22. (14分)如图,在平面直角坐标系中,线段$A B$的端点为$A ( - 8 , 19 )$,$B ( 6 , 5 )$.
(1)求直线$A B$的解析式;
(2)某同学设计了一个动画:在函数$y = m x + n ( m \neq 0 , y \geqslant 0 )$中,分别输入$m$和$n$的值,便得到射线$C D$,其中点$C$的坐标为$( c , 0 )$,当$c = 2$时,会从点$C$处弹出一个光点$P$,并沿$C D$飞行;当$c \neq 2$时,只发出射线而无光点$P$弹出.
①若有光点$P$弹出,试推算$m$,$n$应满足的数量关系;
②当有光点$P$弹出,并击中线段$A B$上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段$A B$就会发光,求此时整数$m$的个数.
(1)直线$AB$的解析式为；
(2)①$m$，$n$应满足的数量关系是；
②整数$m$的个数是个.

【解析】：
### $(1)$求直线$AB$的解析式
设直线$AB$的解析式为$y = kx + b(k\neq0)$。
将$A(-8,19)$，$B(6,5)$代入解析式得$\begin{cases}-8k + b = 19\\6k + b = 5\end{cases}$。
用$6k + b = 5$减去$-8k + b = 19$消去$b$：
$(6k + b)-(-8k + b)=5 - 19$，
$6k + b + 8k - b=-14$，
$14k=-14$，解得$k = - 1$。
把$k = - 1$代入$6k + b = 5$，得$6\times(-1)+b = 5$，$-6 + b = 5$，解得$b = 11$。
所以直线$AB$的解析式为$y=-x + 11$。
### $(2)$
① **求$m$，$n$应满足的数量关系**
已知当$c = 2$时，有光点$P$弹出，此时点$C(2,0)$在射线$CD$：$y = mx + n(m\neq0,y\geqslant0)$上。
将$C(2,0)$代入$y = mx + n$得$2m + n = 0$，所以$m$，$n$应满足的数量关系是$n=-2m$。
② **求整数$m$的个数**
由①知$n=-2m$，则射线$CD$的解析式为$y = mx - 2m=m(x - 2)$。
设线段$AB$上的整点为$(x,-x + 11)$（$x$为整数），因为光点$P$击中该点，所以$-x + 11=m(x - 2)$。
则$m=\frac{-x + 11}{x - 2}=\frac{-(x - 2)+9}{x - 2}=-1+\frac{9}{x - 2}$。
因为$m$，$x$为整数，所以$x - 2$是$9$的因数。
$9$的因数有$\pm1$，$\pm3$，$\pm9$。
当$x - 2 = 1$时，$x = 3$，$m=-1 + 9=8$；
当$x - 2=-1$时，$x = 1$，$m=-1-9=-10$；
当$x - 2 = 3$时，$x = 5$，$m=-1 + 3=2$；
当$x - 2=-3$时，$x=-1$，$m=-1-3=-4$；
当$x - 2 = 9$时，$x = 11$（$x = 11$时，$y=-11 + 11 = 0$，但$x = 11$不在$A(-8,19)$与$B(6,5)$横坐标范围内，舍去）；
当$x - 2=-9$时，$x=-7$，$m=-1-1=-2$。
所以整数$m$的值为$-10$，$-4$，$-2$，$2$，$8$，整数$m$的个数是$5$个。
【答案】：
$(1)$直线$AB$的解析式为$\boldsymbol{y=-x + 11}$；
$(2)$①$m$，$n$应满足的数量关系是$\boldsymbol{n=-2m}$；②整数$m$的个数是$\boldsymbol{5}$个。