$b + c ＜ 0$，$b + a ＜ 0$。
根据绝对值的性质去绝对值符号：
$\begin{aligned}|a-c|-|b+c|+|b+a|&= -(a-c) + (b+c) - (b+a)\\&= -a + c + b + c - b - a\\&= 2c - 2a\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{2c-2a}$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题是数轴、绝对值与整式化简结合的典型题型，解题的关键是借助数轴准确判断绝对值内表达式的正负，计算时要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.6
