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【例1】取一些等长的磁力棒，用3根磁力棒能组成一个等边三角形，用6根磁力棒能组成4个等边三角形，如图.
(1)用9根磁力棒最多能组成多少个等边三角形？说说你的拼接方法.
(2)用n根磁力棒最多能组成多少个等边三角形？
(1)用9根磁力棒最多能组成多少个等边三角形？说说你的拼接方法.
(2)用n根磁力棒最多能组成多少个等边三角形？
答案
解：
(1) 用9根磁力棒最多能组成7个等边三角形。
拼接方法：搭建空间立体图形，将两个全等的正四面体共用一个等边三角形的面拼接，总磁力棒使用量为$6+6-3=9$根，共得到7个等边三角形。
(2) 观察已知条件：
当$n=3$时，最多组成1个等边三角形，满足$1=3-2$；
当$n=6$时，最多组成4个等边三角形，满足$4=6-2$；
当$n=9$时，最多组成7个等边三角形，满足$7=9-2$。
每新增3根磁力棒，最多可新增3个等边三角形，以此类推，对于不小于3的正整数$n$，用$n$根磁力棒最多能组成$(n-2)$个等边三角形。
(1) 用9根磁力棒最多能组成7个等边三角形。
拼接方法：搭建空间立体图形，将两个全等的正四面体共用一个等边三角形的面拼接，总磁力棒使用量为$6+6-3=9$根，共得到7个等边三角形。
(2) 观察已知条件：
当$n=3$时，最多组成1个等边三角形，满足$1=3-2$；
当$n=6$时，最多组成4个等边三角形，满足$4=6-2$；
当$n=9$时，最多组成7个等边三角形，满足$7=9-2$。
每新增3根磁力棒，最多可新增3个等边三角形，以此类推，对于不小于3的正整数$n$，用$n$根磁力棒最多能组成$(n-2)$个等边三角形。
解析
【分析】
解决本题核心思路是优先让多个等边三角形共用边或面，减少磁力棒重复使用，以获得最多的三角形数量。
(1) 已知6根磁力棒拼空间正四面体得到的三角形数量远多于平面拼接，因此9根磁力棒也优先考虑空间拼接：在单个正四面体的基础上，新增一个正四面体，让两个正四面体共用一个面（该面的3根磁力棒重复使用），刚好消耗9根磁力棒，再统计总三角形数即可。
(2) 属于规律探究题，先整理已知的磁力棒数量和对应最多三角形数的几组数据，观察数据的变化规律，即可归纳出通用表达式。
【解析】
(1) 若仅在平面拼接，9根磁力棒最多拼出边长为2的大等边三角形，仅能得到5个等边三角形，数量较少。
选择空间拼接：搭建两个全等的正四面体，将其中一个等边三角形面完全重合拼接，重合面的3根磁力棒为两个正四面体共用，总使用磁力棒数量为$6+6-3=9$根。单个正四面体有4个等边三角形，两个正四面体共8个，减去重合的1个重复计算的面，总共有$8-1=7$个等边三角形，数量多于平面拼接的结果。
(2) 整理已知数据找规律：
当$n=3$时，最多组成1个等边三角形，满足$1=3-2$；
当$n=6$时，最多组成4个等边三角形，满足$4=6-2$；
当$n=9$时，最多组成7个等边三角形，满足$7=9-2$。
可发现每新增3根磁力棒，最多可新增3个等边三角形，因此可归纳出通用规律。
【答案】
(1) 用9根磁力棒最多能组成7个等边三角形。拼接方法：搭建两个全等的正四面体，将它们的一个等边三角形面共用拼接，总磁力棒使用量为9根，共得到7个等边三角形。
(2) 对于不小于3且为3的正整数倍的$n$，用$n$根磁力棒最多能组成$(n-2)$个等边三角形。
【知识点】
图形规律探究，正四面体的特征，归纳推理
【点评】
本题突破了平面拼接的思维定式，需要学生从空间角度思考最优拼接方案，同时考查了数据观察、归纳总结的能力，有助于锻炼发散思维。
【难度系数】
0.3
解决本题核心思路是优先让多个等边三角形共用边或面，减少磁力棒重复使用，以获得最多的三角形数量。
(1) 已知6根磁力棒拼空间正四面体得到的三角形数量远多于平面拼接，因此9根磁力棒也优先考虑空间拼接：在单个正四面体的基础上，新增一个正四面体，让两个正四面体共用一个面（该面的3根磁力棒重复使用），刚好消耗9根磁力棒，再统计总三角形数即可。
(2) 属于规律探究题，先整理已知的磁力棒数量和对应最多三角形数的几组数据，观察数据的变化规律，即可归纳出通用表达式。
【解析】
(1) 若仅在平面拼接，9根磁力棒最多拼出边长为2的大等边三角形，仅能得到5个等边三角形，数量较少。
选择空间拼接：搭建两个全等的正四面体，将其中一个等边三角形面完全重合拼接，重合面的3根磁力棒为两个正四面体共用，总使用磁力棒数量为$6+6-3=9$根。单个正四面体有4个等边三角形，两个正四面体共8个，减去重合的1个重复计算的面，总共有$8-1=7$个等边三角形，数量多于平面拼接的结果。
(2) 整理已知数据找规律：
当$n=3$时，最多组成1个等边三角形，满足$1=3-2$；
当$n=6$时，最多组成4个等边三角形，满足$4=6-2$；
当$n=9$时，最多组成7个等边三角形，满足$7=9-2$。
可发现每新增3根磁力棒，最多可新增3个等边三角形，因此可归纳出通用规律。
【答案】
(1) 用9根磁力棒最多能组成7个等边三角形。拼接方法：搭建两个全等的正四面体，将它们的一个等边三角形面共用拼接，总磁力棒使用量为9根，共得到7个等边三角形。
(2) 对于不小于3且为3的正整数倍的$n$，用$n$根磁力棒最多能组成$(n-2)$个等边三角形。
【知识点】
图形规律探究，正四面体的特征，归纳推理
【点评】
本题突破了平面拼接的思维定式，需要学生从空间角度思考最优拼接方案，同时考查了数据观察、归纳总结的能力，有助于锻炼发散思维。
【难度系数】
0.3
【例2】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形,叫作多边形的三角剖分.如图是七边形的三角剖分的其中四种方法：
(1)试着将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分,分别能剖分出多少个三角形?
(2)将一个四边形进行三角剖分,有多少种三角剖分方法?五边形呢?请画图表示不同的三角剖分方法.
(3)已知$n$边形的不同的三角剖分方法数$(D_n)$满足公式:$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}(n≥3,D_3=1)$,请你利用上述公式,验证你前面得到的结果,并计算六边形、七边形的三角剖分方法数.
(1)试着将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分,分别能剖分出多少个三角形?
(2)将一个四边形进行三角剖分,有多少种三角剖分方法?五边形呢?请画图表示不同的三角剖分方法.
(3)已知$n$边形的不同的三角剖分方法数$(D_n)$满足公式:$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}(n≥3,D_3=1)$,请你利用上述公式,验证你前面得到的结果,并计算六边形、七边形的三角剖分方法数.
答案
解：
(1) 四边形三角剖分可得到2个三角形，五边形三角剖分可得到3个三角形，六边形三角剖分可得到4个三角形。
(2) 四边形的三角剖分共有2种方法：分别连接凸四边形的两条不同对角线，即可得到两种符合要求的不同剖分。
五边形的三角剖分共有5种方法，选取不同的不相交对角线组合，共可得到5种对角线不在多边形内部相交的剖分方式。
(3) 验证与计算：
已知$D_3=1$，
当$n=3$时，代入公式得：
$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3-6}{3}=2$，
$D_4=2· D_3=2×1=2$，与(2)中四边形三角剖分共2种的结果一致；
当$n=4$时，代入公式得：
$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{5}{2}$，
$D_5=\frac{5}{2}· D_4=\frac{5}{2}×2=5$，与(2)中五边形三角剖分共5种的结果一致；
当$n=5$时，代入公式得：
$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$，
$D_6=\frac{14}{5}· D_5=\frac{14}{5}×5=14$；
当$n=6$时，代入公式得：
$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=3$，
$D_7=3· D_6=3×14=42$。
答：(1) 四边形、五边形、六边形分别能剖分出2个、3个、4个三角形；(2) 四边形有2种三角剖分方法，五边形有5种三角剖分方法；(3) 六边形的三角剖分方法数为14，七边形的三角剖分方法数为42。
(1) 四边形三角剖分可得到2个三角形，五边形三角剖分可得到3个三角形，六边形三角剖分可得到4个三角形。
(2) 四边形的三角剖分共有2种方法：分别连接凸四边形的两条不同对角线，即可得到两种符合要求的不同剖分。
五边形的三角剖分共有5种方法，选取不同的不相交对角线组合，共可得到5种对角线不在多边形内部相交的剖分方式。
(3) 验证与计算：
已知$D_3=1$，
当$n=3$时，代入公式得：
$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3-6}{3}=2$，
$D_4=2· D_3=2×1=2$，与(2)中四边形三角剖分共2种的结果一致；
当$n=4$时，代入公式得：
$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{5}{2}$，
$D_5=\frac{5}{2}· D_4=\frac{5}{2}×2=5$，与(2)中五边形三角剖分共5种的结果一致；
当$n=5$时，代入公式得：
$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$，
$D_6=\frac{14}{5}· D_5=\frac{14}{5}×5=14$；
当$n=6$时，代入公式得：
$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=3$，
$D_7=3· D_6=3×14=42$。
答：(1) 四边形、五边形、六边形分别能剖分出2个、3个、4个三角形；(2) 四边形有2种三角剖分方法，五边形有5种三角剖分方法；(3) 六边形的三角剖分方法数为14，七边形的三角剖分方法数为42。
解析
【分析】
(1) 可结合多边形内角和规律推导三角剖分的三角形个数：n边形内角和为$(n-2)×180°$，剖分后所有三角形的内角和等于原多边形内角和，单个三角形内角和为$180°$，因此三角形个数为$n-2$，代入$n=4、5、6$即可求解。
(2) 数剖分方法时从简单图形入手：四边形仅2条对角线，连不同对角线即可得到2种剖分；数五边形的剖分方法时按固定顶点、依次选对角线的顺序枚举，避免重复遗漏，可得5种方法。
(3) 题目给出$D_{n+1}$与$D_n$的递推关系，已知$D_3=1$，依次将$n=3、4、5、6$代入公式，先验证$D_4、D_5$和枚举结果一致，再计算$D_6、D_7$即可。
【解析】
(1) 根据三角剖分的三角形个数规律$个数=n-2$：
四边形剖分三角形个数：$4-2=2$个；
五边形剖分三角形个数：$5-2=3$个；
六边形剖分三角形个数：$6-2=4$个。
(2) 四边形的三角剖分：凸四边形共有2条对角线，分别连接两条不同的对角线，即可得到2种符合要求的剖分方法；
五边形的三角剖分：按顺序枚举不相交的对角线组合，共可得到5种对角线不在内部相交的剖分方式，按拆分顺序画图即可表示所有情况。
(3) 验证与计算：
已知$D_3=1$，
当$n=3$时，代入公式得$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3-6}{3}=2$，则$D_4=2×D_3=2×1=2$，与(2)中四边形剖分方法数一致；
当$n=4$时，代入公式得$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{5}{2}$，则$D_5=\frac{5}{2}×D_4=\frac{5}{2}×2=5$，与(2)中五边形剖分方法数一致；
当$n=5$时，代入公式得$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$，则$D_6=\frac{14}{5}×D_5=\frac{14}{5}×5=14$；
当$n=6$时，代入公式得$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=3$，则$D_7=3×D_6=3×14=42$。
【答案】
(1) 四边形、五边形、六边形分别能剖分出2个、3个、4个三角形；
(2) 四边形有2种三角剖分方法，五边形有5种三角剖分方法；
(3) 经验证计算结果与前两问一致，六边形的三角剖分方法数为14，七边形的三角剖分方法数为42。
【知识点】
多边形的对角线、多边形三角剖分、递推计算
【点评】
本题结合几何操作与代数计算，既考察了动手枚举、避免重复遗漏的能力，又考察了递推公式的代入计算能力，从简单图形入手找规律的思路，能很好地锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 可结合多边形内角和规律推导三角剖分的三角形个数：n边形内角和为$(n-2)×180°$，剖分后所有三角形的内角和等于原多边形内角和，单个三角形内角和为$180°$，因此三角形个数为$n-2$，代入$n=4、5、6$即可求解。
(2) 数剖分方法时从简单图形入手：四边形仅2条对角线，连不同对角线即可得到2种剖分；数五边形的剖分方法时按固定顶点、依次选对角线的顺序枚举，避免重复遗漏，可得5种方法。
(3) 题目给出$D_{n+1}$与$D_n$的递推关系，已知$D_3=1$，依次将$n=3、4、5、6$代入公式，先验证$D_4、D_5$和枚举结果一致，再计算$D_6、D_7$即可。
【解析】
(1) 根据三角剖分的三角形个数规律$个数=n-2$：
四边形剖分三角形个数：$4-2=2$个；
五边形剖分三角形个数：$5-2=3$个；
六边形剖分三角形个数：$6-2=4$个。
(2) 四边形的三角剖分：凸四边形共有2条对角线，分别连接两条不同的对角线，即可得到2种符合要求的剖分方法；
五边形的三角剖分：按顺序枚举不相交的对角线组合，共可得到5种对角线不在内部相交的剖分方式，按拆分顺序画图即可表示所有情况。
(3) 验证与计算：
已知$D_3=1$，
当$n=3$时，代入公式得$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3-6}{3}=2$，则$D_4=2×D_3=2×1=2$，与(2)中四边形剖分方法数一致；
当$n=4$时，代入公式得$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{5}{2}$，则$D_5=\frac{5}{2}×D_4=\frac{5}{2}×2=5$，与(2)中五边形剖分方法数一致；
当$n=5$时，代入公式得$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$，则$D_6=\frac{14}{5}×D_5=\frac{14}{5}×5=14$；
当$n=6$时，代入公式得$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=3$，则$D_7=3×D_6=3×14=42$。
【答案】
(1) 四边形、五边形、六边形分别能剖分出2个、3个、4个三角形；
(2) 四边形有2种三角剖分方法，五边形有5种三角剖分方法；
(3) 经验证计算结果与前两问一致，六边形的三角剖分方法数为14，七边形的三角剖分方法数为42。
【知识点】
多边形的对角线、多边形三角剖分、递推计算
【点评】
本题结合几何操作与代数计算，既考察了动手枚举、避免重复遗漏的能力，又考察了递推公式的代入计算能力，从简单图形入手找规律的思路，能很好地锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.65
