1. 因式分解
(1)概念:一般地,把一个多项式表示成若干个多项式的形式,称为把这个多项式因式分解,也称为分解因式.
(2)要求:
①因式分解是多项式的恒等变形；
②多项式因式分解的结果一定是乘积形式；
③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须不高于原来多项式的次数.
2. 多项式的因式分解与多项式的乘法的关系
多项式的因式分解与多项式的乘法运算是的变形过程,可以利用多项式的乘法运算检验因式分解的结果是否正确.
课堂探究
典例研习,掌握关键能力
探究1 因式分解的概念

1. 乘积
2. 互逆

【分析】
本题考查因式分解的基础概念类问题，解题思路是直接回归对应核心定义作答：
1. 第一个空对应因式分解的定义，回忆定义的核心特征：变形后的结果是若干整式的乘积形式，即可确定答案；
2. 第二个空对应因式分解和整式乘法的关系，整式乘法是将多个整式相乘得到一个多项式，因式分解是将多项式拆分为多个整式的乘积，二者过程相反，即可确定答案。
【解析】
1. 根据因式分解的定义：把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，就是因式分解，因此第一个空填“乘积”；
2. 多项式乘法是多个整式相乘得到多项式，因式分解是把多项式拆分为多个整式的乘积，二者是方向相反的变形过程，即互逆的变形过程，因此第二个空填“互逆”。
【答案】
1. 乘积；2. 互逆
【知识点】
因式分解的定义；因式分解与整式乘法的关系
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查的是因式分解最基础的核心概念，熟练掌握相关定义是学习后续因式分解方法、解决复杂因式分解题目的前提。
【难度系数】
0.9

【例1】下列从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
(1)$x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2$；
(2)$4x^2 - \sqrt{7}xy = x(4x - \sqrt{7}y)$.
规律总结 满足因式分解的条件
(1)范围:运算在多项式的范围内.
(2)形式:变形的结果是乘积的形式.
(3)过程:变形的过程必须保证运算的正确性.
【变式】下列各式从左边到右边的变形中,是因式分解的是 ()
A. $m(x+y)=mx+my$
B. $x^2 -2x +1 =x(x-2)+1$
C. $a^2 +1 =a(a+\dfrac{1}{a})$
D. $9x^2 -3x=3x(3x-1)$

【例1】解:(1)不是因式分解.理由:等式右边不是几个多项式的乘积形式.
(2)是因式分解.理由:等式右边是两个多项式的乘积形式,且$x(4x-\sqrt{7}y)=4x^2-\sqrt{7}xy$,因而符合因式分解的定义.$4x^2-\sqrt{7}xy$的因式是$x$和$4x-\sqrt{7}y$.
【变式】D

【分析】
判断变形是否为因式分解，需紧扣因式分解的三个核心判断标准：①变形对象是多项式；②变形结果为几个整式的乘积形式，不能是和差形式，也不能包含分式；③变形前后等式两边恒等。解题时按以上标准逐一验证即可：先判断例1的两个式子是否符合要求，再对变式的四个选项逐一排查，排除不符合标准的选项即可得到正确答案。
【解析】
例1解答
(1) 观察等式右边$(x+1)^2+2$，其为和的形式，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的结果要求，因此不是因式分解。
(2) 等式左边$4x^2-\sqrt{7}xy$是多项式，右边$x(4x-\sqrt{7}y)$是两个整式的乘积形式，且计算右边可得$x·4x - x·\sqrt{7}y=4x^2-\sqrt{7}xy$，和左边恒等，符合因式分解的定义，因此是因式分解，该多项式的因式为$x$和$4x-\sqrt{7}y$。
变式解答
逐一分析各选项：
A. $m(x+y)=mx+my$是将乘积形式转化为和差形式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不是因式分解，排除；
B. 等式右边$x(x-2)+1$是和的形式，不是整式乘积形式，不符合要求，排除；
C. 等式右边的$a+\frac{1}{a}$分母含有字母，属于分式，不是整式，不符合因式分解的结果要求，排除；
D. 等式左边$9x^2-3x$是多项式，右边$3x(3x-1)$是两个整式的乘积形式，且计算右边可得$9x^2-3x$，和左边恒等，符合因式分解定义，当选。
【答案】
【例1】(1)不是因式分解，理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式；(2)是因式分解，理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且$x(4x-\sqrt{7}y)=4x^2-\sqrt{7}xy$，符合因式分解的定义，因式为$x$和$4x-\sqrt{7}y$；【变式】D
【知识点】
因式分解的定义，整式的概念
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，解题核心是紧扣因式分解的判断要点，注意区分因式分解与整式乘法，同时要确保变形后的因式均为整式，避免出现结果为和差形式、包含分式等常见错误。
【难度系数】
0.85

【例2】(保定模拟)下列各式从左边到右边的变形中，表述正确的是（）
①$2x+2y=2(x+y)$；②$(x+3)(x-2)=x^2+x-6$.

A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解

【例2】C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确因式分解和整式乘法的核心定义及二者的区别：因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式（即“和化积”），整式乘法是把几个整式相乘转化为一个多项式的形式（即“积化和”），二者是互逆的变形过程。接下来我们逐一分析两个式子的变形方向：首先看①，判断左边是不是多项式、右边是不是整式的积；再看②，判断左边是不是整式的积、右边是不是多项式，最后对应选项即可得到答案。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，变形特征是“和化积”；
2. 整式乘法：把几个整式相乘的形式化为一个多项式的形式，变形特征是“积化和”。
对两个变形逐一分析：
①式左边$2x+2y$是多项式，右边$2(x+y)$是两个整式的乘积，符合因式分解的特征，因此①是因式分解；
②式左边$(x+3)(x-2)$是两个整式的乘积，右边$x^2+x-6$是多项式，符合整式乘法的特征，因此②是乘法运算。
综上，①是因式分解，②是乘法运算，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是抓住因式分解和整式乘法的本质变形方向，牢记“和化积是因式分解，积化和是整式乘法”的判断规律，就能快速准确做出判断。
【难度系数】
0.8

【变式1】若$x^2 + k = (x + 5)(x - 5)$，那么（）

A.$k=25$，从左边到右边是因式分解
B.$k=-25$，从左边到右边是因式分解
C.$k=25$，从左边到右边是乘法运算
D.$k=-25$，从左边到右边是乘法运算

【变式1】B

【分析】
解题时可分两步思考：第一步，先利用平方差公式将等式右侧的整式乘积展开，通过对比等式左右两边的同类项，求出k的值；第二步，结合因式分解和整式乘法的定义，判断题目中从左到右的变形属于哪种运算。因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，整式乘法是将几个整式的乘积化为多项式的形式，二者是互逆的变形。
【解析】
1. 计算等式右侧的乘积：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$(x+5)(x-5)=x^2 - 5^2 = x^2 -25$。
2. 求k的值：原等式为$x^2 +k = x^2 -25$，等式两边同时减去$x^2$，可得$k=-25$。
3. 判断变形类型：等式左边是多项式$x^2 -25$，等式右边是两个整式$(x+5)$和$(x-5)$的乘积，符合“将多项式化为几个整式乘积的形式”的特征，因此该变形属于因式分解。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，既考查了平方差公式的计算，也考查了因式分解和整式乘法的区别，解题时需注意两点：一是运用平方差公式计算时不要弄错符号，二是要明确因式分解和整式乘法是互逆的变形，可通过变形前后的形式判断类型。
【难度系数】
0.8

【变式2】若多项式$x^2+ax+b$因式分解的结果是$(x+1)(x-3)$，试求$a,b$的值.

【变式2】解:根据题意,得$x^2+ax+b=(x+1)(x-3)$.
因为$(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$,
所以$a=-2,b=-3$.

【分析】
因式分解和整式乘法是互逆的运算过程，题目已经给出多项式因式分解的结果，我们只需要把右侧的整式乘积展开，得到的多项式和左侧的$x^2+ax+b$是恒等关系，此时两个多项式对应同类项的系数完全相等，对比一次项系数就能求出$a$的值，对比常数项就能求出$b$的值。
【解析】
解：根据题意，得$x^2+ax+b=(x+1)(x-3)$
按照多项式乘多项式的运算法则展开右侧式子：
$(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$
因此$x^2+ax+b=x^2-2x-3$，根据多项式恒等时同类项系数对应相等，可得：
$a=-2$，$b=-3$
【答案】
$a=-2$，$b=-3$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式乘多项式运算
3. 多项式恒等系数对应
【点评】
本题属于基础题型，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题思路直接，只要熟练掌握多项式乘法的运算规则，通过展开乘积式对比系数即可求出参数，计算难度很低。
【难度系数】
0.9