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9.「2026河南新乡期末，★☆」如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有三颗颜色相同的棋子在同一直线上的直线，这样的直线共有（
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
D
）A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
答案
9.D 如图,共有5条.故选 D.
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求：找出所有存在三颗及以上颜色完全相同的棋子共线的直线。为了避免漏数或重复计数，我们可以按照“竖直方向→水平方向→不同角度斜向”的顺序分类排查，逐一核对每条线上的棋子是否满足“同色、数量≥3”的要求，即可得到最终结果。
【解析】
我们按方向逐一排查符合要求的直线：
1. 竖直最左列有4颗黑色棋子，同色且数量≥3，为第1条符合要求的直线；
2. 剩余4条均为斜向直线：其中2条是3颗黑色棋子共线的直线，2条是3颗白色棋子共线的直线。
综上，符合要求的直线总共有5条。
【答案】
9.D 如图,共有5条.故选 D.
【知识点】
直线的基本事实，分类计数
【点评】
本题考查对直线的识别和图形计数能力，解题的关键是按固定顺序分类排查，能够有效避免漏数、重复数的问题，对细心程度有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目要求：找出所有存在三颗及以上颜色完全相同的棋子共线的直线。为了避免漏数或重复计数，我们可以按照“竖直方向→水平方向→不同角度斜向”的顺序分类排查，逐一核对每条线上的棋子是否满足“同色、数量≥3”的要求，即可得到最终结果。
【解析】
我们按方向逐一排查符合要求的直线：
1. 竖直最左列有4颗黑色棋子，同色且数量≥3，为第1条符合要求的直线；
2. 剩余4条均为斜向直线：其中2条是3颗黑色棋子共线的直线，2条是3颗白色棋子共线的直线。
综上，符合要求的直线总共有5条。
【答案】
9.D 如图,共有5条.故选 D.
【知识点】
直线的基本事实，分类计数
【点评】
本题考查对直线的识别和图形计数能力，解题的关键是按固定顺序分类排查，能够有效避免漏数、重复数的问题，对细心程度有一定要求。
【难度系数】
0.7
10.「2026安徽合肥蜀山月考，★☆」如图
,2条直线相交最多有1个交点；如图,3条直线相交最多有3个交点；如图,4条直线相交最多有6个交点.那么10条直线相交最多有
,2条直线相交最多有1个交点；如图,3条直线相交最多有3个交点；如图,4条直线相交最多有6个交点.那么10条直线相交最多有45
个交点.答案
10.答案 45
解析 因为 2 条直线相交最多有 1 个交点,3 条直线相交最多有 $1+2=3$(个)交点,4 条直线相交最多有 $1+2+3=6$(个)交点,……,则 10 条直线相交最多有 $1+2+3+\dots+9=45$(个)交点.
知识拓展 $n$ 条直线相交最多有 $s$ 个交点,则 $s=1+2+3+\dots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}$.
解析 因为 2 条直线相交最多有 1 个交点,3 条直线相交最多有 $1+2=3$(个)交点,4 条直线相交最多有 $1+2+3=6$(个)交点,……,则 10 条直线相交最多有 $1+2+3+\dots+9=45$(个)交点.
知识拓展 $n$ 条直线相交最多有 $s$ 个交点,则 $s=1+2+3+\dots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确“最多交点”的前提：任意两条直线都相交，且不存在三条及以上直线交于同一点。我们可以从已知的少量直线的交点数入手找规律：每新增1条直线，要让交点最多，这条新直线就要和之前所有的直线都相交，新增的交点数等于原有直线的数量。因此n条直线相交的最多交点数，就是从1开始连续加到(n-1)的和，最后代入n=10计算即可。
【解析】
根据题意可知：
2条直线相交最多有1个交点；
3条直线相交最多有$1+2=3$个交点；
4条直线相交最多有$1+2+3=6$个交点；
由此可推出规律：$n$条直线相交最多有$1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$个交点。
当$n=10$时，最多交点数为$\frac{10×(10-1)}{2}=45$个。
【答案】
45
【知识点】
相交线交点问题，规律探究，有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是理解最多交点的形成条件，通过特殊情况归纳出通用的交点数计算公式，再代入数值求解，能够很好地锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确“最多交点”的前提：任意两条直线都相交，且不存在三条及以上直线交于同一点。我们可以从已知的少量直线的交点数入手找规律：每新增1条直线，要让交点最多，这条新直线就要和之前所有的直线都相交，新增的交点数等于原有直线的数量。因此n条直线相交的最多交点数，就是从1开始连续加到(n-1)的和，最后代入n=10计算即可。
【解析】
根据题意可知：
2条直线相交最多有1个交点；
3条直线相交最多有$1+2=3$个交点；
4条直线相交最多有$1+2+3=6$个交点；
由此可推出规律：$n$条直线相交最多有$1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$个交点。
当$n=10$时，最多交点数为$\frac{10×(10-1)}{2}=45$个。
【答案】
45
【知识点】
相交线交点问题，规律探究，有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是理解最多交点的形成条件，通过特殊情况归纳出通用的交点数计算公式，再代入数值求解，能够很好地锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
11.「★☆」阅读下表.
线段AB上的点数n(包括A,B两点) | 图示 | 线段总条数N
--- | --- | ---
3 | A C B | $3=2+1$
4 | A C
D B | $6=3+2+1$
5 | A C D E B | $10=4+3+2+1$
6 | A C D E F B | $15=5+4+3+2+1$
7 | |
解决下列问题.
(1)在表中的空白处分别画出图形,写出结果.
(2)猜测线段总条数$N$与线段上的点数$n$(包括线段的两个端点)之间的关系.
(3)当$n=10$时,计算$N$的值.
(4)问题拓展:
①七年级(1)班有45位同学参加聚会,如果每两人握一次手问好,那么共握了
②计划从甲市到乙市修建一条高速铁路,在两市之间要停靠6个站点,需要制订$m$种票价,设计$n$种车票,则$m$和$n$的值分别为
A.7,14 B.8,16 C.15,30 D.28,56
线段AB上的点数n(包括A,B两点) | 图示 | 线段总条数N
--- | --- | ---
3 | A C B | $3=2+1$
4 | A C
D B | $6=3+2+1$5 | A C D E B | $10=4+3+2+1$
6 | A C D E F B | $15=5+4+3+2+1$
7 | |
解决下列问题.
(1)在表中的空白处分别画出图形,写出结果.
(2)猜测线段总条数$N$与线段上的点数$n$(包括线段的两个端点)之间的关系.
(3)当$n=10$时,计算$N$的值.
(4)问题拓展:
①七年级(1)班有45位同学参加聚会,如果每两人握一次手问好,那么共握了
990
次手.②计划从甲市到乙市修建一条高速铁路,在两市之间要停靠6个站点,需要制订$m$种票价,设计$n$种车票,则$m$和$n$的值分别为
D
.(填选项的字母)A.7,14 B.8,16 C.15,30 D.28,56
答案
11.解析 (1)第一格：
第二格:$21=6+5+4+3+2+1$.
(2)$N=\dfrac{n(n-1)}{2}$.
(3)当 $n=10$ 时,$N=10×(10-1)÷2=45$.
(4) ①990. 详解:握手的总次数为 $45×(45-1)÷2=990$.
②D. 详解:站点的总个数为 $6+2=8$,$m=8×(8-1)÷2=28$,$n=28×2=56$.故选 D.
解析
【分析】
解题时先从表格给出的已知数据找规律：观察不同点数对应的线段总条数，发现n个点时，线段总条数是从(n-1)依次加到1的和，再通过求和推导通用公式，最后将公式迁移到握手、车票等实际问题中即可。具体步骤：①先处理n=7的情况，按照前面的点数排列规律画图示、写线段总条数的式子；②根据前几组数据的共性，归纳N和n的关系式；③将n=10代入公式计算；④实际问题中，握手、票价都对应不重复的线段计数，车票因往返有区别，计数时要在线段数基础上乘2。
【解析】
(1) 当线段AB上的点数为7（含A、B）时，线段上从左到右依次为A、C、D、E、F、G、B，图示为；
按照规律，线段总条数为$21=6+5+4+3+2+1$。
(2) 观察规律：n个点时，从第一个点出发可连$(n-1)$条不重复线段，第二个点出发可连$(n-2)$条不重复线段，……，倒数第二个点出发可连1条线段，因此总条数：
$N=(n-1)+(n-2)+\dots+2+1$
对该式求和：$N=\dfrac{(n-1+1)×(n-1)}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$。
(3) 把$n=10$代入$N=\dfrac{n(n-1)}{2}$得：
$N=\dfrac{10×(10-1)}{2}=45$。
(4) ①45位同学握手，每两人握1次，相当于45个点的线段总条数，代入公式得：
$\dfrac{45×(45-1)}{2}=990$次。
②甲乙两市加中间6个站点，总站点数为$6+2=8$个：
票价对应不同的线段数量，即$m=\dfrac{8×(8-1)}{2}=28$；
车票往返不同，因此总车票数$n=28×2=56$，故选D。
【答案】
(1) 图示：；线段总条数：$\boldsymbol{21=6+5+4+3+2+1}$
(2) $\boldsymbol{N=\dfrac{n(n-1)}{2}}$
(3) $\boldsymbol{45}$
(4) ①$\boldsymbol{990}$；②$\boldsymbol{D}$
【知识点】
线段计数，规律探究，实际应用
【点评】
本题先通过观察归纳得到线段计数的通用公式，再将规律拓展到生活场景中，核心考查学生的归纳推理能力和知识迁移能力，其中车票和票价的区别是易错点，需要注意是否考虑往返顺序。
【难度系数】
0.7
解题时先从表格给出的已知数据找规律：观察不同点数对应的线段总条数，发现n个点时，线段总条数是从(n-1)依次加到1的和，再通过求和推导通用公式，最后将公式迁移到握手、车票等实际问题中即可。具体步骤：①先处理n=7的情况，按照前面的点数排列规律画图示、写线段总条数的式子；②根据前几组数据的共性，归纳N和n的关系式；③将n=10代入公式计算；④实际问题中，握手、票价都对应不重复的线段计数，车票因往返有区别，计数时要在线段数基础上乘2。
【解析】
(1) 当线段AB上的点数为7（含A、B）时，线段上从左到右依次为A、C、D、E、F、G、B，图示为
；按照规律，线段总条数为$21=6+5+4+3+2+1$。
(2) 观察规律：n个点时，从第一个点出发可连$(n-1)$条不重复线段，第二个点出发可连$(n-2)$条不重复线段，……，倒数第二个点出发可连1条线段，因此总条数：
$N=(n-1)+(n-2)+\dots+2+1$
对该式求和：$N=\dfrac{(n-1+1)×(n-1)}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$。
(3) 把$n=10$代入$N=\dfrac{n(n-1)}{2}$得：
$N=\dfrac{10×(10-1)}{2}=45$。
(4) ①45位同学握手，每两人握1次，相当于45个点的线段总条数，代入公式得：
$\dfrac{45×(45-1)}{2}=990$次。
②甲乙两市加中间6个站点，总站点数为$6+2=8$个：
票价对应不同的线段数量，即$m=\dfrac{8×(8-1)}{2}=28$；
车票往返不同，因此总车票数$n=28×2=56$，故选D。
【答案】
(1) 图示：
；线段总条数：$\boldsymbol{21=6+5+4+3+2+1}$(2) $\boldsymbol{N=\dfrac{n(n-1)}{2}}$
(3) $\boldsymbol{45}$
(4) ①$\boldsymbol{990}$；②$\boldsymbol{D}$
【知识点】
线段计数，规律探究，实际应用
【点评】
本题先通过观察归纳得到线段计数的通用公式，再将规律拓展到生活场景中，核心考查学生的归纳推理能力和知识迁移能力，其中车票和票价的区别是易错点，需要注意是否考虑往返顺序。
【难度系数】
0.7
12. 核心素养 推理能力 「2025安徽淮南月考改编」有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点、……、n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，每经过两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如下表格进行探究：
| 点数 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 示意图 | |
| | | … |
| 直线条数 | 1 | $2+1=\dfrac{2×3}{2}$ | $3+2+1=\dfrac{3×4}{2}$ | $4+3+2+1=\dfrac{4×5}{2}$ | … |
(1)当点数为6时，直线的条数是
(2)请你帮小明归纳出一般性结论(用含n的代数式表示)。
(3)若平面上有20个点，则最多能画出多少条直线？
| 点数 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 示意图 | |
| | | … || 直线条数 | 1 | $2+1=\dfrac{2×3}{2}$ | $3+2+1=\dfrac{3×4}{2}$ | $4+3+2+1=\dfrac{4×5}{2}$ | … |
(1)当点数为6时，直线的条数是
15
。(2)请你帮小明归纳出一般性结论(用含n的代数式表示)。
(3)若平面上有20个点，则最多能画出多少条直线？
答案
12.解析 (1)当点数为 6 时,直线的条数是 $5+4+3+2+1=15$,故答案为 15.
(2)由题图可知,2 个点可以画 1 条直线,
3 个点可以画 $2+1=\dfrac{2×3}{2}=3$ 条直线；
4 个点可以画 $3+2+1=\dfrac{3×4}{2}=6$ 条直线；
5 个点可以画 $4+3+2+1=\dfrac{4×5}{2}=10$ 条直线；
……
所以 $n$ 个点可以画 $(n-1)+(n-2)+\dots+4+3+2+1=\dfrac{n(n-1)}{2}$条直线,
即点数为 $n$ 时,直线的条数为 $\dfrac{n(n-1)}{2}$.
(3)当 $n=20$ 时,$\dfrac{n(n-1)}{2} = \dfrac{20×(20-1)}{2} = 190$,故最多能画出 190 条直线.
(2)由题图可知,2 个点可以画 1 条直线,
3 个点可以画 $2+1=\dfrac{2×3}{2}=3$ 条直线；
4 个点可以画 $3+2+1=\dfrac{3×4}{2}=6$ 条直线；
5 个点可以画 $4+3+2+1=\dfrac{4×5}{2}=10$ 条直线；
……
所以 $n$ 个点可以画 $(n-1)+(n-2)+\dots+4+3+2+1=\dfrac{n(n-1)}{2}$条直线,
即点数为 $n$ 时,直线的条数为 $\dfrac{n(n-1)}{2}$.
(3)当 $n=20$ 时,$\dfrac{n(n-1)}{2} = \dfrac{20×(20-1)}{2} = 190$,故最多能画出 190 条直线.
解析
【分析】
首先观察表格中点数和对应直线条数的规律：当有m个点（任意三点不共线）时，直线条数是从(m-1)开始依次递减1相加直到1的和，也可以写成$\frac{m(m-1)}{2}$的形式。
(1)求点数为6时的直线条数，直接按照规律计算$5+4+3+2+1$即可；
(2)归纳一般性结论，把点数替换为n，类比前面的规律推导n个点时的直线条数公式；
(3)求20个点对应的直线条数，只需将n=20代入归纳出的公式计算即可。
【解析】
(1)根据表格呈现的规律，点数为6时，直线条数为：
$5+4+3+2+1=\frac{5×6}{2}=15$
(2)观察已知数据：
2个点时，直线条数为$1=\frac{2×1}{2}$；
3个点时，直线条数为$2+1=\frac{3×2}{2}$；
4个点时，直线条数为$3+2+1=\frac{4×3}{2}$；
……
以此类推，当有n个点（任意三点不共线）时，直线条数为$(n-1)+(n-2)+\dots+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$。
(3)当$n=20$时，代入公式得：
$\frac{20×(20-1)}{2}=\frac{20×19}{2}=190$
【答案】
(1)$15$；(2)$\frac{n(n-1)}{2}$（n为不小于2的正整数，任意三点不共线）；(3)$190$条
【知识点】
两点确定一条直线；规律探究；代数式求值
【点评】
本题通过从特殊到一般的归纳推理，得到平面内不共线的点确定直线条数的通用公式，既考查了逻辑推理能力，也考查了代数式的应用，掌握该规律可以快速解决同类计数问题。
【难度系数】
0.7
首先观察表格中点数和对应直线条数的规律：当有m个点（任意三点不共线）时，直线条数是从(m-1)开始依次递减1相加直到1的和，也可以写成$\frac{m(m-1)}{2}$的形式。
(1)求点数为6时的直线条数，直接按照规律计算$5+4+3+2+1$即可；
(2)归纳一般性结论，把点数替换为n，类比前面的规律推导n个点时的直线条数公式；
(3)求20个点对应的直线条数，只需将n=20代入归纳出的公式计算即可。
【解析】
(1)根据表格呈现的规律，点数为6时，直线条数为：
$5+4+3+2+1=\frac{5×6}{2}=15$
(2)观察已知数据：
2个点时，直线条数为$1=\frac{2×1}{2}$；
3个点时，直线条数为$2+1=\frac{3×2}{2}$；
4个点时，直线条数为$3+2+1=\frac{4×3}{2}$；
……
以此类推，当有n个点（任意三点不共线）时，直线条数为$(n-1)+(n-2)+\dots+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$。
(3)当$n=20$时，代入公式得：
$\frac{20×(20-1)}{2}=\frac{20×19}{2}=190$
【答案】
(1)$15$；(2)$\frac{n(n-1)}{2}$（n为不小于2的正整数，任意三点不共线）；(3)$190$条
【知识点】
两点确定一条直线；规律探究；代数式求值
【点评】
本题通过从特殊到一般的归纳推理，得到平面内不共线的点确定直线条数的通用公式，既考查了逻辑推理能力，也考查了代数式的应用，掌握该规律可以快速解决同类计数问题。
【难度系数】
0.7
