19.（本小题满分10分）
已知$3m+1$的平方根是$\pm5$，$5n-m$的立方根是$3$.
(1)求$m-n$的平方根.
(2)若$4a+m$的算术平方根是$4$，求$3a-2n$的立方根.

19. 解：(1)根据题意，得
$\begin{cases}3m+1=5^2,\\5n-m=3^3.\end{cases}$
解得$m=8$，$n=7$.
$\therefore m-n=8-7=1$.
$\because (\pm1)^2=1$，
$\therefore m-n$的平方根为$\pm1$.
(2)$\because 16$的算术平方根是4，
$\therefore 4a+m=16$，
即$4a+8=16$.
解得$a=2$.
$\therefore 3a-2n=3×2-2×7=-8$.
$\because (-2)^3=8$，
$\therefore 3a-2n$的立方根是$-2$.

【分析】
解题时要先利用平方根、立方根的定义建立方程求出m、n的值，再解决后续问题。首先，若一个数的平方根是±k，那么这个数等于k²；若一个数的立方根是k，那么这个数等于k³，据此先列关于m、n的方程组，解出m、n。第(1)问计算m-n的值后，再根据平方根的定义求其平方根；第(2)问先利用算术平方根的定义（若一个非负数的算术平方根是k，则这个数等于k²）求出a的值，再代入计算3a-2n的值，最后求其立方根即可。
【解析】
(1) 根据平方根、立方根的定义，可得方程组：
$\begin{cases}3m+1=(\pm5)^2=25,\\5n-m=3^3=27.\end{cases}$
解第一个方程：3m+1=25，移项得3m=24，解得$m=8$。
将$m=8$代入第二个方程：5n-8=27，移项得5n=35，解得$n=7$。
则$m-n=8-7=1$，
因为$(\pm1)^2=1$，所以$m-n$的平方根为$\pm1$。
(2) 因为$4a+m$的算术平方根是4，根据算术平方根的定义，可得$4a+m=4^2=16$，
把$m=8$代入得：$4a+8=16$，移项得4a=8，解得$a=2$。
计算得$3a-2n=3×2 - 2×7=6-14=-8$，
因为$(-2)^3=-8$，所以$3a-2n$的立方根是$-2$。
【答案】
(1) $\pm1$；(2) $-2$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，算术平方根的定义
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，解题核心是熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，根据定义建立方程求出未知参数后代入计算即可，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8