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1. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则下列结论正确的是（
A.$ac＞0$
B.$ac=0$
C.$ac＜0$
D.$ac$的符号不能确定
A
）。A.$ac＞0$
B.$ac=0$
C.$ac＜0$
D.$ac$的符号不能确定
答案
1. A
解析
【分析】
要判断ac的符号，需先分别确定二次函数中a和c的符号：首先通过抛物线开口方向判断a的符号，再通过抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，最后根据有理数乘法的符号规则即可得出ac的符号。
【解析】
步骤1：判断a的符号：观察图象，抛物线开口向上，因此二次项系数$a＞0$；
步骤2：判断c的符号：当$x=0$时，代入二次函数解析式得$y=c$，即抛物线与y轴交点的纵坐标为c，图象中抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$；
步骤3：判断ac的符号：因为$a＞0$，$c＞0$，同号相乘为正，所以$ac＞0$，对应选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系、有理数乘法符号判定
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，重点考查二次函数图象特征与各项系数的对应关系，熟练掌握开口方向、与坐标轴交点等图象特征对应的系数性质，即可快速完成此类题目的判断。
【难度系数】
0.9
要判断ac的符号，需先分别确定二次函数中a和c的符号：首先通过抛物线开口方向判断a的符号，再通过抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，最后根据有理数乘法的符号规则即可得出ac的符号。
【解析】
步骤1：判断a的符号：观察图象，抛物线开口向上，因此二次项系数$a＞0$；
步骤2：判断c的符号：当$x=0$时，代入二次函数解析式得$y=c$，即抛物线与y轴交点的纵坐标为c，图象中抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$；
步骤3：判断ac的符号：因为$a＞0$，$c＞0$，同号相乘为正，所以$ac＞0$，对应选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系、有理数乘法符号判定
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，重点考查二次函数图象特征与各项系数的对应关系，熟练掌握开口方向、与坐标轴交点等图象特征对应的系数性质，即可快速完成此类题目的判断。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ AED=∠ B$。若$DE=6$，$AB=10$，$AE=8$，则$BC$的长为（
A.7
B.8
C.$\frac{15}{4}$
D.$\frac{15}{2}$
D
）。A.7
B.8
C.$\frac{15}{4}$
D.$\frac{15}{2}$
答案
2. D
解析
【分析】
首先观察图形，△AED和△ABC有公共角∠A，结合已知条件∠AED=∠B，可根据两角分别相等的两个三角形相似判定两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出BC的长度。
【解析】
在△AED和△ABC中：
∵ ∠A = ∠A（公共角），∠AED = ∠B（已知）
∴ △AED ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{BC}$
将DE=6，AB=10，AE=8代入上式：
$\frac{8}{10} = \frac{6}{BC}$
解得：$BC = \frac{6×10}{8} = \frac{15}{2}$
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题解题核心是先证明两个三角形相似，再利用相似三角形的边的比例关系求解未知边长，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，△AED和△ABC有公共角∠A，结合已知条件∠AED=∠B，可根据两角分别相等的两个三角形相似判定两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出BC的长度。
【解析】
在△AED和△ABC中：
∵ ∠A = ∠A（公共角），∠AED = ∠B（已知）
∴ △AED ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{BC}$
将DE=6，AB=10，AE=8代入上式：
$\frac{8}{10} = \frac{6}{BC}$
解得：$BC = \frac{6×10}{8} = \frac{15}{2}$
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题解题核心是先证明两个三角形相似，再利用相似三角形的边的比例关系求解未知边长，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 如图，A，B，C是$\odot O$上的点。若$∠ O=50°$，则$\overset{\frown}{AC}$的度数为________，$∠ B$的度数为________。
答案
3. $50°;25°$
解析
【分析】
解题时先回忆圆的相关性质：①弧的度数等于它所对圆心角的度数；②同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。首先看弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角是$∠AOC$（也就是题干中的$∠O$），已知$∠O=50°$，可直接得到弧的度数；再看$∠B$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，利用圆周角定理即可求出$∠B$的度数。
【解析】
1. 求$\overset{\frown}{AC}$的度数：
弧的度数等于它所对圆心角的度数，$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为$∠AOC=50°$，因此$\overset{\frown}{AC}$的度数为$50°$。
2. 求$∠B$的度数：
$∠B$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠B=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$
【答案】
$50°$；$25°$
【知识点】
圆心角与弧的关系；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题的关键是找准同弧对应的圆心角和圆周角，牢记二者的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆圆的相关性质：①弧的度数等于它所对圆心角的度数；②同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。首先看弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角是$∠AOC$（也就是题干中的$∠O$），已知$∠O=50°$，可直接得到弧的度数；再看$∠B$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，利用圆周角定理即可求出$∠B$的度数。
【解析】
1. 求$\overset{\frown}{AC}$的度数：
弧的度数等于它所对圆心角的度数，$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为$∠AOC=50°$，因此$\overset{\frown}{AC}$的度数为$50°$。
2. 求$∠B$的度数：
$∠B$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠B=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$
【答案】
$50°$；$25°$
【知识点】
圆心角与弧的关系；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题的关键是找准同弧对应的圆心角和圆周角，牢记二者的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 在不透明的袋子里装有3个红球，2个蓝球（除颜色外其余都相同）。从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率为
$\frac{3}{5}$
，从袋子中任意摸出两个球，摸到一个红球一个蓝球的概率为$\frac{3}{5}$
。答案
4. $\frac{3}{5};\frac{3}{5}$
解析
【分析】
本题分为两小问考查概率计算：①第一问是一步概率问题，直接利用古典概型的概率公式，即概率等于所求事件包含的情况数除以所有等可能的总情况数，先统计总球数和红球个数，代入公式即可求解；②第二问是两步不放回的概率问题，可先通过列举法列出摸出两个球的所有等可能结果，再统计其中摸到一个红球一个蓝球的结果数，代入概率公式即可得到结果，注意摸两个球不存在放回的情况，列举时不要重复、不要漏项。
【解析】
1. 求摸到红球的概率：
袋子中球的总个数为 $3+2=5$ 个，所有摸球结果是等可能的，其中红球有3个，
根据概率公式 $P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，
可得 $P(\mathrm{摸到红球})=\frac{3}{5}$。
2. 求摸到一个红球一个蓝球的概率：
将3个红球记为红₁、红₂、红₃，2个蓝球记为蓝₁、蓝₂，任意摸出两个球（不考虑顺序），所有等可能的结果为：
(红₁,红₂)、(红₁,红₃)、(红₁,蓝₁)、(红₁,蓝₂)、(红₂,红₃)、(红₂,蓝₁)、(红₂,蓝₂)、(红₃,蓝₁)、(红₃,蓝₂)、(蓝₁,蓝₂)，共10种，
其中符合“一个红球一个蓝球”的结果有6种，
因此 $P(\mathrm{一红一蓝})=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5};\frac{3}{5}$
【知识点】
古典概型概率计算；列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础应用题，第一问直接套用概率公式即可求解，第二问解题核心是准确列举出所有等可能的摸球结果，注意区分放回试验和不放回试验，避免计数错误。
【难度系数】
0.75
本题分为两小问考查概率计算：①第一问是一步概率问题，直接利用古典概型的概率公式，即概率等于所求事件包含的情况数除以所有等可能的总情况数，先统计总球数和红球个数，代入公式即可求解；②第二问是两步不放回的概率问题，可先通过列举法列出摸出两个球的所有等可能结果，再统计其中摸到一个红球一个蓝球的结果数，代入概率公式即可得到结果，注意摸两个球不存在放回的情况，列举时不要重复、不要漏项。
【解析】
1. 求摸到红球的概率：
袋子中球的总个数为 $3+2=5$ 个，所有摸球结果是等可能的，其中红球有3个，
根据概率公式 $P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，
可得 $P(\mathrm{摸到红球})=\frac{3}{5}$。
2. 求摸到一个红球一个蓝球的概率：
将3个红球记为红₁、红₂、红₃，2个蓝球记为蓝₁、蓝₂，任意摸出两个球（不考虑顺序），所有等可能的结果为：
(红₁,红₂)、(红₁,红₃)、(红₁,蓝₁)、(红₁,蓝₂)、(红₂,红₃)、(红₂,蓝₁)、(红₂,蓝₂)、(红₃,蓝₁)、(红₃,蓝₂)、(蓝₁,蓝₂)，共10种，
其中符合“一个红球一个蓝球”的结果有6种，
因此 $P(\mathrm{一红一蓝})=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5};\frac{3}{5}$
【知识点】
古典概型概率计算；列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础应用题，第一问直接套用概率公式即可求解，第二问解题核心是准确列举出所有等可能的摸球结果，注意区分放回试验和不放回试验，避免计数错误。
【难度系数】
0.75
5. 已知抛物线$y=ax^2+bx-3(a≠0)$经过点$(-2,5)$，它的对称轴是直线$x=1$，则这条抛物线的函数表达式是
$y=x^2-2x-3$
。答案
5. $y=x^2-2x-3$
解析
【分析】
要确定抛物线的函数表达式，已知解析式为一般式，仅含a、b两个未知系数，可结合已知条件列方程组求解。解题思路如下：① 利用二次函数对称轴公式，结合对称轴为x=1，得到a与b的第一个等量关系；② 利用点在抛物线上时坐标满足解析式，将点(-2,5)代入解析式，得到a与b的第二个等量关系；③ 联立两个方程解出a、b的值，代入一般式即可得到最终解析式。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=ax^2+bx-3$的对称轴是直线$x=1$，
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$-\frac{b}{2a}=1$，整理得 $b=-2a$ ①
又
∵ 抛物线经过点$(-2,5)$，将$x=-2$，$y=5$代入解析式得：
$a×(-2)^2 + b×(-2) -3 = 5$
计算化简得：$4a - 2b = 8$，即$2a - b = 4$ ②
将①代入②得：$2a - (-2a) = 4$，
即$4a=4$，解得$a=1$，
把$a=1$代入①得：$b=-2×1=-2$，
∴ 抛物线的函数表达式为$y=x^2 - 2x - 3$。
【答案】
$y=x^2-2x-3$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数对称轴公式
3. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，核心考查待定系数法的应用，解题时只需熟练运用二次函数对称轴公式以及图象上点的坐标与解析式的关系，联立方程求解即可，解题逻辑清晰，方法常规。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线的函数表达式，已知解析式为一般式，仅含a、b两个未知系数，可结合已知条件列方程组求解。解题思路如下：① 利用二次函数对称轴公式，结合对称轴为x=1，得到a与b的第一个等量关系；② 利用点在抛物线上时坐标满足解析式，将点(-2,5)代入解析式，得到a与b的第二个等量关系；③ 联立两个方程解出a、b的值，代入一般式即可得到最终解析式。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=ax^2+bx-3$的对称轴是直线$x=1$，
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$-\frac{b}{2a}=1$，整理得 $b=-2a$ ①
又
∵ 抛物线经过点$(-2,5)$，将$x=-2$，$y=5$代入解析式得：
$a×(-2)^2 + b×(-2) -3 = 5$
计算化简得：$4a - 2b = 8$，即$2a - b = 4$ ②
将①代入②得：$2a - (-2a) = 4$，
即$4a=4$，解得$a=1$，
把$a=1$代入①得：$b=-2×1=-2$，
∴ 抛物线的函数表达式为$y=x^2 - 2x - 3$。
【答案】
$y=x^2-2x-3$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数对称轴公式
3. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，核心考查待定系数法的应用，解题时只需熟练运用二次函数对称轴公式以及图象上点的坐标与解析式的关系，联立方程求解即可，解题逻辑清晰，方法常规。
【难度系数】
0.8
6. 如图，D，E，F分别是$△ ABC$的AB，AC，BC边上的点，$DE// BC$，$DF// AC$。
（1）求证：$△ ADE∽△ DBF$。
（2）若$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，$S_{△ BDF}=9\ \mathrm{cm}^2$，求$S_{△ ADE}$和$S_{△ ABC}$。
（1）求证：$△ ADE∽△ DBF$。
（2）若$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，$S_{△ BDF}=9\ \mathrm{cm}^2$，求$S_{△ ADE}$和$S_{△ ABC}$。
答案
6. （1）证明$∠ ADE=∠ DBF,∠ AED=∠ DFB$。
（2）$S_{△ ADE}=4\ \mathrm{cm}^2,S_{△ ABC}=25\ \mathrm{cm}^2$。
（2）$S_{△ ADE}=4\ \mathrm{cm}^2,S_{△ ABC}=25\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
（1）要证明△ADE∽△DBF，优先选择两角对应相等的相似判定定理（AA）。结合已知的两组平行线，利用平行线同位角相等的性质，推导两组对应角相等即可完成证明。
（2）求三角形面积需用到相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。首先根据AD与AB的比例关系求出△ADE和△DBF的相似比，结合已知△BDF的面积计算S△ADE；再推导△ADE与△ABC的相似比，进一步求出S△ABC。
【解析】
（1）证明：
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ADE=∠B$（两直线平行，同位角相等），$∠AED=∠C$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $DF// AC$，
∴ $∠DFB=∠C$（两直线平行，同位角相等）。
∴ $∠AED=∠DFB$（等量代换）。
在$△ ADE$和$△ DBF$中：
$\begin{cases}∠ADE=∠B \\∠AED=∠DFB\end{cases}$
∴ $△ ADE ∽ △ DBF$（两角对应相等，两三角形相似）。
（2）解：
∵ $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，
∴ $\frac{AD}{DB}=\frac{2}{5-2}=\frac{2}{3}$，即$△ ADE$与$△ DBF$的相似比为$\frac{2}{3}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ DBF}}=(\frac{AD}{DB})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
将$S_{△ BDF}=9\ \mathrm{cm}^2$代入得：
$S_{△ ADE}=9×\frac{4}{9}=4\ \mathrm{cm}^2$。
又
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，相似比为$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，
∴ $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
将$S_{△ ADE}=4\ \mathrm{cm}^2$代入得：
$S_{△ ABC}=4÷\frac{4}{25}=25\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$S_{△ADE}=4\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ABC}=25\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似章节的基础综合题，核心考查平行线性质、相似三角形的判定与性质的应用，解题关键是准确找到相似三角形的对应边，正确利用相似比和面积比的关系计算，是该模块的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ADE∽△DBF，优先选择两角对应相等的相似判定定理（AA）。结合已知的两组平行线，利用平行线同位角相等的性质，推导两组对应角相等即可完成证明。
（2）求三角形面积需用到相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。首先根据AD与AB的比例关系求出△ADE和△DBF的相似比，结合已知△BDF的面积计算S△ADE；再推导△ADE与△ABC的相似比，进一步求出S△ABC。
【解析】
（1）证明：
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ADE=∠B$（两直线平行，同位角相等），$∠AED=∠C$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $DF// AC$，
∴ $∠DFB=∠C$（两直线平行，同位角相等）。
∴ $∠AED=∠DFB$（等量代换）。
在$△ ADE$和$△ DBF$中：
$\begin{cases}∠ADE=∠B \\∠AED=∠DFB\end{cases}$
∴ $△ ADE ∽ △ DBF$（两角对应相等，两三角形相似）。
（2）解：
∵ $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，
∴ $\frac{AD}{DB}=\frac{2}{5-2}=\frac{2}{3}$，即$△ ADE$与$△ DBF$的相似比为$\frac{2}{3}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ DBF}}=(\frac{AD}{DB})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
将$S_{△ BDF}=9\ \mathrm{cm}^2$代入得：
$S_{△ ADE}=9×\frac{4}{9}=4\ \mathrm{cm}^2$。
又
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，相似比为$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，
∴ $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
将$S_{△ ADE}=4\ \mathrm{cm}^2$代入得：
$S_{△ ABC}=4÷\frac{4}{25}=25\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$S_{△ADE}=4\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ABC}=25\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似章节的基础综合题，核心考查平行线性质、相似三角形的判定与性质的应用，解题关键是准确找到相似三角形的对应边，正确利用相似比和面积比的关系计算，是该模块的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
