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1.「2025河南西峡期末」古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法:如图所示,为了测量金字塔的高度OB,先竖立一根已知长度的木棒O'B',比较木棒的影长A'B'与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB.如果$O'B'=1$,$A'B'=2$,$AB=274$,求金字塔的高度OB.
答案
1.解析
∵太阳光线是平行光线,
∴ ∠OAB=∠O'A'B',
又
∵ ∠ABO=∠A'B'O'=90°,
∴ △OAB∽△O'A'B',
∴ OB : O'B' = AB : A'B',
∴ $OB=\frac{AB · O'B'}{A'B'}=\frac{274×1}{2}=137.$
答:金字塔的高度为137.
∵太阳光线是平行光线,
∴ ∠OAB=∠O'A'B',
又
∵ ∠ABO=∠A'B'O'=90°,
∴ △OAB∽△O'A'B',
∴ OB : O'B' = AB : A'B',
∴ $OB=\frac{AB · O'B'}{A'B'}=\frac{274×1}{2}=137.$
答:金字塔的高度为137.
解析
【分析】
本题是利用相似三角形测量实物高度的实际问题，解题时首先结合平行光线的特征，可得两个三角形的对应锐角相等，再结合木棒、金字塔均与地面垂直得到两个直角相等，即可证明两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出关于OB的比例式，代入已知数据计算即可得到金字塔的高度。
【解析】
∵太阳光线是平行光线，
∴$∠ OAB=∠ O'A'B'$，
又
∵$∠ ABO=∠ A'B'O'=90°$，
∴$△ OAB ∽ △ O'A'B'$，
∴$\frac{OB}{O'B'}=\frac{AB}{A'B'}$，
将$O'B'=1$，$A'B'=2$，$AB=274$代入比例式得：
$OB=\frac{AB·O'B'}{A'B'}=\frac{274×1}{2}=137$。
【答案】
137
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平行投影的特征
【点评】
本题是相似三角形在实际测量领域的典型应用，解题核心是结合平行光线的特点构造出相似三角形，将实际的长度测量问题转化为数学中的比例计算问题，解题思路清晰，贴近生活实际。
【难度系数】
0.85
本题是利用相似三角形测量实物高度的实际问题，解题时首先结合平行光线的特征，可得两个三角形的对应锐角相等，再结合木棒、金字塔均与地面垂直得到两个直角相等，即可证明两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出关于OB的比例式，代入已知数据计算即可得到金字塔的高度。
【解析】
∵太阳光线是平行光线，
∴$∠ OAB=∠ O'A'B'$，
又
∵$∠ ABO=∠ A'B'O'=90°$，
∴$△ OAB ∽ △ O'A'B'$，
∴$\frac{OB}{O'B'}=\frac{AB}{A'B'}$，
将$O'B'=1$，$A'B'=2$，$AB=274$代入比例式得：
$OB=\frac{AB·O'B'}{A'B'}=\frac{274×1}{2}=137$。
【答案】
137
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平行投影的特征
【点评】
本题是相似三角形在实际测量领域的典型应用，解题核心是结合平行光线的特点构造出相似三角形，将实际的长度测量问题转化为数学中的比例计算问题，解题思路清晰，贴近生活实际。
【难度系数】
0.85
2.「2026北京通州期中改编」在数学探究活动中，李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1 m长的标杆影长为0.8 m，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离BC=12 m，旗杆在教学楼墙上的影长CD=1.5 m，求旗杆AB的高。
答案
2.解析 如图,过点D作DH//BC交AB于H,则四边形BCDH是矩形,
∴ DH=BC=12 m,BH=CD=1.5 m,
由同一时刻物高与影长成比例可得$\frac{AH}{HD}=\frac{1}{0.8}$,即$\frac{AH}{12}=\frac{1}{0.8}$,解得AH=15 m,
∴ AB=AH+BH=15+1.5=16.5(m).
答:旗杆AB的高为16.5 m.
解析
【分析】
遇到影子部分落在建筑物上的测高问题，无法直接用地面影长计算物高，可通过作辅助线拆分图形：过墙上影子顶端D作平行于地面BC的直线，交旗杆AB于点H，此时四边形BCDH为矩形，可得到BH与CD等长、DH与BC等长。剩余旗杆部分AH的影长恰好为DH的长度，再结合同一时刻物高与影长比值固定的规律，即可先求出AH的长度，最后将AH与BH相加得到旗杆总高度。
【解析】
如图，过点D作$DH// BC$交AB于H，
$\because DH// BC$，$AB⊥ BC$，$CD⊥ BC$，
$\therefore$ 四边形BCDH是矩形，
$\therefore DH=BC=12\ \mathrm{m}$，$BH=CD=1.5\ \mathrm{m}$，
由同一时刻物高与影长成比例可得$\frac{AH}{HD}=\frac{1}{0.8}$，即$\frac{AH}{12}=\frac{1}{0.8}$，解得$AH=15\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AH+BH=15+1.5=16.5(\mathrm{m})$。
【答案】
旗杆AB的高为16.5 m。
【知识点】
相似三角形测高，矩形的性质，平行投影性质
【点评】
本题是平行投影测高的典型应用题，解题关键是通过作辅助线将墙体上的影子转化为可计算的几何量，结合物高与影长的比例关系求解，能有效提升学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.65
遇到影子部分落在建筑物上的测高问题，无法直接用地面影长计算物高，可通过作辅助线拆分图形：过墙上影子顶端D作平行于地面BC的直线，交旗杆AB于点H，此时四边形BCDH为矩形，可得到BH与CD等长、DH与BC等长。剩余旗杆部分AH的影长恰好为DH的长度，再结合同一时刻物高与影长比值固定的规律，即可先求出AH的长度，最后将AH与BH相加得到旗杆总高度。
【解析】
如图，过点D作$DH// BC$交AB于H，
$\because DH// BC$，$AB⊥ BC$，$CD⊥ BC$，
$\therefore$ 四边形BCDH是矩形，
$\therefore DH=BC=12\ \mathrm{m}$，$BH=CD=1.5\ \mathrm{m}$，
由同一时刻物高与影长成比例可得$\frac{AH}{HD}=\frac{1}{0.8}$，即$\frac{AH}{12}=\frac{1}{0.8}$，解得$AH=15\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AH+BH=15+1.5=16.5(\mathrm{m})$。
【答案】
旗杆AB的高为16.5 m。
【知识点】
相似三角形测高，矩形的性质，平行投影性质
【点评】
本题是平行投影测高的典型应用题，解题关键是通过作辅助线将墙体上的影子转化为可计算的几何量，结合物高与影长的比例关系求解，能有效提升学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.65
3.学习了相似三角形相关知识后,小明和小亮想利用“标杆”测量大楼的高度.如图,小明站立在地面点F处,小亮在点B处竖立“标杆”AB,使得小明的头顶E、标杆顶端A、楼顶端C在一条直线上(点F,B,D也在一条直线上).已知小明的身高EF=1.5米,“标杆”AB=2.5米,BD=23米,FB=2米.求大楼CD的高度(CD垂直于地面).
答案
3.解析 如图,过点E作EH⊥CD于点H,交AB于点J,则四边形EFBJ,四边形EFDH都是矩形,
∴ EF=BJ=DH=1.5 米,BF=EJ=2 米,DB=JH=23 米,
∴ EH=EJ+JH=25 米,
∵ AB=2.5 米,
∴ AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(米),
∵ AJ//CH,
∴ △EAJ∽△ECH,
∴ $\frac{AJ}{CH}=\frac{EJ}{EH}$,
∴ $\frac{1}{CH}=\frac{2}{25}$,
∴ CH=12.5 米,
∴ CD=CH+DH=12.5+1.5=14(米).
∴ 大楼CD的高度为14米.
解析
【分析】
这是利用相似三角形测量物体高度的实际应用题，解题时可通过作水平辅助线构造矩形与相似三角形，将实际问题转化为几何计算问题。首先过点E作CD的垂线，把竖直方向的线段拆分成矩形的边和相似三角形的对应边，再利用矩形性质得到各段已知边长，接着证明两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例求出未知线段长度，最后相加得到大楼的高度。
【解析】
如图，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J，则四边形EFBJ、四边形EFDH都是矩形，
∴ EF=BJ=DH=1.5米，BF=EJ=2米，DB=JH=23米，
∴ EH=EJ+JH=2+23=25米，
∵ AB=2.5米，
∴ AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1米，
∵ AJ//CH，
∴ △EAJ∽△ECH，
∴ $\frac{AJ}{CH}=\frac{EJ}{EH}$，
代入数据得$\frac{1}{CH}=\frac{2}{25}$，解得CH=12.5米，
∴ CD=CH+DH=12.5+1.5=14米。
【答案】
大楼CD的高度为14米。
【知识点】
相似三角形测高；矩形的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型题型，解题的关键是合理作辅助线构造相似三角形，将实际场景中的长度关系转化为几何图形中的线段关系，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是利用相似三角形测量物体高度的实际应用题，解题时可通过作水平辅助线构造矩形与相似三角形，将实际问题转化为几何计算问题。首先过点E作CD的垂线，把竖直方向的线段拆分成矩形的边和相似三角形的对应边，再利用矩形性质得到各段已知边长，接着证明两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例求出未知线段长度，最后相加得到大楼的高度。
【解析】
如图，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J，则四边形EFBJ、四边形EFDH都是矩形，
∴ EF=BJ=DH=1.5米，BF=EJ=2米，DB=JH=23米，
∴ EH=EJ+JH=2+23=25米，
∵ AB=2.5米，
∴ AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1米，
∵ AJ//CH，
∴ △EAJ∽△ECH，
∴ $\frac{AJ}{CH}=\frac{EJ}{EH}$，
代入数据得$\frac{1}{CH}=\frac{2}{25}$，解得CH=12.5米，
∴ CD=CH+DH=12.5+1.5=14米。
【答案】
大楼CD的高度为14米。
【知识点】
相似三角形测高；矩形的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型题型，解题的关键是合理作辅助线构造相似三角形，将实际场景中的长度关系转化为几何图形中的线段关系，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
