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1.「2025内蒙古中考」如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别是O(0,0),A(2,1),B(1,2),以原点O为位似中心,在第三象限画△OA'B'与△OAB位似,若△OA'B'与△OAB的相似比为2:1,则点A的对应点A'的坐标为 (
A.$(-2,-1)$
B.$(-4,-2)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-2,-4)$
B
)A.$(-2,-1)$
B.$(-4,-2)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-2,-4)$
答案
1.B
∵以原点O为位似中心,在第三象限画△OA'B'与△OAB位似,△OA'B'与△OAB的相似比为2:1,
∴点A(2,1)的对应点A'的坐标为(-2×2,-2×1),即A'的坐标为(-4,-2).故选B.
∵以原点O为位似中心,在第三象限画△OA'B'与△OAB位似,△OA'B'与△OAB的相似比为2:1,
∴点A(2,1)的对应点A'的坐标为(-2×2,-2×1),即A'的坐标为(-4,-2).故选B.
解析
【分析】
解决本题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心时，对应点坐标的变化规律：若位似比为k，则原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)（位似图形与原图形在原点同侧）或(-kx,-ky)（位似图形与原图形在原点异侧）。首先判断得△OA'B'在第三象限，和第一象限的△OAB在原点异侧，因此对应点坐标符号为负，再结合相似比2:1，将点A的坐标按规律计算即可得到A'的坐标。
【解析】
已知位似中心为原点O，△OA'B'与△OAB的相似比为2:1，且△OA'B'在第三象限，与第一象限的△OAB位于原点两侧。
根据原点为位似中心的坐标变化规律，点A(2,1)的对应点A'的横、纵坐标分别为点A横、纵坐标乘以-2，
即A'的横坐标为：2×(-2)=-4，纵坐标为：1×(-2)=-2，
因此A'的坐标为(-4,-2)，故选B。
【答案】
B
【知识点】
位似的坐标规律，位似的性质，相似比
【点评】
本题是位似部分的基础常考题，重点考查原点为位似中心时位似图形对应点的坐标计算，解题的关键是根据位似图形所在的象限确定坐标的符号，再结合相似比计算，易错点是容易忽略符号或错用相似比。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心时，对应点坐标的变化规律：若位似比为k，则原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)（位似图形与原图形在原点同侧）或(-kx,-ky)（位似图形与原图形在原点异侧）。首先判断得△OA'B'在第三象限，和第一象限的△OAB在原点异侧，因此对应点坐标符号为负，再结合相似比2:1，将点A的坐标按规律计算即可得到A'的坐标。
【解析】
已知位似中心为原点O，△OA'B'与△OAB的相似比为2:1，且△OA'B'在第三象限，与第一象限的△OAB位于原点两侧。
根据原点为位似中心的坐标变化规律，点A(2,1)的对应点A'的横、纵坐标分别为点A横、纵坐标乘以-2，
即A'的横坐标为：2×(-2)=-4，纵坐标为：1×(-2)=-2，
因此A'的坐标为(-4,-2)，故选B。
【答案】
B
【知识点】
位似的坐标规律，位似的性质，相似比
【点评】
本题是位似部分的基础常考题，重点考查原点为位似中心时位似图形对应点的坐标计算，解题的关键是根据位似图形所在的象限确定坐标的符号，再结合相似比计算，易错点是容易忽略符号或错用相似比。
【难度系数】
0.8
2. 学科特色 易错题「2026辽宁沈阳期中」如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，边OA在x轴负半轴上，边OC在y轴正半轴上，点B的坐标为$(-6,4)$，如果矩形$OA'B'C'$与矩形OABC关于点O位似，且相似比为$\frac{1}{2}$，那么点B'的坐标为（
A.$(3,2)$
B.$(-3,2)$或$(3,-2)$
C.$(-12,8)$
D.$(-12,8)$或$(12,-8)$
B
）A.$(3,2)$
B.$(-3,2)$或$(3,-2)$
C.$(-12,8)$
D.$(-12,8)$或$(12,-8)$
答案
2.B
∵矩形$OA'B'C'$与矩形OABC关于点O位似,且相似比为$\frac{1}{2}$,点B的坐标为$(-6,4)$,
∴点B'的坐标为
$(-6×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})$或$(-6×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))$,即点B'的坐标为$(-3,2)$或$(3,-2)$.故选B.
易错警示 本题有位似图形在位似中心的同侧和异侧两种情况,易忽视横、纵坐标分别乘-k的情况(k为相似比).
∵矩形$OA'B'C'$与矩形OABC关于点O位似,且相似比为$\frac{1}{2}$,点B的坐标为$(-6,4)$,
∴点B'的坐标为
$(-6×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})$或$(-6×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))$,即点B'的坐标为$(-3,2)$或$(3,-2)$.故选B.
易错警示 本题有位似图形在位似中心的同侧和异侧两种情况,易忽视横、纵坐标分别乘-k的情况(k为相似比).
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换问题，解题思路如下：首先回忆位似变换的坐标规律：若位似中心是坐标原点，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，题目未明确位似图形的位置，因此两种情况都需要考虑；再将点B的坐标分别乘$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$，即可得到点B'的两个可能坐标。
【解析】
已知矩形$OA'B'C'$与矩形OABC关于点O位似，相似比为$\frac{1}{2}$，点B的坐标为$(-6,4)$。
根据以原点为位似中心的位似变换坐标规律，分两种情况计算：
1. 当两个矩形在位似中心O同侧时，点B'的坐标为$(-6×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})=(-3,2)$；
2. 当两个矩形在位似中心O异侧时，点B'的坐标为$(-6×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))=(3,-2)$。
综上，点B'的坐标为$(-3,2)$或$(3,-2)$，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题是位似变换的易错题，解题时容易忽略位似图形在位似中心异侧的情况而漏解，熟练掌握以原点为位似中心时对应点的坐标变化规律，全面考虑两种位置情况是正确解题的核心。
【难度系数】
0.6
本题考查平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换问题，解题思路如下：首先回忆位似变换的坐标规律：若位似中心是坐标原点，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，题目未明确位似图形的位置，因此两种情况都需要考虑；再将点B的坐标分别乘$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$，即可得到点B'的两个可能坐标。
【解析】
已知矩形$OA'B'C'$与矩形OABC关于点O位似，相似比为$\frac{1}{2}$，点B的坐标为$(-6,4)$。
根据以原点为位似中心的位似变换坐标规律，分两种情况计算：
1. 当两个矩形在位似中心O同侧时，点B'的坐标为$(-6×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})=(-3,2)$；
2. 当两个矩形在位似中心O异侧时，点B'的坐标为$(-6×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))=(3,-2)$。
综上，点B'的坐标为$(-3,2)$或$(3,-2)$，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题是位似变换的易错题，解题时容易忽略位似图形在位似中心异侧的情况而漏解，熟练掌握以原点为位似中心时对应点的坐标变化规律，全面考虑两种位置情况是正确解题的核心。
【难度系数】
0.6
3. 学科特色教材变式「2025安徽中考」如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系$xOy$，$△ ABC$的顶点和$A_1$均为格点（网格线的交点）。已知点$A$和$A_1$的坐标分别为$(-1,-3)$和$(2,6)$。
(1)在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$，并写出点$D$的坐标。
(2)以点$O$为位似中心，将$△ ABC$放大得到$△ A_1B_1C_1$，使得点$A$的对应点为$A_1$，请在所给的网格图中画出$△ A_1B_1C_1$。
(1)在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$，并写出点$D$的坐标。
(2)以点$O$为位似中心，将$△ ABC$放大得到$△ A_1B_1C_1$，使得点$A$的对应点为$A_1$，请在所给的网格图中画出$△ A_1B_1C_1$。
答案
3.解析 (1)如图,点D即为所求.
由图可得,点D的坐标为$(-2,-1)$.
(2)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
解析
【分析】
(1) 首先根据已知点A的坐标明确网格的坐标读取规则，找到点B的坐标，再利用中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，计算AB中点D的坐标，最后在网格中描出点D即可。
(2) 当位似中心为原点时，位似图形的对应点坐标比等于位似比，先根据点A和其对应点$A_1$的坐标计算位似比，再将点B、C的坐标乘位似比得到对应点$B_1$、$C_1$的坐标，在网格中描出$B_1$、$C_1$后依次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即可得到放大后的$△ A_1B_1C_1$。
【解析】
(1) 观察网格，已知点A坐标为$(-1,-3)$，可得点B的坐标为$(-3,1)$。根据中点坐标公式，AB中点D的横坐标为$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，纵坐标为$\frac{-3+1}{2}=-1$，因此点D的坐标为$(-2,-1)$，在网格中对应位置描出点D即可。
(2) 已知位似中心为原点O，点A$(-1,-3)$的对应点为$A_1(2,6)$，可得位似比$k=\frac{2}{-1}=-2$，即位似变换后对应点的坐标为原坐标乘$-2$。
观察网格得点C坐标为$(-2,3)$，因此：
点B的对应点$B_1$坐标为$(-3×(-2),1×(-2))=(6,-2)$，
点C的对应点$C_1$坐标为$(-2×(-2),3×(-2))=(4,-6)$，
在网格中找到$B_1$、$C_1$，依次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
【答案】
(1) 如图，点D即为所求，点D的坐标为$\boldsymbol{(-2,-1)}$。
(2) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
【知识点】
中点坐标计算，位似图形的坐标变换，网格作图
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何变换结合的基础题，既考查了中点坐标的计算方法，也考查了位似图形的作图规则，解题时结合网格特征准确读取点坐标、牢记变换规律即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
(1) 首先根据已知点A的坐标明确网格的坐标读取规则，找到点B的坐标，再利用中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，计算AB中点D的坐标，最后在网格中描出点D即可。
(2) 当位似中心为原点时，位似图形的对应点坐标比等于位似比，先根据点A和其对应点$A_1$的坐标计算位似比，再将点B、C的坐标乘位似比得到对应点$B_1$、$C_1$的坐标，在网格中描出$B_1$、$C_1$后依次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即可得到放大后的$△ A_1B_1C_1$。
【解析】
(1) 观察网格，已知点A坐标为$(-1,-3)$，可得点B的坐标为$(-3,1)$。根据中点坐标公式，AB中点D的横坐标为$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，纵坐标为$\frac{-3+1}{2}=-1$，因此点D的坐标为$(-2,-1)$，在网格中对应位置描出点D即可。
(2) 已知位似中心为原点O，点A$(-1,-3)$的对应点为$A_1(2,6)$，可得位似比$k=\frac{2}{-1}=-2$，即位似变换后对应点的坐标为原坐标乘$-2$。
观察网格得点C坐标为$(-2,3)$，因此：
点B的对应点$B_1$坐标为$(-3×(-2),1×(-2))=(6,-2)$，
点C的对应点$C_1$坐标为$(-2×(-2),3×(-2))=(4,-6)$，
在网格中找到$B_1$、$C_1$，依次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
【答案】
(1) 如图，点D即为所求，点D的坐标为$\boldsymbol{(-2,-1)}$。
(2) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
【知识点】
中点坐标计算，位似图形的坐标变换，网格作图
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何变换结合的基础题，既考查了中点坐标的计算方法，也考查了位似图形的作图规则，解题时结合网格特征准确读取点坐标、牢记变换规律即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
4.「2026福建漳州漳浦月考，★☆」如图，$△ ABC$中，$A,B$两个顶点在$x$轴的上方，点$C$的坐标是$(-1,0)$。以点$C$为位似中心，在$x$轴的下方作$△ ABC$的位似图形$△ A'B'C$，并把$△ ABC$的各边长放大到原来的2倍。若点$B$的对应点$B'$的横坐标是2，则点$B$的横坐标是（
A.$-1$
B.$-\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$-\dfrac{5}{2}$
D
）A.$-1$
B.$-\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$-\dfrac{5}{2}$
答案
4.D 如图,过点 B,B'分别作 $BD ⊥ x$ 轴于 D,$B'E ⊥ x$ 轴于 E,
∴ $∠BDC= ∠B'EC=90°$.
∵ $△ABC$ 的位似图形是 $△A'B'C$,
∴ 点 B,C,B'在一条直线上,
∴ $∠BCD= ∠B'CE$,
∴ $△BCD∽ △B'CE$,
∴ $\frac{CD}{CE}=\frac{BC}{B'C}$,
由题意得 $\frac{BC}{B'C}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{CD}{CE}=\frac{1}{2}$,
∵ 点 B'的横坐标是 2,点 C 的坐标是 $(-1,0)$,
∴ $CE=3$,
∴ $CD=\frac{3}{2}$,
∴ $OD=\frac{5}{2}$,
∴ 点 B 的横坐标为 $-\frac{5}{2}$.
故选 D.
解析
【分析】
本题是平面直角坐标系中的位似计算问题，解题思路如下：首先回忆位似的性质，位似图形对应点的连线经过位似中心，且对应边的比等于位似比，本题中位似比为1:2（△ABC放大到2倍得到△A'B'C）。要求点B的横坐标，我们可以过B、B'作x轴的垂线，构造两个相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，先求出点B到位似中心C的水平距离，再结合C点的坐标推出B点的横坐标。
【解析】
如图，过点B、B'分别作$BD ⊥ x$轴于D，$B'E ⊥ x$轴于E，
∴ $∠ BDC= ∠ B'EC=90°$。
∵ $△ABC$ 的位似图形是 $△A'B'C$，
∴ 点B、C、B'在同一条直线上，
∴ $∠ BCD= ∠ B'CE$，
∴ $△BCD ∽ △B'CE$，
∴ $\frac{CD}{CE}=\frac{BC}{B'C}$。
由题意得位似比$\frac{BC}{B'C}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{CD}{CE}=\frac{1}{2}$。
∵ 点B'的横坐标是2，点C的坐标是$(-1,0)$，
∴ $CE=2-(-1)=3$，
∴ $CD=\frac{1}{2}CE=\frac{3}{2}$。
∵ 点D在点C的左侧，
∴ 点D的横坐标为$-1-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$，即点B的横坐标为$-\frac{5}{2}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似的性质；相似三角形的判定与性质；平面直角坐标系坐标
【点评】
本题结合位似图形和相似三角形的知识求解坐标，解题的关键是通过作x轴的垂线构造相似三角形，准确计算位似中心到两个对应点的水平距离，注意对应点在位似中心的两侧时坐标的计算方向，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
本题是平面直角坐标系中的位似计算问题，解题思路如下：首先回忆位似的性质，位似图形对应点的连线经过位似中心，且对应边的比等于位似比，本题中位似比为1:2（△ABC放大到2倍得到△A'B'C）。要求点B的横坐标，我们可以过B、B'作x轴的垂线，构造两个相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，先求出点B到位似中心C的水平距离，再结合C点的坐标推出B点的横坐标。
【解析】
如图，过点B、B'分别作$BD ⊥ x$轴于D，$B'E ⊥ x$轴于E，
∴ $∠ BDC= ∠ B'EC=90°$。
∵ $△ABC$ 的位似图形是 $△A'B'C$，
∴ 点B、C、B'在同一条直线上，
∴ $∠ BCD= ∠ B'CE$，
∴ $△BCD ∽ △B'CE$，
∴ $\frac{CD}{CE}=\frac{BC}{B'C}$。
由题意得位似比$\frac{BC}{B'C}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{CD}{CE}=\frac{1}{2}$。
∵ 点B'的横坐标是2，点C的坐标是$(-1,0)$，
∴ $CE=2-(-1)=3$，
∴ $CD=\frac{1}{2}CE=\frac{3}{2}$。
∵ 点D在点C的左侧，
∴ 点D的横坐标为$-1-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$，即点B的横坐标为$-\frac{5}{2}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似的性质；相似三角形的判定与性质；平面直角坐标系坐标
【点评】
本题结合位似图形和相似三角形的知识求解坐标，解题的关键是通过作x轴的垂线构造相似三角形，准确计算位似中心到两个对应点的水平距离，注意对应点在位似中心的两侧时坐标的计算方向，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
5.「★☆」如图,在直角坐标系中,每个网格小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形$PA_1A_2A_3$,正方形$PA_4A_5A_6$,……,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形$PA_1A_2A_3$的顶点分别为$P(-3,0)$,$A_1(-2,1)$,$A_2(-1,0)$,$A_3(-2,-1)$,则顶点$A_{100}$的坐标为
(31,34)
.答案
5.答案 $(31,34)$
解析 由题意可知 $A_1(-2,1),A_4(-1,2),A_7(0,3)$,观察发现,点的下标满足规律:$1=3×0+1,4=3×1+1,7=3×2+1$,
∵ $100=3×33+1$,
∴ 点 $A_{100}$ 在直线 $PA_1$ 上.对于$A_1(-2,1),A_4(-1,2),A_7(0,3)$,
∵ 各点的横坐标依次为$-2=0-2,-1=1-2,0=2-2$,
∴ $A_{100}$ 的横坐标为 $33-2$,
∵ 各点纵坐标依次为 $1=0+1,2=1+1,3=2+1$,……,
∴ $A_{100}$的纵坐标为 $33+1$,
∴ 顶点 $A_{100}$ 的坐标为 $(33-2,33+1)$,即$(31,34)$.
解析 由题意可知 $A_1(-2,1),A_4(-1,2),A_7(0,3)$,观察发现,点的下标满足规律:$1=3×0+1,4=3×1+1,7=3×2+1$,
∵ $100=3×33+1$,
∴ 点 $A_{100}$ 在直线 $PA_1$ 上.对于$A_1(-2,1),A_4(-1,2),A_7(0,3)$,
∵ 各点的横坐标依次为$-2=0-2,-1=1-2,0=2-2$,
∴ $A_{100}$ 的横坐标为 $33-2$,
∵ 各点纵坐标依次为 $1=0+1,2=1+1,3=2+1$,……,
∴ $A_{100}$的纵坐标为 $33+1$,
∴ 顶点 $A_{100}$ 的坐标为 $(33-2,33+1)$,即$(31,34)$.
解析
【分析】
解决本题需分三步思考：第一步先观察已知的点$A_1$、$A_4$、$A_7$的下标特征，归纳该组点的下标通用规律，验证$A_{100}$是否属于该组；第二步分析该组点的横、纵坐标随下标变化的对应规律，写出坐标和参数的关系式；第三步将$A_{100}$对应的参数代入关系式计算，即可得到坐标。
【解析】
解：由已知得点$A_1(-2,1)$，$A_4(-1,2)$，$A_7(0,3)$。
1. 推导下标规律：观察下标可得$1=3×0+1$，$4=3×1+1$，$7=3×2+1$，该组点下标满足$3n+1$（$n$为非负整数）；
因为$100=3×33+1$，所以$A_{100}$属于该点列，对应参数$n=33$。
2. 推导坐标规律：
横坐标：$-2=0-2$，$-1=1-2$，$0=2-2$，即横坐标为$n-2$；
纵坐标：$1=0+1$，$2=1+1$，$3=2+1$，即纵坐标为$n+1$。
3. 代入计算：
将$n=33$代入得，横坐标为$33-2=31$，纵坐标为$33+1=34$。
【答案】
$(31,34)$
【知识点】
1. 规律型点的坐标
2. 位似的性质
【点评】
本题是坐标规律探究的典型题型，解题核心是先对已知点分组找到下标分类规律，再推导同组内坐标的变化特征，侧重考查学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
解决本题需分三步思考：第一步先观察已知的点$A_1$、$A_4$、$A_7$的下标特征，归纳该组点的下标通用规律，验证$A_{100}$是否属于该组；第二步分析该组点的横、纵坐标随下标变化的对应规律，写出坐标和参数的关系式；第三步将$A_{100}$对应的参数代入关系式计算，即可得到坐标。
【解析】
解：由已知得点$A_1(-2,1)$，$A_4(-1,2)$，$A_7(0,3)$。
1. 推导下标规律：观察下标可得$1=3×0+1$，$4=3×1+1$，$7=3×2+1$，该组点下标满足$3n+1$（$n$为非负整数）；
因为$100=3×33+1$，所以$A_{100}$属于该点列，对应参数$n=33$。
2. 推导坐标规律：
横坐标：$-2=0-2$，$-1=1-2$，$0=2-2$，即横坐标为$n-2$；
纵坐标：$1=0+1$，$2=1+1$，$3=2+1$，即纵坐标为$n+1$。
3. 代入计算：
将$n=33$代入得，横坐标为$33-2=31$，纵坐标为$33+1=34$。
【答案】
$(31,34)$
【知识点】
1. 规律型点的坐标
2. 位似的性质
【点评】
本题是坐标规律探究的典型题型，解题核心是先对已知点分组找到下标分类规律，再推导同组内坐标的变化特征，侧重考查学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
