1[2026山东淄博期中,中]在一个矩形上裁去一个小矩形得到了如图所示的图形.用一条直线$l$将该图形分成面积相等的两部分,则符合条件的直线$l$有 ()

A.2条
B.3条
C.4条
D.无数条

(第1题图)
(第2题图)

【解析】如图所示,将该图形分成左右两个矩形,找到这两个矩形的对称中心,过这两个对称中心的直线即为直线$l$,记直线$l$交$AB$于$M$,交$EF$于$N$,取$MN$中点$O$,连接$EO$并延长,交$AB$于$P$,连接$ME,PN$,易知四边形$MPNE$是平行四边形,所以当直线$l$经过点$O$和$∠ EON$内部时,都将该图形分成面积相等的两部分,所以符合条件的直线$l$有无数条. 故选 D.

2[2026江苏淮安质检,中]如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A的坐标为(-6,4),点B,C在x轴上,将正方形ABCD平移后,点O成为新正方形的对称中心,则正方形ABCD的平移过程可能是()

A.向右平移8个单位长度,再向下平移4个单位长度
B.向右平移4个单位长度,再向下平移4个单位长度
C.向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度
D.向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度

【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形,点 $B,C$ 在 $x$ 轴上,点 $A$ 的坐标为 $(-6,4), \therefore$ 正方形 $ABCD$ 的边长为 4,点 $B$ 坐标为 $(-6,0), \therefore$ 点 $C$ 坐标为 $(-2,0)$. $\because$ 正方形的对称中心为对角线的交点,正方形对角线互相平分, $\therefore$ 正方形 $ABCD$ 的对称中心的坐标为 $AC$ 的中点坐标,即 $(-4,2)$. $\because$ 将正方形 $ABCD$ 平移后,点 $O$ 成为新正方形的对称中心, $\therefore$ 正方形 $ABCD$ 的平移过程即为对称中心的平移过程. $\because$ 正方形 $ABCD$ 的对称中心的坐标为 $(-4,2)$,平移后的正方形的对称中心为坐标原点, $\therefore$ 正方形 $ABCD$ 的平移过程可能是向右平移 4 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度. 故选 D.

3[中]如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点P,M,N分别在边AB,AD,BC上运动,且线段MN始终经过矩形的对称中心,则△PMN周长的最小值为.

(第3题图)
(第4题图)

【解析】如图,取 $PM$ 的中点 $F$,$MN$ 的中点 $E$,过 $E$ 作 $EG ⊥ AD$ 于 $G$,连接 $AE,AF,FE$,则 $EF=\frac{1}{2}PN,EN=\frac{1}{2}MN$.
$\because$ 线段 $MN$ 始终经过矩形的对称中心, $\therefore E$ 是定点,则 $EM$ 的最小值为 $EG$ 的长. 当 $A,F,E$ 三点共线时, $AF+EF$ 的值最小,最小值为 $AE$ 的长, $\therefore AF+EF+EM ≥ AE+EG$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠ PAM=90°, EG=\frac{1}{2}AB=2, AG=\frac{1}{2}AD=3, \therefore AF=\frac{1}{2}PM, \therefore PM=2AF$.
$\because MN=2EM, PN=2EF, \therefore C_{△ PMN}=PM+PN+MN=2AF+2EF+2EM=2(AF+EF+EM) ≥ 2(AE+EG)$.
$\because AE=\sqrt{AG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}, \therefore C_{△ PMN} ≥ 2(\sqrt{13}+2), \therefore C_{△ PMN}$ 的最小值为 $2\sqrt{13}+4$. 故答案为 $2\sqrt{13}+4$.

4[2026浙江温州质检,较难]如图,C是线段AB上一点,分别以AC,BC为边向上作正方形ACDE和正方形CBFG,点M,N分别是正方形ACDE和正方形CBFG的对称中心,边BF上有一点H,连接MN,GH.若FH=AE,MN²+GH=2,
则$MN^2 - GH=$.

【解析】作 $MP ⊥ AB$ 于 $P$,$NQ ⊥ AB$ 于 $Q$, $MO ⊥ NQ$ 于 $O$, 如图, 则四边形 $MPQO$ 为矩形, $\therefore OQ=MP, MO=PQ$. 设 $AC=2a, BC=2b$, 则 $FH=AE=2a$. $\because M,N$ 分别为正方形 $ACDE$ 和正方形 $CBFG$ 的对称中心, $\therefore MP=CP=a, CQ=NQ=b, \therefore MO=PQ=a+b, ON=NQ-OQ=b-a, \therefore MN^2=OM^2+ON^2=(a+b)^2+(b-a)^2=2a^2+2b^2$. $\because$ 正方形 $CBFG$ 中, $∠ F=90°, GF=BC=2b, \therefore GH^2=FH^2+GF^2=4a^2+4b^2, \therefore MN^2+GH=2a^2+2b^2+2\sqrt{a^2+b^2}=2$. 令 $t=\sqrt{a^2+b^2}, \therefore 2t^2+2t=2, \therefore t^2+t+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$, 即 $(t+\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}$. $\because t＞0, \therefore t=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}, \therefore MN^2-GH=2-4t=4-2\sqrt{5}$. 故答案为 $4-2\sqrt{5}$.

5 核心素养几何直观[2026上海宝山区质检,较难]
已知长方形$ABCD$,$AD=8$,$AB=6$,边长为$a(0＜a＜6)$的正方形$EFGH$的顶点$E$与点$B$重合,边$EH$,$EF$分别在$AB$,$BC$上,如图(1)所示.将正方形$EFGH$沿着射线$BC$方向平移,设平移距离为$x(x＞0)$.
(1)当点$H$恰好落在线段$BD$上时,直线$HG$,$EH$分别与长方形$ABCD$的边交于点$M$,$P$,$N$,$E$,如图(2)所示.下列①~④的图形中,两个图形能关于某点成中心对称的是,面积相等的是.(在横线上填入相应的序号)
①三角形$ABD$与三角形$CDB$;
②三角形$HND$与三角形$DPH$;
③三角形$BEH$与三角形$HMB$;
④长方形$AMHN$与长方形$HECP$.
(2)在(1)的条件下,当$x=3$时,求$a$的值.
(3)在平移过程中,当正方形$EFGH$的顶点落在线段$BD$上时,求$\frac{x}{a}$的值.

【解】(1)$\because$ 长方形是中心对称图形,且对称中心在长方形的对角线上,三角形 $ABD$ 与三角形 $CDB$、三角形 $HND$ 与三角形 $DPH$、三角形 $BEH$ 与三角形 $HMB$ 都可以组成长方形, $\therefore$ ①②③中的两个图形能关于某点成中心对称, $\therefore$ ①②③中的两个三角形的面积相等, $\therefore$ 四边形 $ANHB$ 和四边形 $CPHB$ 的面积相等. 又$\because$ 三角形 $BEH$ 与三角形 $HMB$ 的面积相等, $\therefore$ 长方形 $AMHN$ 与长方形 $HECP$ 的面积相等,即④中的两个图形面积相等. 故答案为①②③,①②③④.
(2)$\because$ 长方形 $ABCD$ 中, $AD=8, AB=6$, 正方形 $EFGH$ 沿着射线 $BC$ 方向平移,平移距离为 $x$, 且 $x=3, \therefore AM=AB-MB=AB-HE=6-a, AN=BE=3$, $EC=BC-BE=8-3=5$. 由(1)可得长方形 $AMHN$ 与长方形 $HECP$ 的面积相等, $\therefore 3(6-a)=5a$, 解得 $a=\frac{9}{4}$.
(3)如图,当 $G$ 在 $BD$ 上时,设直线 $HG,GF$ 分别与长方形 $ABCD$ 的边交于点 $M,P,N,F$. $\because BE=x, EF=a, AD=8, AB=6$, $\therefore FC=BC-BE-EF=8-x-a, AM=AB-BM=6-a$, $AN=BE+EF=a+x$. 易知长方形 $AMGN$ 与长方形 $GFCP$ 的面积相等, $\therefore (x+a)(6-a)=a(8-x-a)$, 解得 $x=\frac{a}{3}, \therefore \frac{x}{a}=\frac{\frac{a}{3}}{a}=\frac{1}{3}$. 当 $H$ 在 $BD$ 上时,如 题图(2). $\because AM=6-a, AN=BE=x, EC=BC-BE=8-x$, 由(1)知长方形 $AMHN$ 与长方形 $HECP$ 的面积相等, $\therefore x(6-a)=(8-x)a$, 解得 $x=\frac{4a}{3}$, $\therefore \frac{x}{a}=\frac{\frac{4a}{3}}{a}=\frac{4}{3}$. 综上所述, $\frac{x}{a}$ 的值为 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{4}{3}$.