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直角三角形
(1)两锐角的关系:直角三角形的两个锐角
判定方法:有两个角
(2)直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的
判定方法:在三角形中,如果一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
(1)两锐角的关系:直角三角形的两个锐角
互余
.判定方法:有两个角
互余
的三角形是直角三角形.(2)直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半
.判定方法:在三角形中,如果一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
答案
互余 互余 一半
解析
【分析】
本题考查直角三角形的基础概念与性质，解题时可结合三角形内角和定理推导两锐角关系，再回忆直角三角形特有的斜边中线性质填空：①先根据三角形内角和为180°，结合直角三角形有一个90°的直角，推导两个锐角的和；②反过来根据角的关系判断三角形是否为直角三角形；③回忆课本中直角三角形斜边上中线的性质定理直接对应填空即可。
【解析】
(1) 已知三角形内角和为180°，直角三角形存在一个90°的直角，因此两个锐角的和为180°-90°=90°，即两个锐角互余；若三角形有两个角互余，说明这两个角的和为90°，则第三个角的度数为180°-90°=90°，因此该三角形是直角三角形，故前两空均填“互余”。
(2) 根据直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此第三空填“一半”。
【答案】
互余；互余；一半
【知识点】
直角三角形两锐角互余；直角三角形斜边中线性质；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对课本基础定理的记忆，熟练掌握相关性质和判定是解决直角三角形相关问题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查直角三角形的基础概念与性质，解题时可结合三角形内角和定理推导两锐角关系，再回忆直角三角形特有的斜边中线性质填空：①先根据三角形内角和为180°，结合直角三角形有一个90°的直角，推导两个锐角的和；②反过来根据角的关系判断三角形是否为直角三角形；③回忆课本中直角三角形斜边上中线的性质定理直接对应填空即可。
【解析】
(1) 已知三角形内角和为180°，直角三角形存在一个90°的直角，因此两个锐角的和为180°-90°=90°，即两个锐角互余；若三角形有两个角互余，说明这两个角的和为90°，则第三个角的度数为180°-90°=90°，因此该三角形是直角三角形，故前两空均填“互余”。
(2) 根据直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此第三空填“一半”。
【答案】
互余；互余；一半
【知识点】
直角三角形两锐角互余；直角三角形斜边中线性质；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对课本基础定理的记忆，熟练掌握相关性质和判定是解决直角三角形相关问题的基础。
【难度系数】
0.9
【例1】(南宁模拟)如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，$∠ A=56°$，则$∠ DCB$的度数是 （
A.$30°$
B.$45°$
C.$56°$
D.$60°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$56°$
D.$60°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先观察图形中的垂直关系，首先由AC⊥BC可得△ACB是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可推出∠A与∠B互余；再由CD⊥AB可得△CDB是直角三角形，同理推出∠DCB与∠B互余；最后根据“同角的余角相等”即可得出∠DCB和∠A的等量关系，代入角度计算即可。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，∠A + ∠B = 90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，在Rt△CDB中，∠DCB + ∠B = 90°，
∴∠DCB = ∠A = 56°，
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用直角三角形的锐角性质和余角的性质推导角度相等，解题时找准互余的角是关键，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形中的垂直关系，首先由AC⊥BC可得△ACB是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可推出∠A与∠B互余；再由CD⊥AB可得△CDB是直角三角形，同理推出∠DCB与∠B互余；最后根据“同角的余角相等”即可得出∠DCB和∠A的等量关系，代入角度计算即可。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，∠A + ∠B = 90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，在Rt△CDB中，∠DCB + ∠B = 90°，
∴∠DCB = ∠A = 56°，
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用直角三角形的锐角性质和余角的性质推导角度相等，解题时找准互余的角是关键，难度较低。
【难度系数】
0.8
【变式1】如图，直线$a // b$，$CD ⊥ AB$于点$D$，若$∠ 2=40°10'$，则$∠ 1$等于（
A.$130°50'$
B.$129°50'$
C.$129°10'$
D.$130°10'$
D
）A.$130°50'$
B.$129°50'$
C.$129°10'$
D.$130°10'$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察图形，已知CD⊥AB，可得到直角三角形BCD，利用直角三角形两锐角互余的性质先求出∠DBC的度数；再结合直线a//b的条件，根据平行线同旁内角互补的性质，即可求出∠1的度数，计算过程中注意度分秒是60进制的换算规则。
【解析】
解：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠2 + ∠DBC = 90°（直角三角形两锐角互余），
已知∠2=40°10'，
∴ ∠DBC = 90° - 40°10' = 49°50'，
又
∵ a//b，
∴ ∠1 + ∠DBC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠1 = 180° - 49°50' = 130°10'。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余 2. 平行线的性质 3. 度分秒换算
【点评】
本题是几何基础计算题，结合了三角形和平行线的基础性质，解题关键是准确找到角之间的数量关系，注意度分秒换算时遵循60进制即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，已知CD⊥AB，可得到直角三角形BCD，利用直角三角形两锐角互余的性质先求出∠DBC的度数；再结合直线a//b的条件，根据平行线同旁内角互补的性质，即可求出∠1的度数，计算过程中注意度分秒是60进制的换算规则。
【解析】
解：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠2 + ∠DBC = 90°（直角三角形两锐角互余），
已知∠2=40°10'，
∴ ∠DBC = 90° - 40°10' = 49°50'，
又
∵ a//b，
∴ ∠1 + ∠DBC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠1 = 180° - 49°50' = 130°10'。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余 2. 平行线的性质 3. 度分秒换算
【点评】
本题是几何基础计算题，结合了三角形和平行线的基础性质，解题关键是准确找到角之间的数量关系，注意度分秒换算时遵循60进制即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
【变式2】在△ABC中，给出下列条件：①∠A=60°；②∠A=∠C−∠B；③∠A：∠B：∠C=1：1：2；④∠A=90°−∠C。其中，能判定△ABC是直角三角形的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
要判定△ABC是直角三角形，核心是验证三角形是否存在90°的内角。解题时结合三角形内角和为180°的定理，将每个给出的角的关系代入内角和公式，计算各角的度数，判断是否有直角即可。
【解析】
已知三角形内角和为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，逐一判断四个条件：
1. 条件①：仅知道$∠ A=60°$，可得$∠ B+∠ C=120°$，无法确定是否有角为$90°$，比如$∠ B=50°$、$∠ C=70°$时三角形不是直角三角形，故①不能判定；
2. 条件②：由$∠ A=∠ C-∠ B$得$∠ A+∠ B=∠ C$，代入内角和公式得$∠ C+∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，可判定是直角三角形，故②符合要求；
3. 条件③：设$∠ A=x$，$∠ B=x$，$∠ C=2x$，代入内角和得$x+x+2x=180°$，解得$x=45°$，则最大角$∠ C=2×45°=90°$，可判定是直角三角形，故③符合要求；
4. 条件④：由$∠ A=90°-∠ C$得$∠ A+∠ C=90°$，则$∠ B=180°-(∠ A+∠ C)=90°$，可判定是直角三角形，故④符合要求。
综上，能判定的是②③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的判定，比例计算角度
【点评】
本题属于基础类题型，解题时需对给出的所有条件逐一验证，注意仅给出一个锐角的角度无法直接判定三角形为直角三角形，避免漏判或误判。
【难度系数】
0.7
要判定△ABC是直角三角形，核心是验证三角形是否存在90°的内角。解题时结合三角形内角和为180°的定理，将每个给出的角的关系代入内角和公式，计算各角的度数，判断是否有直角即可。
【解析】
已知三角形内角和为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，逐一判断四个条件：
1. 条件①：仅知道$∠ A=60°$，可得$∠ B+∠ C=120°$，无法确定是否有角为$90°$，比如$∠ B=50°$、$∠ C=70°$时三角形不是直角三角形，故①不能判定；
2. 条件②：由$∠ A=∠ C-∠ B$得$∠ A+∠ B=∠ C$，代入内角和公式得$∠ C+∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，可判定是直角三角形，故②符合要求；
3. 条件③：设$∠ A=x$，$∠ B=x$，$∠ C=2x$，代入内角和得$x+x+2x=180°$，解得$x=45°$，则最大角$∠ C=2×45°=90°$，可判定是直角三角形，故③符合要求；
4. 条件④：由$∠ A=90°-∠ C$得$∠ A+∠ C=90°$，则$∠ B=180°-(∠ A+∠ C)=90°$，可判定是直角三角形，故④符合要求。
综上，能判定的是②③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的判定，比例计算角度
【点评】
本题属于基础类题型，解题时需对给出的所有条件逐一验证，注意仅给出一个锐角的角度无法直接判定三角形为直角三角形，避免漏判或误判。
【难度系数】
0.7
【例2】如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，D是AC的中点，$∠ BDC=60°$，$AC=6$，则BC的长是
（
A.3
B.6
C.$\sqrt{3}$
D.4
（
A
）A.3
B.6
C.$\sqrt{3}$
D.4
答案
A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是直角三角形，D是斜边AC的中点，可优先考虑直角三角形斜边上中线的性质，得到BD与DC的长度关系；再结合∠BDC=60°的条件，可判定△BDC的形状，进而求出BC的长度。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：
$BD=DC=\frac{1}{2}AC$，
∵AC=6，
∴$DC=\frac{1}{2}×6=3$，且BD=DC，
又
∵∠BDC=60°，
∴△BDC是有一个角为60°的等腰三角形，即△BDC为等边三角形，
∴BC=DC=3。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何题，核心是将直角三角形的斜边中线性质和等边三角形的判定相结合，只要熟练掌握相关性质定理，就能快速推导得出结果，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是直角三角形，D是斜边AC的中点，可优先考虑直角三角形斜边上中线的性质，得到BD与DC的长度关系；再结合∠BDC=60°的条件，可判定△BDC的形状，进而求出BC的长度。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：
$BD=DC=\frac{1}{2}AC$，
∵AC=6，
∴$DC=\frac{1}{2}×6=3$，且BD=DC，
又
∵∠BDC=60°，
∴△BDC是有一个角为60°的等腰三角形，即△BDC为等边三角形，
∴BC=DC=3。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何题，核心是将直角三角形的斜边中线性质和等边三角形的判定相结合，只要熟练掌握相关性质定理，就能快速推导得出结果，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
【变式1】如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°,∠ C=55°,BD$是斜边$AC$上的中线,则$∠ ABD$的度数为（
A.$25°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$55°$
B
）A.$25°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$55°$
答案
B
解析
【分析】解题时先从已知条件入手：首先已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠C=55°，可先利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数；再结合BD是斜边AC的中线，回忆直角三角形斜边上中线的性质，得到BD与AD的数量关系，进而利用等腰三角形等边对等角的性质求出∠ABD的度数。
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴∠A + ∠C = 90°（直角三角形两锐角互余），
∵∠C=55°，
∴∠A = 90° - 55° = 35°。
∵BD是斜边AC上的中线，
∴BD = AD = $\frac{1}{2}$AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴△ABD为等腰三角形，
∴∠ABD = ∠A = 35°（等边对等角）。
故选B。
【答案】B
【知识点】1.直角三角形两锐角互余；2.直角三角形斜边中线性质；3.等腰三角形等边对等角
【点评】本题是几何基础计算题，解题核心是灵活运用直角三角形的相关性质推导角度关系，只要熟练掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴∠A + ∠C = 90°（直角三角形两锐角互余），
∵∠C=55°，
∴∠A = 90° - 55° = 35°。
∵BD是斜边AC上的中线，
∴BD = AD = $\frac{1}{2}$AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴△ABD为等腰三角形，
∴∠ABD = ∠A = 35°（等边对等角）。
故选B。
【答案】B
【知识点】1.直角三角形两锐角互余；2.直角三角形斜边中线性质；3.等腰三角形等边对等角
【点评】本题是几何基础计算题，解题核心是灵活运用直角三角形的相关性质推导角度关系，只要熟练掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】0.8
【变式2】如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是
直角
三角形。答案
直角
解析
【分析】
解题时可先根据题意画出图形，将文字条件转化为几何关系：首先由中线定义可得中点分边所得两条线段相等，结合“中线等于这条边的一半”可推出三条等长线段，进而得到两个等腰三角形，再利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和为180°，即可推导出三角形有一个内角为90°，从而判断三角形的类型。
【解析】
已知：在△ABC中，D是AB的中点，且CD=$\frac{1}{2}$AB。
证明：
∵ D是AB的中点，
∴ AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
又
∵ CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴ AD=CD=BD，
∴ ∠A=∠ACD，∠B=∠BCD（等边对等角）。
∵ 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，且∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠A+∠B，
∴ ∠A+∠B+∠A+∠B=180°，
即2(∠A+∠B)=180°，
∴ ∠A+∠B=90°，
∴ ∠ACB=180°-(∠A+∠B)=90°，
∴ △ABC是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
等边对等角；三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题考查的是直角三角形的一个重要判定定理，该结论可直接作为几何题中判定直角的依据，解题过程体现了转化思想，将中线的条件转化为等腰三角形的边角关系，再结合内角和定理完成推导，需熟练掌握该结论的推导过程和应用场景。
【难度系数】
0.8
解题时可先根据题意画出图形，将文字条件转化为几何关系：首先由中线定义可得中点分边所得两条线段相等，结合“中线等于这条边的一半”可推出三条等长线段，进而得到两个等腰三角形，再利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和为180°，即可推导出三角形有一个内角为90°，从而判断三角形的类型。
【解析】
已知：在△ABC中，D是AB的中点，且CD=$\frac{1}{2}$AB。
证明：
∵ D是AB的中点，
∴ AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
又
∵ CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴ AD=CD=BD，
∴ ∠A=∠ACD，∠B=∠BCD（等边对等角）。
∵ 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，且∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠A+∠B，
∴ ∠A+∠B+∠A+∠B=180°，
即2(∠A+∠B)=180°，
∴ ∠A+∠B=90°，
∴ ∠ACB=180°-(∠A+∠B)=90°，
∴ △ABC是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
等边对等角；三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题考查的是直角三角形的一个重要判定定理，该结论可直接作为几何题中判定直角的依据，解题过程体现了转化思想，将中线的条件转化为等腰三角形的边角关系，再结合内角和定理完成推导，需熟练掌握该结论的推导过程和应用场景。
【难度系数】
0.8
1. 直角三角形的一个锐角是$70°$,则它的另一个锐角是（
A.$20°$
B.$70°$
C.$110°$
D.$20°$或$70°$
A
）A.$20°$
B.$70°$
C.$110°$
D.$20°$或$70°$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先回忆直角三角形的相关性质：三角形内角和为180°，直角三角形有一个内角是90°，因此剩下的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，直接用90°减去已知锐角的度数，就能得到另一个锐角的度数，再对应选项选择即可。
【解析】
∵ 直角三角形中有一个内角为90°，且三角形内角和为180°
∴ 直角三角形的两个锐角之和为$180° - 90° = 90°$（即两锐角互余）
已知一个锐角是$70°$，则另一个锐角的度数为：$90° - 70° = 20°$
故选A
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是对直角三角形基本性质的直接考查，属于基础题型，牢记性质即可快速求解，做题时注意不要误算成用180°直接减已知锐角的度数，避免错选。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直角三角形的相关性质：三角形内角和为180°，直角三角形有一个内角是90°，因此剩下的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，直接用90°减去已知锐角的度数，就能得到另一个锐角的度数，再对应选项选择即可。
【解析】
∵ 直角三角形中有一个内角为90°，且三角形内角和为180°
∴ 直角三角形的两个锐角之和为$180° - 90° = 90°$（即两锐角互余）
已知一个锐角是$70°$，则另一个锐角的度数为：$90° - 70° = 20°$
故选A
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是对直角三角形基本性质的直接考查，属于基础题型，牢记性质即可快速求解，做题时注意不要误算成用180°直接减已知锐角的度数，避免错选。
【难度系数】
0.9
