21.（本小题满分12分）
如图①，在△ABC中，BC=AC，在△CDE中，CE=CD，且∠BCA=∠ECD，连接BE，AD.
(1)求证：BE=AD.
(2)若将△DEC绕点C由图①的位置旋转至图②与图③所示的位置，其余条件不变，则BE与AD还相等吗？请结合图③说明理由.
(3)如图③，若△ABC与△CDE均为等边三角形，AD，BE相交于点P，请直接写出∠APB的度数.

(1)证明：$\because ∠BCA=∠ECD,$
$\therefore ∠BCA-∠ECA=∠ECD-∠ECA,$
即$∠BCE=∠ACD.$
在$△ BCE$和$△ ACD$中，
$\because \begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCE=∠ACD, \\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ ACD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore BE=AD.$
(2)在图②和图③中，$BE=AD$都成立.
理由：$\because ∠BCA=∠ECD,$
$\therefore ∠BCA+∠ECA=∠ECD+∠ECA,$
即$∠BCE=∠ACD.$
在$△ BCE$和$△ ACD$中，
$\because \begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCE=∠ACD, \\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ ACD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore BE=AD.$
(3)$60°$

【分析】
(1)要证明两条线段相等，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。已知两组对应边相等$BC=AC$、$CE=CD$，结合已知$∠BCA=∠ECD$，两个角同时减去公共角$∠ECA$即可得到全等所需的相等夹角$∠BCE=∠ACD$，利用SAS判定全等即可得到对应边相等。
(2)旋转不改变图形的边长和内角大小，因此$BC=AC$、$CE=CD$、$∠BCA=∠ECD$的条件仍然成立，此时两个角同时加上公共角$∠ECA$仍可得到$∠BCE=∠ACD$，依旧通过SAS证明全等即可得到$BE=AD$。
(3)当两个三角形为等边三角形时，由(2)的全等可得对应角$∠CBE=∠CAD$，结合等边三角形内角为$60°$、三角形内角和为$180°$的性质，即可推导得到$∠APB$的度数。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠BCA=∠ECD,$
$\therefore ∠BCA-∠ECA=∠ECD-∠ECA,$
即$∠BCE=∠ACD.$
在$△ BCE$和$△ ACD$中，
$\because \begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCE=∠ACD, \\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ ACD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore BE=AD.$
(2)解：BE与AD仍然相等，理由如下：
$\because ∠BCA=∠ECD,$
$\therefore ∠BCA+∠ECA=∠ECD+∠ECA,$
即$∠BCE=∠ACD.$
在$△ BCE$和$△ ACD$中，
$\because \begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCE=∠ACD, \\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ ACD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore BE=AD.$
(3)解：由(2)得$△ BCE≌△ ACD$，$\therefore ∠CBE=∠CAD$，
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠BAC=∠ABC=60°$，
$\therefore ∠ABP+∠BAP=∠ABP+∠CAD+∠BAC=∠ABP+∠CBE+∠BAC=∠ABC+∠BAC=120°$，
在$△ ABP$中，$∠APB=180°-(∠ABP+∠BAP)=180°-120°=60°$。
【答案】
(1) $BE=AD$，证明见解析；
(2) $BE$与$AD$仍然相等，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，旋转的性质
【点评】
本题是三角形全等的典型考法，前两问通过角的和差关系得到全等所需的夹角条件，核心考查SAS判定三角形全等的方法；第三问结合等边三角形的性质，利用全等三角形对应角相等推导角度，解题思路连贯，能有效巩固三角形相关的基础性质。
【难度系数】
0.7