1[2025辽宁沈阳期末,中]如图,P是线段AB上任意一点,AB=20 cm,C,D两点分别从P,B同时向A点运动,且C点的运动速度为1 cm/s,D点的运动速度为4 cm/s.若运动时间为3 s时,CD=5 cm,则AP= cm.

由题意可知 CP = 1×3 = 3(cm),DB=3×4=12(cm). 当点D在C的右边时,如图(1).
因为CD=5 cm,所以CB = CD+DB = 5+12 = 17(cm),所以AC=AB-CB=20-17=3(cm),所以AP=AC+CP=3+3=6(cm).
当点D在C的左边时,如图(2),
所以AD=AB-DB=20-12=8(cm),所以AP=AD+CD+CP=8+5+3=16(cm). 综上所述，AP的长为6 cm或16 cm。

2[2025浙江绍兴期末,中]如图(1),将线段AB,CD放置在直线l上,点B与点C重合,AB=10 cm,CD=15 cm,点M是线段AC的中点,点N是线段BD的中点.解答下列问题:
(1)MN=.
(2)将图(1)中的线段AB沿DC方向移动x cm至图(2)的位置(点M是线段AC的中点,点N是线段BD的中点不变).
①当x=7时,求MN的长.
②在移动的过程中,请直接写出MN,AB,CD之间满足的数量关系式.

(1)12.5 cm
(2)①解：理由:因为点M是AC的中点,所以$CM=\frac{1}{2}AC$.
因为点N是BC的中点,所以$CN=\frac{1}{2}BC$,
所以$MN=CM-CN=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{25}{2}=12.5$ cm.
②$MN=\frac{1}{2}(AB+CD)$

3[2025福建福州期末,中]如图,线段$AB=24$,动点$P$从$A$出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线$AB$运动,$M$为$AP$的中点.点$P$的运动时间为$x$秒.
(1)当$x=5$时,求$BM$的长.
(2)当$P$在线段$AB$上运动时,$2BM-PB$是定值吗?如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由.
(3)当$P$在射线$AB$上运动时,$N$为$BP$的中点,求$MN$的长.

(1)解：当x=5时，AP=2×5=10，因为M是AP的中点，所以AM=$\frac{1}{2}$AP=5，所以BM=AB-AM=24-5=19.
(2)是定值，理由：AP=2x，M为AP中点，所以AM=x，BM=AB-AM=24-x，PB=AB-AP=24-2x，所以2BM-PB=2(24-x)-(24-2x)=48-2x-24+2x=24，故2BM-PB是定值24.
(3)由题意知,$PN=\frac{1}{2}BP$,$MP=\frac{1}{2}AP$,所以$MN=MP-NP=\frac{1}{2}(AP-BP)=\frac{1}{2}AB=12$.
综上所述,MN的长为12.