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1.「2026 浙江台州临海期末」如图，用同一个圆规张开同样的角度去比较两条线段AB和A'B'的长短，下列结论正确的是 （
A.$AB＜A'B'$
B.$AB=A'B'$
C.$AB＞A'B'$
D.无法确定
第1题图 第2题图
C
）A.$AB＜A'B'$
B.$AB=A'B'$
C.$AB＞A'B'$
D.无法确定
第1题图 第2题图
答案
1.C 用同一个圆规测量AB,再用同样的宽度比较A'B',由题图可知AB＞A'B'.故选C.
解析
【分析】
解题时先明确本题考查线段长短的比较方法，这里用到的是叠合法的变形：用圆规截取线段长度进行比较。首先思考：同一个圆规张开相同角度时，两脚之间的距离是固定的，我们先截取了AB的长度，再将这个长度与A'B'对比：将圆规一端对齐A'，观察另一端的位置，如果另一端落在B'外侧，说明AB更长，落在B'内侧说明AB更短，刚好对齐则两段线段相等，结合图中位置即可判断长短。
【解析】
使用同一个圆规张开相同角度时，圆规两脚的间距固定等于线段AB的长度。将该圆规的一脚对齐A'点后，观察可见另一脚落在B'点的右侧，说明AB的长度大于A'B'的长度，即$AB＞A'B'$。因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
线段长短比较，叠合法的应用
【点评】
本题是线段比较的基础题，结合常用作图工具圆规的使用场景，考查对叠合法比较线段长度原理的理解，难度较低，只要掌握对应方法即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
解题时先明确本题考查线段长短的比较方法，这里用到的是叠合法的变形：用圆规截取线段长度进行比较。首先思考：同一个圆规张开相同角度时，两脚之间的距离是固定的，我们先截取了AB的长度，再将这个长度与A'B'对比：将圆规一端对齐A'，观察另一端的位置，如果另一端落在B'外侧，说明AB更长，落在B'内侧说明AB更短，刚好对齐则两段线段相等，结合图中位置即可判断长短。
【解析】
使用同一个圆规张开相同角度时，圆规两脚的间距固定等于线段AB的长度。将该圆规的一脚对齐A'点后，观察可见另一脚落在B'点的右侧，说明AB的长度大于A'B'的长度，即$AB＞A'B'$。因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
线段长短比较，叠合法的应用
【点评】
本题是线段比较的基础题，结合常用作图工具圆规的使用场景，考查对叠合法比较线段长度原理的理解，难度较低，只要掌握对应方法即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
2.「2026河北张家口桥西期中」如图所示的是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，该同学投掷铅球最好的成绩为点
F
（填字母）。答案
2.答案 F
解析 由于点F到圆心O的距离最远,所以该同学投掷铅球最好的成绩为点F.
解析 由于点F到圆心O的距离最远,所以该同学投掷铅球最好的成绩为点F.
解析
【分析】
要确定投掷铅球的最好成绩，首先明确铅球成绩的判定规则：成绩是落地点到投掷点O的距离，距离越远成绩越好。因此我们只需要比较图中四个落地点C、D、E、F到点O的线段长度，找出长度最长的线段对应的点即可。
【解析】
投掷铅球的成绩为铅球落地点到投掷点O的距离，距离越远代表成绩越好。观察图形可得，点F到点O的距离是四个点中最远的，因此该同学投掷铅球最好的成绩对应点F。
【答案】
F
【知识点】
线段长短比较，两点间的距离
【点评】
本题结合生活实际考查线段的相关知识，解题的关键是将实际问题转化为比较线段长短的数学问题，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要确定投掷铅球的最好成绩，首先明确铅球成绩的判定规则：成绩是落地点到投掷点O的距离，距离越远成绩越好。因此我们只需要比较图中四个落地点C、D、E、F到点O的线段长度，找出长度最长的线段对应的点即可。
【解析】
投掷铅球的成绩为铅球落地点到投掷点O的距离，距离越远代表成绩越好。观察图形可得，点F到点O的距离是四个点中最远的，因此该同学投掷铅球最好的成绩对应点F。
【答案】
F
【知识点】
线段长短比较，两点间的距离
【点评】
本题结合生活实际考查线段的相关知识，解题的关键是将实际问题转化为比较线段长短的数学问题，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
3.「2025安徽淮南八公山期末」如图，已知$AB=CD$，则$AC$与$BD$的大小关系是
$AC=BD$
。答案
3.答案 $AC=BD$
解析 因为$AB=CD$,
所以$AB+BC=CD+BC$,所以$AC=BD$.
解析 因为$AB=CD$,
所以$AB+BC=CD+BC$,所以$AC=BD$.
解析
【分析】
首先观察图形，点A、B、C、D在同一条直线上，线段AC由AB和BC两段组成，线段BD由BC和CD两段组成。已知AB=CD，可利用等式的性质，给相等的两条线段同时加上公共线段BC，即可推出AC与BD的大小关系。
【解析】
由线段和的定义可知：$AC=AB+BC$，$BD=BC+CD$。
$\because AB=CD$
$\therefore AB+BC=CD+BC$
$\therefore AC=BD$
【答案】
$AC=BD$
【知识点】
线段的和差运算、等式的基本性质
【点评】
本题是线段和差相关的基础题，解题核心是识别出两条线段的公共部分BC，结合已知的相等线段，通过等式性质即可快速推导，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，点A、B、C、D在同一条直线上，线段AC由AB和BC两段组成，线段BD由BC和CD两段组成。已知AB=CD，可利用等式的性质，给相等的两条线段同时加上公共线段BC，即可推出AC与BD的大小关系。
【解析】
由线段和的定义可知：$AC=AB+BC$，$BD=BC+CD$。
$\because AB=CD$
$\therefore AB+BC=CD+BC$
$\therefore AC=BD$
【答案】
$AC=BD$
【知识点】
线段的和差运算、等式的基本性质
【点评】
本题是线段和差相关的基础题，解题核心是识别出两条线段的公共部分BC，结合已知的相等线段，通过等式性质即可快速推导，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.9
4. 学科特色
分类讨论思想「2025安徽合肥蜀山期末」如果在一条直线上有A,B,C三点，且AB=3，BC=5，那么AC的长为
分类讨论思想「2025安徽合肥蜀山期末」如果在一条直线上有A,B,C三点，且AB=3，BC=5，那么AC的长为
2或8
。答案
4.答案 2或8
解析 当点C在AB的延长线上时,如图,
$AC=BC+AB=8$;
当点C在BA的延长线上时,如图,
$AC=BC-AB=2$.
综上,AC的长为2或8.
解析
【分析】
题目仅说明A、B、C三点在同一直线上，未明确三点的位置顺序，因此需要分类讨论点C的位置：①点C在AB的延长线上；②点C在BA的延长线上，再结合线段和差的计算方法分别求解AC的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当点C在AB的延长线上时，如图：
此时AC = AB + BC，代入AB=3，BC=5，得$AC = 3 + 5 = 8$；
2. 当点C在BA的延长线上时，如图：
此时AC = BC - AB，代入AB=3，BC=5，得$AC = 5 - 3 = 2$。
综上，AC的长为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略三点位置的不确定性，漏写其中一种情况，解题时要注意结合图形分析所有可能的位置关系，熟练运用线段的和差规则计算长度。
【难度系数】
0.6
题目仅说明A、B、C三点在同一直线上，未明确三点的位置顺序，因此需要分类讨论点C的位置：①点C在AB的延长线上；②点C在BA的延长线上，再结合线段和差的计算方法分别求解AC的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当点C在AB的延长线上时，如图
：此时AC = AB + BC，代入AB=3，BC=5，得$AC = 3 + 5 = 8$；
2. 当点C在BA的延长线上时，如图
：此时AC = BC - AB，代入AB=3，BC=5，得$AC = 5 - 3 = 2$。
综上，AC的长为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略三点位置的不确定性，漏写其中一种情况，解题时要注意结合图形分析所有可能的位置关系，熟练运用线段的和差规则计算长度。
【难度系数】
0.6
5.「2026上海浦东新区期末」如图,已知线段AB,CD.
(1)①画射线OL.
②在射线OL上截取OE=EF=AB.
③在射线FO上截取FP=CD.
(2)若线段AB,CD的长分别为a,b,根据作图,可知OP=
(1)①画射线OL.
②在射线OL上截取OE=EF=AB.
③在射线FO上截取FP=CD.
(2)若线段AB,CD的长分别为a,b,根据作图,可知OP=
$2a-b$
(用含a,b的代数式表示).答案
5.解析 (1)如图,先作射线OL,以点O为圆心,线段AB的长为半径画弧交射线OL于点E,再以点E为圆心,线段AB的长为半径画弧交射线EL于点F,最后以点F为圆心,线段CD的长为半径画弧交射线FO于点P.
(2)由(1)得,$OP=OE+EF-FP=a+a-b=2a-b$.
解析
【分析】
(1) 作图部分：先根据射线的定义，画出以O为端点向L方向延伸的射线OL；再使用尺规作相等线段的方法，用圆规量取AB的长度，依次在射线OL上截取OE、EF均等于AB；最后注意射线FO的方向是从F指向O，量取CD长度后以F为圆心画弧，在射线FO上截出FP=CD即可。
(2) 计算部分：先根据作图明确各线段的长度关系，OE、EF都等于AB长a，FP等于CD长b，观察点的位置可知P在O、F之间，因此OP的长度为OF减去FP的长度，代入对应数值即可求出结果。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 画出以O为端点、向L方向无限延伸的射线OL；
② 将圆规两脚张开至与AB长度相等，以O为圆心、AB长为半径画弧，交射线OL于点E，得OE=AB；再以E为圆心、AB长为半径画弧，交射线EL（OL上E沿L方向的部分）于点F，得EF=AB，即满足OE=EF=AB；
③ 将圆规两脚张开至与CD长度相等，以F为圆心、CD长为半径画弧，交射线FO（F沿O方向的射线）于点P，得FP=CD。
作图结果如下：
(2) 由作图可知：$OE=AB=a$，$EF=AB=a$，$FP=CD=b$，
点P在线段OF上，因此$OP=OF-FP$，
又$OF=OE+EF=a+a=2a$，
所以$OP=2a-b$。
【答案】
(1) 作图见
(2) $\boxed{2a-b}$
【知识点】
尺规作相等线段，线段和差计算，射线的概念
【点评】
本题属于基础题，既考察尺规作射线、作相等线段的基本操作能力，也考察线段和差的运算能力，解题的易错点是截取FP时未注意射线FO的朝向，导致计算时加减符号混淆。
【难度系数】
0.8
(1) 作图部分：先根据射线的定义，画出以O为端点向L方向延伸的射线OL；再使用尺规作相等线段的方法，用圆规量取AB的长度，依次在射线OL上截取OE、EF均等于AB；最后注意射线FO的方向是从F指向O，量取CD长度后以F为圆心画弧，在射线FO上截出FP=CD即可。
(2) 计算部分：先根据作图明确各线段的长度关系，OE、EF都等于AB长a，FP等于CD长b，观察点的位置可知P在O、F之间，因此OP的长度为OF减去FP的长度，代入对应数值即可求出结果。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 画出以O为端点、向L方向无限延伸的射线OL；
② 将圆规两脚张开至与AB长度相等，以O为圆心、AB长为半径画弧，交射线OL于点E，得OE=AB；再以E为圆心、AB长为半径画弧，交射线EL（OL上E沿L方向的部分）于点F，得EF=AB，即满足OE=EF=AB；
③ 将圆规两脚张开至与CD长度相等，以F为圆心、CD长为半径画弧，交射线FO（F沿O方向的射线）于点P，得FP=CD。
作图结果如下：
(2) 由作图可知：$OE=AB=a$，$EF=AB=a$，$FP=CD=b$，
点P在线段OF上，因此$OP=OF-FP$，
又$OF=OE+EF=a+a=2a$，
所以$OP=2a-b$。
【答案】
(1) 作图见
(2) $\boxed{2a-b}$
【知识点】
尺规作相等线段，线段和差计算，射线的概念
【点评】
本题属于基础题，既考察尺规作射线、作相等线段的基本操作能力，也考察线段和差的运算能力，解题的易错点是截取FP时未注意射线FO的朝向，导致计算时加减符号混淆。
【难度系数】
0.8
6.「2026河南洛阳期末，★☆」如图，观察甲、乙两部分的周长，下列结论正确的是（
A.周长相等
B.甲的周长大
C.乙的周长大
D.无法判断
B
）A.周长相等
B.甲的周长大
C.乙的周长大
D.无法判断
答案
6.B 如图,甲部分的周长$=AB+BC+AE+$公共部分,乙部分的周长$=CD+DE+$公共部分,因为$AB=CD,BC＞DE$,所以甲的周长大.故选B.
解析
【分析】
要比较甲、乙两部分的周长，首先回忆周长的定义：封闭图形一周的总长度就是它的周长。解题时我们可以先分别写出甲、乙周长的组成部分，首先观察到两部分相邻的公共曲折边是共有的，长度相等，比较时可以先忽略这部分，只需对比两部分其余边的长度和即可。接着结合正方形边长相等的性质，对比剩余线段的长度大小，就能判断周长的大小关系。
【解析】
我们首先明确周长是封闭图形一周的长度，观察标注顶点的图形可知：
甲的周长由正方形的边AB、BC、AE，以及甲乙之间的公共曲折边组成，即：$\mathrm{甲的周长}=AB+BC+AE+\mathrm{公共边长度}$；
乙的周长由正方形的边CD、DE，以及甲乙之间的公共曲折边组成，即：$\mathrm{乙的周长}=CD+DE+\mathrm{公共边长度}$。
因为四边形ABCD是正方形，所以$AB=CD$，$BC=AD=AE+DE$，显然$BC＞DE$，因此$BC+AE＞DE$。
两式中公共边长度相等、$AB=CD$，剩余部分甲的长度更长，因此甲的周长大。
故选B。
【答案】B
【知识点】
周长的概念；线段和差比较；正方形的性质
【点评】
本题是周长比较类的基础题型，核心解题技巧是拆分周长的组成部分，消去相同的公共部分后仅对比不同部分的长度，避免被不规则的公共边误导，是线段长短比较的典型应用。
【难度系数】
0.7
要比较甲、乙两部分的周长，首先回忆周长的定义：封闭图形一周的总长度就是它的周长。解题时我们可以先分别写出甲、乙周长的组成部分，首先观察到两部分相邻的公共曲折边是共有的，长度相等，比较时可以先忽略这部分，只需对比两部分其余边的长度和即可。接着结合正方形边长相等的性质，对比剩余线段的长度大小，就能判断周长的大小关系。
【解析】
我们首先明确周长是封闭图形一周的长度，观察标注顶点的图形可知：
甲的周长由正方形的边AB、BC、AE，以及甲乙之间的公共曲折边组成，即：$\mathrm{甲的周长}=AB+BC+AE+\mathrm{公共边长度}$；
乙的周长由正方形的边CD、DE，以及甲乙之间的公共曲折边组成，即：$\mathrm{乙的周长}=CD+DE+\mathrm{公共边长度}$。
因为四边形ABCD是正方形，所以$AB=CD$，$BC=AD=AE+DE$，显然$BC＞DE$，因此$BC+AE＞DE$。
两式中公共边长度相等、$AB=CD$，剩余部分甲的长度更长，因此甲的周长大。
故选B。
【答案】B
【知识点】
周长的概念；线段和差比较；正方形的性质
【点评】
本题是周长比较类的基础题型，核心解题技巧是拆分周长的组成部分，消去相同的公共部分后仅对比不同部分的长度，避免被不规则的公共边误导，是线段长短比较的典型应用。
【难度系数】
0.7
7. 学科特色 分类讨论思想 「2026安徽阜阳颍上期末，★☆」如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为12，若$AP:PB=1:3$，则这根绳子原来的长度为
16或32
。答案
7.答案 16或32
解析 因为$AP:PB=1:3$,$AP+PB=AB$,
所以$AP=\frac{1}{4}AB$,$PB=\frac{3}{4}AB$,
①当“折合点”在点A处时,剪断后绳子分成2AP,PB,PB三段,因为$2AP=\frac{2}{4}AB$,$PB=\frac{3}{4}AB$,所以$2AP＜PB$,
所以$PB=\frac{3}{4}AB=12$,解得$AB=16$,此时绳子原来的长度为$2AB=32$;
②当“折合点”在点B处时,剪断后绳子分成AP,AP,2PB三段,因为$AP＜PB$,所以$2PB=12$,解得$PB=6$,即$\frac{3}{4}AB=6$,解得$AB=8$,此时绳子原来的长度为$2AB=16$.
综上,绳子原来的长度为16或32.
解析 因为$AP:PB=1:3$,$AP+PB=AB$,
所以$AP=\frac{1}{4}AB$,$PB=\frac{3}{4}AB$,
①当“折合点”在点A处时,剪断后绳子分成2AP,PB,PB三段,因为$2AP=\frac{2}{4}AB$,$PB=\frac{3}{4}AB$,所以$2AP＜PB$,
所以$PB=\frac{3}{4}AB=12$,解得$AB=16$,此时绳子原来的长度为$2AB=32$;
②当“折合点”在点B处时,剪断后绳子分成AP,AP,2PB三段,因为$AP＜PB$,所以$2PB=12$,解得$PB=6$,即$\frac{3}{4}AB=6$,解得$AB=8$,此时绳子原来的长度为$2AB=16$.
综上,绳子原来的长度为16或32.
解析
【分析】
解题时首先明确绳子对折后用AB表示，因此绳子原长为2AB。已知AP:PB=1:3，可先将AP、PB用AB表示；由于对折的折合点可能是点A也可能是点B，两种情况下剪断后最长的线段对应的部分不同，因此需要分类讨论：分别判断两种情形下最长的线段是哪一段，结合最长段为12列方程求出AB的长度，再计算绳子原长即可。
【解析】
已知$AP:PB=1:3$，且$AP+PB=AB$，因此可得$AP=\frac{1}{4}AB$，$PB=\frac{3}{4}AB$，分两种情况讨论：
①当对折的折合点在点A处时，剪断后的绳子分为$2AP$、$PB$、$PB$三段。
因为$2AP=\frac{2}{4}AB=\frac{1}{2}AB$，$PB=\frac{3}{4}AB$，所以$2AP＜PB$，即最长段为$PB$。
由题意得$\frac{3}{4}AB=12$，解得$AB=16$，此时绳子原长为$2AB=2×16=32$。
②当对折的折合点在点B处时，剪断后的绳子分为$AP$、$AP$、$2PB$三段。
因为$AP＜PB$，所以最长段为$2PB$。
由题意得$2PB=12$，即$PB=6$，代入$PB=\frac{3}{4}AB$得$\frac{3}{4}AB=6$，解得$AB=8$，此时绳子原长为$2AB=2×8=16$。
综上，绳子原来的长度为16或32。
【答案】
16或32
【知识点】
线段和差计算，分类讨论思想，比例的应用
【点评】
本题易错点是容易忽略对折折合点的两种可能性，只计算出其中一个结果，解题时要结合对折的实际场景全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确绳子对折后用AB表示，因此绳子原长为2AB。已知AP:PB=1:3，可先将AP、PB用AB表示；由于对折的折合点可能是点A也可能是点B，两种情况下剪断后最长的线段对应的部分不同，因此需要分类讨论：分别判断两种情形下最长的线段是哪一段，结合最长段为12列方程求出AB的长度，再计算绳子原长即可。
【解析】
已知$AP:PB=1:3$，且$AP+PB=AB$，因此可得$AP=\frac{1}{4}AB$，$PB=\frac{3}{4}AB$，分两种情况讨论：
①当对折的折合点在点A处时，剪断后的绳子分为$2AP$、$PB$、$PB$三段。
因为$2AP=\frac{2}{4}AB=\frac{1}{2}AB$，$PB=\frac{3}{4}AB$，所以$2AP＜PB$，即最长段为$PB$。
由题意得$\frac{3}{4}AB=12$，解得$AB=16$，此时绳子原长为$2AB=2×16=32$。
②当对折的折合点在点B处时，剪断后的绳子分为$AP$、$AP$、$2PB$三段。
因为$AP＜PB$，所以最长段为$2PB$。
由题意得$2PB=12$，即$PB=6$，代入$PB=\frac{3}{4}AB$得$\frac{3}{4}AB=6$，解得$AB=8$，此时绳子原长为$2AB=2×8=16$。
综上，绳子原来的长度为16或32。
【答案】
16或32
【知识点】
线段和差计算，分类讨论思想，比例的应用
【点评】
本题易错点是容易忽略对折折合点的两种可能性，只计算出其中一个结果，解题时要结合对折的实际场景全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8.「2025安徽蚌埠月考，★★」已知线段AB上有两个动点C,D,AB=24.
(1)如图1,若点C在点D的左侧,AD+BC=30.
①求CD的长.
②如图2,已知M,N两点分别在线段AC和BD上,且AD=3AM,BC=3BN,请标出点C,D的位置,并求出MN的长.
(2)若AD=3AM,BC=3BN,请直接写出线段AB,CD,MN之间的数量关系:
(1)如图1,若点C在点D的左侧,AD+BC=30.
①求CD的长.
②如图2,已知M,N两点分别在线段AC和BD上,且AD=3AM,BC=3BN,请标出点C,D的位置,并求出MN的长.
(2)若AD=3AM,BC=3BN,请直接写出线段AB,CD,MN之间的数量关系:
$3MN=2AB-CD$
.答案
8.解析 (1)①因为$AB=24$,$AD+BC=30$,所以$AD+BC=AD+BD+CD=AB+CD=30$,所以$CD=30-24=6$.
②如图,点C,D即为所求.
因为$AD=3AM$,$BC=3BN$,所以$AM=\frac{1}{3}AD$,$BN=\frac{1}{3}BC$,
所以$AM+BN=\frac{1}{3}(AD+BC)=10$,所以$MN=AB-(AM+BN)=24-10=14$.
(2)$3MN=2AB-CD$.
详解:由(1)得$AD+BC=AB+CD$,所以$AM+BN=\frac{1}{3}(AD+BC)=\frac{1}{3}(AB+CD)$,因为$MN=AB-(AM+BN)=AB-\frac{1}{3}(AB+CD)$,所以$3MN=3AB-(AB+CD)$,整理,得$3MN=2AB-CD$.
解析
【分析】
(1)①首先观察线段的组成：AD可拆分为AC+CD，BC可拆分为CD+DB，因此AD+BC的和可以转化为(AC+CD+DB)+CD，也就是AB+CD，已知AB和AD+BC的数值，代入即可直接求出CD的长度。
②先根据AD=3AM、BC=3BN的比例关系，得出AM、BN分别是AD、BC的$\frac{1}{3}$，因此AM+BN的和是(AD+BC)的$\frac{1}{3}$，代入AD+BC=30可求出AM+BN的和，再用AB的总长度减去AM与BN的和，即可得到MN的长度，最后根据CD=6的结果标出C、D的位置即可。
(2)将(1)的特殊结论推广到一般情况：无论C、D的位置如何，AD+BC始终等于AB+CD，再结合AM=$\frac{1}{3}$AD、BN=$\frac{1}{3}$BC的比例关系，代入MN=AB-(AM+BN)中整理，即可得到三者的通用数量关系。
【解析】
(1)①已知AB=24，AD+BC=30，
由线段和差关系可得：$AD+BC=(AC+CD)+(CD+DB)=(AC+CD+DB)+CD=AB+CD$，
因此$AB+CD=30$，
解得$CD=30-AB=30-24=6$。
②点C、D位置如图所示：
因为$AD=3AM$，$BC=3BN$，
所以$AM=\frac{1}{3}AD$，$BN=\frac{1}{3}BC$，
因此$AM+BN=\frac{1}{3}(AD+BC)=\frac{1}{3}×30=10$，
所以$MN=AB-(AM+BN)=24-10=14$。
(2)由线段和差关系可得$AD+BC=AB+CD$，
结合$AM=\frac{1}{3}AD$，$BN=\frac{1}{3}BC$，得$AM+BN=\frac{1}{3}(AD+BC)=\frac{1}{3}(AB+CD)$，
又因为$MN=AB-(AM+BN)$，代入得：
$MN=AB-\frac{1}{3}(AB+CD)$，
等式两边同乘3整理得：$3MN=2AB-CD$。
【答案】
(1)①$CD=6$；②$MN=14$，C、D位置见下图：
(2)$3MN=2AB-CD$
【知识点】
线段的和差计算；线段的比例计算
【点评】
本题核心是灵活拆分线段，通过建立所求线段与已知线段的关联解决问题，第(2)问从特殊情况延伸到一般结论，需要摒弃固定位置的思维定势，掌握线段和差的通用推导方法。
【难度系数】
0.65
(1)①首先观察线段的组成：AD可拆分为AC+CD，BC可拆分为CD+DB，因此AD+BC的和可以转化为(AC+CD+DB)+CD，也就是AB+CD，已知AB和AD+BC的数值，代入即可直接求出CD的长度。
②先根据AD=3AM、BC=3BN的比例关系，得出AM、BN分别是AD、BC的$\frac{1}{3}$，因此AM+BN的和是(AD+BC)的$\frac{1}{3}$，代入AD+BC=30可求出AM+BN的和，再用AB的总长度减去AM与BN的和，即可得到MN的长度，最后根据CD=6的结果标出C、D的位置即可。
(2)将(1)的特殊结论推广到一般情况：无论C、D的位置如何，AD+BC始终等于AB+CD，再结合AM=$\frac{1}{3}$AD、BN=$\frac{1}{3}$BC的比例关系，代入MN=AB-(AM+BN)中整理，即可得到三者的通用数量关系。
【解析】
(1)①已知AB=24，AD+BC=30，
由线段和差关系可得：$AD+BC=(AC+CD)+(CD+DB)=(AC+CD+DB)+CD=AB+CD$，
因此$AB+CD=30$，
解得$CD=30-AB=30-24=6$。
②点C、D位置如图所示：
因为$AD=3AM$，$BC=3BN$，
所以$AM=\frac{1}{3}AD$，$BN=\frac{1}{3}BC$，
因此$AM+BN=\frac{1}{3}(AD+BC)=\frac{1}{3}×30=10$，
所以$MN=AB-(AM+BN)=24-10=14$。
(2)由线段和差关系可得$AD+BC=AB+CD$，
结合$AM=\frac{1}{3}AD$，$BN=\frac{1}{3}BC$，得$AM+BN=\frac{1}{3}(AD+BC)=\frac{1}{3}(AB+CD)$，
又因为$MN=AB-(AM+BN)$，代入得：
$MN=AB-\frac{1}{3}(AB+CD)$，
等式两边同乘3整理得：$3MN=2AB-CD$。
【答案】
(1)①$CD=6$；②$MN=14$，C、D位置见下图：
(2)$3MN=2AB-CD$
【知识点】
线段的和差计算；线段的比例计算
【点评】
本题核心是灵活拆分线段，通过建立所求线段与已知线段的关联解决问题，第(2)问从特殊情况延伸到一般结论，需要摒弃固定位置的思维定势，掌握线段和差的通用推导方法。
【难度系数】
0.65
