17. (14分)(2026·武汉月考)在学习完“圆”后,赵老师带领学生开展了一次数学探究活动.
(1)如图①,△ABC内接于⊙O,连接OB.求证:∠OBC+∠A=90°.小王发现,延长BO,交⊙O于点D,连接CD,进而得证.请完成小王的证明过程.
(2)如图②,△ABC内接于⊙O,过点C作CD⊥AB,分别交AB,⊙O于D,E,过点O作OH⊥BC,交BC于点H,连接AE.求证:AE=2OH.
(3)小张突发奇想,如图③,当△ABC是钝角三角形时,过点C作CD⊥AB,分别交BA的延长线,⊙O于D,E,连接AE.若AE=3,BC=5,则⊙O的直径是多少?请你帮助小张解决这个问题.

17. (1)证明:如图①,
∵ BD 为直径,
∴ $∠ BCD=90°$.
∵ $∠ BAC=∠ BDC$,
∴ $∠ OBC+∠ A=∠ OBC+∠ BDC=90°$.
(2)如图②,连接 BO 并延长交$\odot O$于点 N,连接 CN,由(1)知 $∠ OBH+∠ BAC=90°$,又
∵ $∠ ECA+∠ BAC=90°$,
∴ $∠ ACE=∠ NBC$.
∴ CN=AE.
∵ $OH ⊥ BC$, $CN ⊥ BC$,
∴ $BH=CH=\frac{1}{2}BC$, $OH // NC$.
∴ $\frac{OH}{CN}=\frac{BH}{BC}=\frac{1}{2}$.
∴ CN=2OH.
∴ AE=2OH.
(3)如图③,连接 BO 并延长交$\odot O$于点 N,连接 CN,NE,BE,
∵ $∠ DBC+∠ DCB=90°$, $∠ DAE+∠ AED=90°$,又
∵ $∠ DBC=∠ AED$,
∴ $∠ DCB=∠ DAE$.
∵ $∠ DAE+∠ BAE=180°$, $∠ BNE+∠ BAE=180°$,
∴ $∠ BNE=∠ DAE$,
∴ $∠ DCB=∠ BNE$.
∵ $∠ EBN+∠ BNE=90°$, $∠ DBC+∠ DCB=90°$,
∴ $∠ DBC=∠ EBN$.
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{EN}$.
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CN}$.
∴ AE=CN=3.作 $OH ⊥ BC$,则 $HO=\frac{1}{2}CN=\frac{3}{2}$, $BH=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$,则 $BO=\sqrt{BH^2+OH^2}=\frac{\sqrt{34}}{2}$.故$\odot O$的直径为$\sqrt{34}$.

18. (14分)(2026·北京期末)在平面直角坐标系$xOy$中,$\odot O$的半径为1,对于线段$AB$和$x$轴上的点$M$,给出如下定义:将线段$AB$绕点$M$旋转$180°$可以得到$\odot O$的弦$A'B'$($A'$,$B'$分别为$A$,$B$的对应点),则称线段$AB$为$\odot O$以点$M$为中心的“关联线段”.
(1)如图,已知点$A(-1,1)$,$B(-2,1)$,$C(-2,0)$,$D(-2,-1)$,在线段$AB$,$BD$,$AC$中,$\odot O$以点$M$为中心的“关联线段”是.
(2)已知点$E(-4,1)$,线段$EF$是$\odot O$以点$M$为中心的“关联线段”,求点$F$的横坐标$x_F$的取值范围;
(3)已知点$E(m,1)$,若直线$y=-x+2m$上存在点$F$,使得线段$EF$是$\odot O$以点$M$为中心的“关联线段”,直接写出$m$的取值范围.

备用图

18. (1)AC 和 BD 解析:如图,
∵ 线段 B'D' 与线段 BD 关于点(-1,0)成中心对称,且 B'D' 是$\odot O$的弦,
∴ 线段 BD 是$\odot O$以点 M(-1,0)为中心的“关联线段”;
∵ 线段 A'C' 与线段 AC 关于点(-0.5,0)成中心对称,且 A'C' 是$\odot O$的弦,
∴ 线段 AC 是$\odot O$以点 M(-0.5,0)为中心的“关联线段”;
∵ 线段 A'B' 与线段 AB 关于点 M 成中心对称,则 A'B' // AB,而点 A' 的坐标只能是(0,-1),
∴ 点 B' 不可能在$\odot O$上,
∴ 线段 AB 不是$\odot O$以点 M 为中心的“关联线段”.综上,$\odot O$以点 M 为中心的“关联线段”是 AC 和 BD.
(2)
∵ 点 E(-4,1)与点 E' 关于点 M 成中心对称,且点 M 在 x 轴上,
∴ 点 E' 的纵坐标为-1.又
∵ 点 E' 在$\odot O$上,
∴ 点 E' 的坐标为(0,-1),点 M 的坐标为(-2,0).
∵ E'F' 是$\odot O$的弦,
∴ $-1≤ x_{F'}≤1$.
∵ 点 F' 与点 F 关于点 M(-2,0)对称,
∴ $-5≤ x_F≤-3$.
(3)m 的取值范围是$-\sqrt{2}≤ m≤\sqrt{2}$. 解析:设 M(t,0),F(x,-x+2m),
∵ M 为点 E 与点 E' 的中点,
∴ E'(2t-m,-1).
∵ 点 E' 在$\odot O$上,
∴ $(2t-m)^2+(-1)^2=1$, $(2t-m)^2=0$, $2t=m$, $t=\frac{m}{2}$.
∵ M 为点 F 与点 F' 的中点,
∴ F'(2t-x,x-2m).
∵ 点 F' 在$\odot O$上,
∴ $(2t-x)^2+(x-2m)^2=1$,代入 $t=\frac{m}{2}$,得 $(m-x)^2+(x-2m)^2=1$,
∴ $2x^2-6mx+5m^2-1=0$.
∵ 直线 y=-x+2m 上存在点 F 满足条件,
∴ 关于 x 的方程有实数解,
∴ $\Delta≥0$, $\Delta=(-6m)^2-4×2×(5m^2-1)=36m^2-40m^2+8=-4m^2+8≥0$,
∴ $m^2≤2$,
∴ m 的取值范围为$-\sqrt{2}≤ m≤\sqrt{2}$.