1. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是().
A. 对边相等
B. 对角相等
C. 对角线相等
D. 对角线互相平分

C

2. 如图,小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,有下列四个条件:①$AB = BC$,②$∠ABC = 90^{\circ}$,③$AC = BD$,④$AC⊥BD$,从中选两个作为补充条件,使$//ogram ABCD$成为正方形. 现有下列四种选法,其中错误的是().

A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ②④

B

3. 如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,过点$A作AH⊥BC于点H$. 若$BO = 4$,$S_{菱形ABCD}= 24$,则$AH = $____.

$\boldsymbol{\frac{24}{5}}$

4. 如图,已知$AB = AE = DC$,$AD = CE$,$CE⊥AE$,垂足为$E$.添加一个条件:____,使四边形$ABCD$为矩形.

$AB// DC$（答案不唯一）。

5. 平行四边形内角平分线能够围成的四边形().
A. 是梯形
B. 是矩形
C. 是正方形
D. 不是平行四边形

B

6. 如图, 四边形$ABCD和四边形AEFC$是两个矩形, 点$B在EF$边上. 若矩形$ABCD和矩形AEFC的面积分别是S_{1}$,$S_{2}$,则$S_{1}$,$S_{2}$的大小关系是().

A. $S_{1}\lt S_{2}$
B. $S_{1}\gt S_{2}$
C. $S_{1}= S_{2}$
D. $3S_{1}= 2S_{2}$

$C$

7. 如图,在正方形$ABCD$中,$P为对角线BD$上一点,$PE⊥BC垂足为E$,$PF⊥CD垂足为F$,求证:$EF = AP$.

【解析】：
连接$PC$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$BD$是对角线，所以$\angle ADP=\angle CDP = 45^{\circ}$，$AD = CD$。
在$\triangle ADP$和$\triangle CDP$中，$\begin{cases}AD = CD\\\angle ADP=\angle CDP\\DP = DP\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ADP\cong\triangle CDP$，所以$AP = CP$。
因为$PE\perp BC$，$PF\perp CD$，四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle C = 90^{\circ}$，则四边形$PECF$是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。
根据矩形的性质，矩形的对角线相等，所以$PC = EF$。
又因为$AP = CP$，所以$EF = AP$。
【答案】：
连接$PC$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$BD$是对角线，所以$\angle ADP=\angle CDP = 45^{\circ}$，$AD = CD$。
在$\triangle ADP$和$\triangle CDP$中，$\begin{cases}AD = CD\\\angle ADP=\angle CDP\\DP = DP\end{cases}$，$\triangle ADP\cong\triangle CDP(SAS)$，所以$AP = CP$。
因为$PE\perp BC$，$PF\perp CD$，$\angle C = 90^{\circ}$，所以四边形$PECF$是矩形，所以$PC = EF$。
又因为$AP = CP$，所以$EF = AP$。
故$EF = AP$得证。