引入 如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19 m，花圃的面积是24 m²，若设花圃的宽为x m，则可列方程为，化简，得。
墙
x m

引入 x(19-2x)=24 2x²-19x+24=0

【分析】
解题时首先明确栅栏的组成：矩形花圃垂直于墙的边有2条，均为宽x m，平行于墙的边只有1条，不需要计入栅栏长度。先根据栅栏总长度表示出平行于墙的边长，再结合矩形面积=长×宽的等量关系列方程，最后整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
已知设花圃的宽为x m，垂直于墙的两条宽的总长度为2x m，因此平行于墙的边长为$(19-2x)m$。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，已知花圃面积为$24\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$x(19-2x)=24$
对上述方程进行化简：
先展开左边得：$19x - 2x^2 = 24$
移项将所有项移到等号左侧，使二次项系数为正，得：
$2x^2 -19x +24 = 0$
【答案】
$x(19-2x)=24$；$2x^2-19x+24=0$
【知识点】
列一元二次方程；一元二次方程化简；矩形面积计算
【点评】
本题属于实际情景下的方程列写基础题，解题的核心是准确梳理栅栏与矩形各边的对应关系，避免误将靠墙的边计入栅栏总长度，同时要注意化简方程时的移项规则。
【难度系数】
0.8

归纳 一般地，如果方程中只含有个未知数，且含有未知数的式子都是，未知数的最高次数是，这样的方程叫作元二次方程。

归纳 一 整式 2

【分析】
本题考查一元二次方程的定义类基础填空，解题时只需回忆一元二次方程的三个核心判定要素即可：首先“一元”对应的是方程中未知数的个数，仅含有1个未知数；其次要求含未知数的式子必须是整式，以此区分分式方程、无理方程等；最后“二次”对应的是未知数的最高次数为2，将三个要素对应填空即可。
【解析】
根据一元二次方程的标准定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程，因此依次对应填入三个空即可。
【答案】
一；整式；2
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只需牢记一元二次方程的三个判定条件即可直接作答，难度很低。
【难度系数】
0.9

1.【例1】给出下列方程，其中是一元二次方程的是.(填序号)
①$x^2 + \frac{1}{x}=2$；②$x^2 + y -6=0$；③$x^2 -x -2=0$；④$2x^2 -3x=2(x^2 -2)$；⑤$x^2=5$.
2.若关于$x$的方程$(a+5)x^2 +4x -8=0$是一元二次方程，则（）

A.$a ＞ -5$
B.$a=-5$
C.$a≠-5$
D.$a≥0$

1. ③⑤ 2. C

【分析】
解决这两道题的核心是牢记一元二次方程的判定标准：1.属于整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2；4.化简后二次项系数不为0。第一题逐一对每个方程对照上述标准判断即可，第二题直接根据“一元二次方程的二次项系数不能为0”列不等式求解即可。
【解析】
第1题
逐一分析各方程：
① $x^2 + \frac{1}{x}=2$：分母含未知数，是分式方程，不符合整式方程要求，不是一元二次方程；
② $x^2 + y -6=0$：含有x、y两个未知数，不符合“只含1个未知数”的要求，不是一元二次方程；
③ $x^2 -x -2=0$：是整式方程，只含x一个未知数，x的最高次数为2，二次项系数1≠0，是一元二次方程；
④ $2x^2 -3x=2(x^2 -2)$：先化简，右边展开得$2x^2 -4$，移项合并同类项后得$-3x +4=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程；
⑤ $x^2=5$：是整式方程，只含x一个未知数，x的最高次数为2，二次项系数1≠0，是一元二次方程。
综上，是一元二次方程的为③⑤。
第2题
一元二次方程要求二次项系数不为0，本题中二次项系数为$a+5$，因此：
$a+5 ≠ 0$，解得$a ≠ -5$，故选C。
【答案】
1. ③⑤；2. C
【知识点】
一元二次方程的定义，整式方程判定，一元二次方程系数要求
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础考查题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判定条件，注意判断前要先对方程化简，不要忽略二次项系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8

3. 一元二次方程的一般形式是，其中二次项是，二次项系数是；一次项是，一次项系数是；常数项是。

3. $ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$ $ax^2$ $a$ $bx$ $b$ $c$

【分析】
本题考查一元二次方程基本概念的识记，解题思路如下：1. 先回忆一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，为了统一研究形式，我们将其整理为左边按未知数降幂排列、右边为0的形式，也就是一般形式，这里要注意二次项系数不能为0，否则方程就没有二次项，不属于一元二次方程了；2. 再根据项的次数区分各项：次数为2的项是二次项，其数字因数是二次项系数；次数为1的项是一次项，其数字因数是一次项系数；不含未知数的项是常数项。
【解析】
根据一元二次方程的定义，其一般形式为$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，其中：
含未知数且次数为2的项为$ax^2$，即二次项，它的系数为$a$（二次项系数）；
含未知数且次数为1的项为$bx$，即一次项，它的系数为$b$（一次项系数）；
不含未知数的项为$c$，即常数项。
注意：必须标注$a≠0$，若$a=0$，方程无二次项，就不是一元二次方程。
【答案】
$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$；$ax^2$；$a$；$bx$；$b$；$c$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念题，是学习一元二次方程后续内容的必备基础，学习时要重点牢记一般形式中$a≠0$的限制条件，区分各项时注意不要漏带项的符号。
【难度系数】
0.9

4.【例2】(人教九上$\mathrm{P}_3$例题改编)将方程$3x^2 = 5x - 1$化成一元二次方程的一般形式为，其中二次项是，二次项系数是；一次项是，一次项系数是；常数项是。
5. 填空：

4. $3x^2 -5x +1 =0$ $3x^2$ 3 $-5x$ -5 1
5. $5x^2 +x -1 =0$ 5 1 -1 $2y^2 -6y =0$ 2 -6 0 $2x^2 -3x -4 =0$ 2 -3 -4

【分析】
要解决这类问题，首先要牢记一元二次方程的一般形式是$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题步骤为：1. 对给出的方程通过去括号、移项（移项要变号）、合并同类项，将其整理为右边为0、左边按未知数降幂排列的形式，即得到一般形式；2. 对照一般形式分别找对应项和系数，注意各项系数要连同前面的符号一同确定，缺项的系数为0。
【解析】
第4题
将方程$3x^2 = 5x -1$移项，右边的项全部移到左边，移项变号可得：
$3x^2 -5x +1 = 0$
对照一般形式判断：
二次项是含$x^2$的项$3x^2$，二次项系数为3；
一次项是含$x$的项$-5x$，一次项系数为-5；
常数项是不含未知数的项1。
第5题
1. 方程$-1+x=-5x^2$：移项整理得$5x^2 +x -1 = 0$，对应$a=5$，$b=1$，$c=-1$。
2. 方程$2y(y-3)=0$：去括号得$2y^2 -6y = 0$，无常数项即常数项为0，对应$a=2$，$b=-6$，$c=0$。
3. 方程$(x-2)(2x+1)=2$：先去括号得左边为$2x^2 +x -4x -2 = 2x^2 -3x -2$，移项合并常数项得$2x^2 -3x -4 = 0$，对应$a=2$，$b=-3$，$c=-4$。
【答案】
4. $3x^2 -5x +1 =0$；$3x^2$；3；$-5x$；-5；1
5. 第一行：$5x^2 +x -1 =0$；5；1；-1；第二行：$2y^2 -6y =0$；2；-6；0；第三行：$2x^2 -3x -4 =0$；2；-3；-4
【知识点】
一元二次方程一般形式；一元二次方程的项与系数；整式化简
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，解题关键是熟练掌握一元二次方程一般形式的要求，整理方程时注意移项要变号，确定各项系数时要连同项前面的符号一起判断，不要忽略缺项对应系数为0的情况。
【难度系数】
0.8

6.【例3】方程$x^2 -4x +3=0$的根为 （）

A.-1,3
B.1, -3
C.1,3
D.-1, -3

6. C

【分析】
本题考查一元二次方程求根，解题时可优先选用简便的因式分解法：首先观察方程左边的二次三项式，尝试用十字相乘法进行因式分解，将其转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分别求解两个一次方程即可得到原方程的根，最后匹配选项得出答案。
【解析】
使用因式分解法求解：
对于方程 $x^2 -4x +3=0$，将左边二次三项式用十字相乘法分解因式：
二次项系数1拆为$1 × 1$，常数项3拆为$(-1) × (-3)$，交叉相乘相加得$1 × (-3) + 1 × (-1) = -4$，恰好等于一次项系数，因此方程可改写为：
$(x-1)(x-3)=0$
根据乘积为0的性质可得：
$x-1=0$ 或 $x-3=0$
分别解得：$x_1=1$，$x_2=3$
即方程的根为1和3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查对十字相乘法因式分解、因式分解法解一元二次方程的掌握程度，熟练掌握常用解方程方法可快速得出结果，属于应当拿全分的基础题。
【难度系数】
0.9

7. 下面以 -2 为根的一元二次方程是 （）

A.$x^2 - x + 2 = 0$
B.$x^2 - x - 2 = 0$
C.$x^2 + x + 2 = 0$
D.$x^2 + x - 2 = 0$

7. D

【分析】
要判断一个数是不是一元二次方程的根，核心依据是根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们只需把x=-2依次代入四个选项的方程中，计算左边的结果，看是否等于右边的0，相等的即为正确选项。
【解析】
采用代入检验法逐一验证：
A. 把x=-2代入$x^2 - x + 2$，左边=$(-2)^2 - (-2) + 2=4+2+2=8≠0$，故x=-2不是该方程的根，A错误；
B. 把x=-2代入$x^2 - x - 2$，左边=$(-2)^2 - (-2) - 2=4+2-2=4≠0$，故x=-2不是该方程的根，B错误；
C. 把x=-2代入$x^2 + x + 2$，左边=$(-2)^2 + (-2) + 2=4-2+2=4≠0$，故x=-2不是该方程的根，C错误；
D. 把x=-2代入$x^2 + x - 2$，左边=$(-2)^2 + (-2) - 2=4-2-2=0$，左边等于右边，故x=-2是该方程的根，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入法检验方程的根
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解方程根的含义，熟练掌握代入检验的方法即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9