例4 如图7，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（）.

A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$

B

【分析】
首先观察题中的尺规作图步骤，可判断出AD是∠BAC的角平分线，这是解题的突破口。接下来按以下思路计算：①在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数；②根据角平分线的定义求出∠CAD的度数；③在△ADC中，再次利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ADC的大小。
【解析】
由尺规作图的特征可知，AD平分∠BAC。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ BAC=90°-∠ B=90°-40°=50°$，
∵AD平分∠BAC，
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
在Rt△ADC中，∠C=90°，同理可得：
$∠ ADC=90°-∠ CAD=90°-25°=65°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图，直角三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题难度较低，重点考查学生对尺规作图的识别能力和三角形角度计算的掌握程度，只要能正确判断AD是角平分线，结合基础的角度计算性质即可求解。
【难度系数】
0.7

如图 8，CD是$△ ABC$的角平分线. 按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N. 则下列结论一定正确的是（）.

A.$∠ ABN=∠ A$
B.$BN⊥ AC$
C.$CM=AD$
D.$∠ BDM=∠ BMD$

D

【分析】
解题时首先识别尺规作图的类型：本题的作图是作一个角等于已知角，可得∠CBN=∠A；再结合CD是角平分线，得到∠ACD=∠BCD；接下来利用三角形外角的性质，分别将∠BDM和∠BMD展开为两个不相邻内角的和，对比两个角的组成就能判断相等关系，最后逐一排除错误选项即可。
【解析】
根据尺规作图的步骤可知，所作角∠CBN=∠A。
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD。
根据三角形外角的性质：
∠BDM是△ADC的外角，故∠BDM=∠A + ∠ACD；
∠BMD是△BMC的外角，故∠BMD=∠CBN + ∠BCD。
将∠CBN=∠A、∠BCD=∠ACD代入，可得∠BMD=∠A + ∠ACD，因此∠BDM=∠BMD，D选项正确。
对其他选项逐一判断：
A：作图得到的等角是∠CBN=∠A，∠ABN不一定等于∠A，错误；
B：仅当∠A=45°时才有BN⊥AC，不是必然成立，错误；
C：没有已知条件可证明CM=AD，错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
尺规作图作等角，角平分线的定义，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查了基础作图的识别、角平分线的定义和三角形外角的性质，解题的关键是准确判断作图得到的等角关系，再结合相关性质推导角的等量关系，属于基础性质的综合应用题。
【难度系数】
0.6