9. (2025·淮北模拟)有一个圆形珠宝展柜,如图所示,商家在展柜的边缘A处安装了一个监控摄像头,它的监控角度为$50°$.若要全方位监控圆形展柜,则至少要安装个监控摄像头.

9.4 解析:
∵ $∠ A=50°$,
∴ $∠ A$ 所对弧所对的圆心角度数是$100°$.
∵ $360°÷100°=3\frac{3}{5}$,
∴ 至少要安装 4 个监控摄像头.

10. (2026·西安模拟)如图,AB是$\odot O$的直径,BC,BD是$\odot O$的两条弦,连接CD,$∠DCB=45°$,BC平分$∠ABD$,则$∠CBD$的度数为.

10. 22.5° 解析:连接 AD,
∵ $∠ DCB=45°$,
∴ $∠ DCB=∠ BAD=45°$.
∵ AB 是$\odot O$的直径,
∴ $∠ ADB=90°$,
∴ $∠ ABD=90°-∠ BAD=45°$.
∵ BC 平分$∠ ABD$,
∴ $∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABD=\frac{1}{2}×45°=22.5°$.

11.(2026·榆林期末)如图,半径为5的$\odot O$中,弦AB,CD所对的圆心角分别为$∠ AOB$和$∠ COD$,若$CD=6$,$∠ AOB$与$∠ COD$互补,则弦AB的长为.

11. 8 解析:如图,延长 AO 交$\odot O$于点 E,连接 BE,则$∠ AOB+∠ BOE=180°$,
∵ $∠ AOB+∠ COD=180°$,
∴ $∠ BOE=∠ COD$,
∴ BE=CD=6.
∵ AE 为$\odot O$的直径,
∴ $∠ ABE=90°$, $AE=2×5=10$,
∴ $AB=\sqrt{AE^2-BE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.

12.(2025·松原期末)如图,已知AB是$\odot O$的弦,点C在弦AB上,$AC=11\ \mathrm{cm},BC=21\ \mathrm{cm},OC=13\ \mathrm{cm}$,则圆心O到AB的距离为cm.

12. 12 解析:如图,过点 O 作 $OE ⊥ AB$ 于点 E,则 $AE=\frac{1}{2}AB$,
∵ $AB=AC+BC=11+21=32(\mathrm{cm})$,
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=16$ cm,
∴ $CE=AE-AC=5$ cm.在$\mathrm{Rt}△ OCE$中,由勾股定理得 $OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12(\mathrm{cm})$,即圆心 O 到 AB 的距离为 12 cm.

13. (2026·抚顺月考)已知:正方形ABCD的边长为2,点E为AB的中点,点F在正方形的边上,按逆时针方向沿正方形的四条边运动,连接EF,以EF为对称轴将线段EB翻折,得到线段EG,连接DG,则线段DG的最大值为.

13. $\sqrt{5}+1$ 解析:
∵ 正方形 ABCD 的边长为 2,
∴ AB=AD=2, $∠ A=90°$.又
∵ 点 E 为 AB 的中点,
∴ AE=BE=1.
∵ 将$△ EBF$沿 EF 翻折,得到点 B 的对称点 G,
∴ GE=BE=AE=1.又
∵ 点 F 在正方形的边上,逆时针方向沿正方形的四条边运动,
∴ 点 G 在以点 E 为圆心,BE 为半径的圆上.当点 F 在 AD 上时,如图,连接 DE,则 $DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,
∵ $DE-EG≤ DG≤ DE+EG$,
∴ 当点 E,G,D 共线,G 在 DE 延长线上时,DG 最大,且最大值为 $DG=ED+EG=\sqrt{5}+1$.

14. (2026·杭州期中)如图,在平面直角坐标系中,以$P(2,2)$为圆心作$\odot P$,使其经过原点$O$,与$x$轴交于点$B$,并与$y$轴交于点$A$.点$E$是圆弧上一点,连接$OE$,点$F$为$OE$的中点.当点$E$沿着圆弧从点$A$顺时针运动到点$B$时,点$F$的运动路径长是.

14. $\sqrt{2}π$ 解析:如图,连接 OP,取 OP 的中点 D,连接 DF,PE,
∵ P(2,2),
∴ $OP=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,
∴ $EP=OP=2\sqrt{2}$.
∵ 点 F 为 OE 的中点,点 D 为 OP 的中点,
∴ FD 是$△ OEP$的中位线,
∴ D(1,1),
∴ $FD=\frac{1}{2}EP=\sqrt{2}$,
∴ 点 F 在以点 D 为圆心,半径为$\sqrt{2}$的圆上运动.
∵ 点 E 沿着圆弧从点 A 顺时针运动到点 B,且绕点 P 转过的角度为 $180°$,
∴ 点 F 沿着圆弧从点 $F_1$ 顺时针运动到点 $F_2$,且绕点 D 转过的角度为 $180°$,
∴ 点 F 的运动路径长是$\odot D$周长的一半,
∴ 点 F 的运动路径长为 $\frac{1}{2}×2π×\sqrt{2}=\sqrt{2}π$.

三、解答题(共52分)
15. (12分)(2026·天津期末)已知AB为$\odot O$的直径,点C在AB的延长线上,D为$\odot O$上一点,$CD=OB$,延长CD与$\odot O$相交于点E.
(1)如图①,若$∠ C=26°$,求$∠ AOE$的大小;
(2)如图②,若$∠ AOE=45°$,$OB=2$,求弦DE的长.

15. (1)如图①,连接 OD,
∵ OD=OB=DC,
∴ $∠ DOC=∠ C$,
∴ $∠ EDO=∠ DOC+∠ C=2∠ C$.又
∵ OE=OD,
∴ $∠ OED=∠ ODE=2∠ C$,
∴ $∠ AOE=∠ OED+∠ C=2∠ C+∠ C=3∠ C=3×26°=78°$.
(2)由(1)可得 $∠ C=15°$, $∠ OEC=30°$,如图②,过点 O 作 $OF ⊥ DE$ 于点 F,则 DE=2EF.
∵ $∠ OEC=30°$, OE=OB=2,
∴ $OF=\frac{1}{2}OE=1$,
∴ $EF=\sqrt{OE^2-OF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
∴ $DE=2EF=2\sqrt{3}$.

16. (12分)(2026·安康期末)如图,已知AB是半圆O的直径,P是半圆上的一点,连接BP,并延长BP到点C,使PC=BP,连接AC.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB=8,∠ABC=30°,求阴影部分的面积.

16. (1)证明:如图,连接 AP.
∵ AB 是半圆 O 的直径,
∴ $∠ APB=90°$,
∴ $AP ⊥ BC$.
∵ PC=PB,
∴ AB=AC.
(2)如图,连接 OP,
∵ $∠ ABC=30°$,
∴ $∠ PAB=90°-∠ ABC=60°$,
∴ $∠ POB=120°$.又 AO=PO,
∴ $△ AOP$ 是等边三角形,
∴ OP=AO=AP.
∵ O 是 AB 的中点,AB=8,
∴ $OA=AP=\frac{1}{2}AB=4$,
∴ $PB=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$,
∴ $S_{△ POB}=\frac{1}{2}S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AP× PB=\frac{1}{4}×4×4\sqrt{3}=4\sqrt{3}$,
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}BOP}-S_{△ POB}=\frac{120π×4^2}{360}-4\sqrt{3}=\frac{16}{3}π-4\sqrt{3}$.