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11 [2024包头]计算$\sqrt{9^2 - 6^2}$的结果是 （
A.3
B.$\sqrt{6}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$\pm3\sqrt{5}$
C
）A.3
B.$\sqrt{6}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$\pm3\sqrt{5}$
答案
11. C
解析
【分析】
解题时先明确运算顺序：有根号时先计算被开方数的内部运算，再化简二次根式。第一步先计算被开方数中两个平方的值，再求差得到被开方数的结果；第二步将被开方数拆成完全平方数与其余因数的乘积，利用二次根式的性质化简，同时注意算术平方根的结果为非负数，可直接排除带负号的错误选项。
【解析】
先计算被开方数：
$9^2=81$，$6^2=36$，
则$9^2-6^2=81-36=45$，
因此原式$=\sqrt{45}$。
再化简二次根式：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$。
注意二次根式表示算术平方根，结果为非负数，因此结果为$3\sqrt{5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方运算，二次根式化简，算术平方根性质
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查二次根式的化简规则和平方运算的计算能力，解题时要注意运算顺序，同时牢记算术平方根的非负性，避免误选带正负号的选项。
【难度系数】
0.8
解题时先明确运算顺序：有根号时先计算被开方数的内部运算，再化简二次根式。第一步先计算被开方数中两个平方的值，再求差得到被开方数的结果；第二步将被开方数拆成完全平方数与其余因数的乘积，利用二次根式的性质化简，同时注意算术平方根的结果为非负数，可直接排除带负号的错误选项。
【解析】
先计算被开方数：
$9^2=81$，$6^2=36$，
则$9^2-6^2=81-36=45$，
因此原式$=\sqrt{45}$。
再化简二次根式：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$。
注意二次根式表示算术平方根，结果为非负数，因此结果为$3\sqrt{5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方运算，二次根式化简，算术平方根性质
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查二次根式的化简规则和平方运算的计算能力，解题时要注意运算顺序，同时牢记算术平方根的非负性，避免误选带正负号的选项。
【难度系数】
0.8
12 已知直角三角形的两条直角边长分别为12 cm和6 cm，则这个三角形的斜边长为 （
A.$6\sqrt{5}$ cm
B.$6\sqrt{3}$ cm
C.9 cm
D.27 cm
A
）A.$6\sqrt{5}$ cm
B.$6\sqrt{3}$ cm
C.9 cm
D.27 cm
答案
12. A
解析
【分析】
本题已知直角三角形的两条直角边长，要求斜边长，解题思路如下：首先回忆直角三角形边长的相关定理，确定用勾股定理计算斜边长度；接着代入两条直角边的数值求出斜边的平方，再对结果开平方得到斜边的表达式；最后按照二次根式的化简规则将结果化为最简二次根式，对应选项选出正确答案即可。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$c$，两条直角边分别为$a=12\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$c^2=a^2+b^2$
代入数值计算：
$c^2=12^2+6^2=144+36=180$
因为边长为正数，所以$c=\sqrt{180}$
化简二次根式：$\sqrt{180}=\sqrt{36×5}=\sqrt{36}×\sqrt{5}=6\sqrt{5}$，即斜边长为$6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查勾股定理的应用和二次根式的化简运算，解题时需要注意开平方后结果取正数，化简二次根式时要将被开方数中能开得尽方的因数全部开出来。
【难度系数】
0.9
本题已知直角三角形的两条直角边长，要求斜边长，解题思路如下：首先回忆直角三角形边长的相关定理，确定用勾股定理计算斜边长度；接着代入两条直角边的数值求出斜边的平方，再对结果开平方得到斜边的表达式；最后按照二次根式的化简规则将结果化为最简二次根式，对应选项选出正确答案即可。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$c$，两条直角边分别为$a=12\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$c^2=a^2+b^2$
代入数值计算：
$c^2=12^2+6^2=144+36=180$
因为边长为正数，所以$c=\sqrt{180}$
化简二次根式：$\sqrt{180}=\sqrt{36×5}=\sqrt{36}×\sqrt{5}=6\sqrt{5}$，即斜边长为$6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查勾股定理的应用和二次根式的化简运算，解题时需要注意开平方后结果取正数，化简二次根式时要将被开方数中能开得尽方的因数全部开出来。
【难度系数】
0.9
13（易错题）若$\sqrt{6}+\sqrt{6}=\sqrt{P}$，则P的值为（
A.8
B.12
C.24
D.36
C
）A.8
B.12
C.24
D.36
答案
13. C
易错分析：没有先将等式左边的同类二次根式$\sqrt{6}+\sqrt{6}$合并为$2\sqrt{6}$，就直接对等式两边进行平方计算，导致结果出错。
易错分析：没有先将等式左边的同类二次根式$\sqrt{6}+\sqrt{6}$合并为$2\sqrt{6}$，就直接对等式两边进行平方计算，导致结果出错。
解析
【分析】
解题时首先观察等式左边是两个同类二次根式相加，应先按照同类二次根式的合并规则计算左边的结果，再通过等式两边同时平方去掉根号，即可求出P的值。要注意避免两种常见错误：一是不合并同类二次根式，直接错误地将根号内的数字相加得到$\sqrt{12}$，错选B；二是直接对未合并的左边平方时，漏记完全平方公式的交叉项，也会算出错误结果。
【解析】
步骤1：合并等式左边的同类二次根式
同类二次根式相加时，根号部分保持不变，系数相加，因此：
$\sqrt{6}+\sqrt{6}=(1+1)\sqrt{6}=2\sqrt{6}$
原等式转化为：$2\sqrt{6}=\sqrt{P}$
步骤2：等式两边同时平方求P
等式两边同时平方，等式仍然成立：
左边：$(2\sqrt{6})^2=2^2×(\sqrt{6})^2=4×6=24$
右边：$(\sqrt{P})^2=P$
因此$P=24$。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式合并；二次根式乘方运算；等式的基本性质
【点评】
本题是二次根式加减运算的典型易错题，核心考查同类二次根式的合并规则，解题时优先合并同类二次根式能有效降低运算错误率，避免因运算顺序失误丢分。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察等式左边是两个同类二次根式相加，应先按照同类二次根式的合并规则计算左边的结果，再通过等式两边同时平方去掉根号，即可求出P的值。要注意避免两种常见错误：一是不合并同类二次根式，直接错误地将根号内的数字相加得到$\sqrt{12}$，错选B；二是直接对未合并的左边平方时，漏记完全平方公式的交叉项，也会算出错误结果。
【解析】
步骤1：合并等式左边的同类二次根式
同类二次根式相加时，根号部分保持不变，系数相加，因此：
$\sqrt{6}+\sqrt{6}=(1+1)\sqrt{6}=2\sqrt{6}$
原等式转化为：$2\sqrt{6}=\sqrt{P}$
步骤2：等式两边同时平方求P
等式两边同时平方，等式仍然成立：
左边：$(2\sqrt{6})^2=2^2×(\sqrt{6})^2=4×6=24$
右边：$(\sqrt{P})^2=P$
因此$P=24$。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式合并；二次根式乘方运算；等式的基本性质
【点评】
本题是二次根式加减运算的典型易错题，核心考查同类二次根式的合并规则，解题时优先合并同类二次根式能有效降低运算错误率，避免因运算顺序失误丢分。
【难度系数】
0.6
14 [2024 威海] 计算：$\sqrt{12} - \sqrt{8} × \sqrt{6} =$
$-2\sqrt{3}$
.答案
14. $-2\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是二次根式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先根据二次根式的乘法法则计算乘法部分$\sqrt{8} × \sqrt{6}$，第二步分别将$\sqrt{12}$和乘法运算的结果化为最简二次根式，第三步合并同类二次根式即可得到最终结果。
【解析】
解：按照运算顺序先计算乘法，根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$：
$\sqrt{8} × \sqrt{6} = \sqrt{8 × 6} = \sqrt{48} = \sqrt{16 × 3} = 4\sqrt{3}$
再化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$
最后计算减法：
$\sqrt{12} - \sqrt{8} × \sqrt{6} = 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$
【答案】
$-2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式乘法运算，二次根式化简，二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题时需严格遵循运算顺序，牢记二次根式的运算法则，运算结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
这是二次根式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先根据二次根式的乘法法则计算乘法部分$\sqrt{8} × \sqrt{6}$，第二步分别将$\sqrt{12}$和乘法运算的结果化为最简二次根式，第三步合并同类二次根式即可得到最终结果。
【解析】
解：按照运算顺序先计算乘法，根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$：
$\sqrt{8} × \sqrt{6} = \sqrt{8 × 6} = \sqrt{48} = \sqrt{16 × 3} = 4\sqrt{3}$
再化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$
最后计算减法：
$\sqrt{12} - \sqrt{8} × \sqrt{6} = 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$
【答案】
$-2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式乘法运算，二次根式化简，二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题时需严格遵循运算顺序，牢记二次根式的运算法则，运算结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
15 计算：
(1) $\sqrt{27} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$；
(2) $\sqrt{50} - 6\sqrt{\frac{1}{12}} + \sqrt{18}$。
(1) $\sqrt{27} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$；
(2) $\sqrt{50} - 6\sqrt{\frac{1}{12}} + \sqrt{18}$。
答案
(1) $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
(2) $8\sqrt{2}-\sqrt{3}$
(2) $8\sqrt{2}-\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简与加减运算，解题思路如下：首先将算式中每个二次根式化为最简二次根式，对于含二次根式的除法可先利用二次根式除法法则或分母有理化化简，再识别同类二次根式，最后合并同类二次根式得到结果。
(1) 先化简$\sqrt{27}$，再化简$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$，最后合并得到的两个最简二次根式即可；
(2) 分别化简$\sqrt{50}$、$6\sqrt{\frac{1}{12}}$、$\sqrt{18}$三个二次根式，再将同类二次根式合并即可。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{2}{6}}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
再合并同类二次根式：
原式$=3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{9\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
(2) 先分别化简各项：
$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$
$6\sqrt{\frac{1}{12}}=6×\sqrt{\frac{3}{36}}=6×\frac{\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$
再合并同类二次根式：
原式$=5\sqrt{2}-\sqrt{3}+3\sqrt{2}=(5\sqrt{2}+3\sqrt{2})-\sqrt{3}=8\sqrt{2}-\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
(2) $8\sqrt{2}-\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、分母有理化
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是掌握最简二次根式的化简方法以及同类二次根式的合并规则，计算时需注意二次根式化简的准确性，避免因化简错误导致最终结果出错。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的化简与加减运算，解题思路如下：首先将算式中每个二次根式化为最简二次根式，对于含二次根式的除法可先利用二次根式除法法则或分母有理化化简，再识别同类二次根式，最后合并同类二次根式得到结果。
(1) 先化简$\sqrt{27}$，再化简$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$，最后合并得到的两个最简二次根式即可；
(2) 分别化简$\sqrt{50}$、$6\sqrt{\frac{1}{12}}$、$\sqrt{18}$三个二次根式，再将同类二次根式合并即可。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{2}{6}}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
再合并同类二次根式：
原式$=3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{9\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
(2) 先分别化简各项：
$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$
$6\sqrt{\frac{1}{12}}=6×\sqrt{\frac{3}{36}}=6×\frac{\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$
再合并同类二次根式：
原式$=5\sqrt{2}-\sqrt{3}+3\sqrt{2}=(5\sqrt{2}+3\sqrt{2})-\sqrt{3}=8\sqrt{2}-\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
(2) $8\sqrt{2}-\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、分母有理化
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是掌握最简二次根式的化简方法以及同类二次根式的合并规则，计算时需注意二次根式化简的准确性，避免因化简错误导致最终结果出错。
【难度系数】
0.8
16 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=\sqrt{8}$,$BC=\sqrt{2}$,求斜边AB上的高CD的长.
答案
因为$∠ ACB=90°,AB=\sqrt{8},BC=\sqrt{2}$,所以由勾股定理,得
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6}$. 因为 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB · CD=\dfrac{1}{2}AC · BC$,所以 $CD=\dfrac{AC · BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{6} × \sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6}$. 因为 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB · CD=\dfrac{1}{2}AC · BC$,所以 $CD=\dfrac{AC · BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{6} × \sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步，△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，可先通过勾股定理求出另一条直角边AC的长度；第二步，计算三角形面积有两种方式，既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边与斜边上高的乘积的一半计算，利用等面积法建立等式，代入数值后结合二次根式的运算法则即可求出CD的长。
【解析】
解：
∵$∠ ACB=90°$，$AB=\sqrt{8}$，$BC=\sqrt{2}$，
∴由勾股定理，得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(\sqrt{8})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}$，
又
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
∴两边约去$\frac{1}{2}$可得：$AB· CD=AC· BC$，
变形得：$CD=\frac{AC· BC}{AB}$，
代入数值计算：
$CD=\frac{\sqrt{6}×\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{12}{8}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
勾股定理；二次根式化简；等面积法求高
【点评】
本题属于直角三角形计算的基础综合题，解题关键是掌握勾股定理的适用条件，以及灵活运用等面积法建立斜边上高的等量关系，运算过程中要注意二次根式化简的规范性。
【难度系数】
0.7
解题可分两步思考：第一步，△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，可先通过勾股定理求出另一条直角边AC的长度；第二步，计算三角形面积有两种方式，既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边与斜边上高的乘积的一半计算，利用等面积法建立等式，代入数值后结合二次根式的运算法则即可求出CD的长。
【解析】
解：
∵$∠ ACB=90°$，$AB=\sqrt{8}$，$BC=\sqrt{2}$，
∴由勾股定理，得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(\sqrt{8})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}$，
又
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
∴两边约去$\frac{1}{2}$可得：$AB· CD=AC· BC$，
变形得：$CD=\frac{AC· BC}{AB}$，
代入数值计算：
$CD=\frac{\sqrt{6}×\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{12}{8}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
勾股定理；二次根式化简；等面积法求高
【点评】
本题属于直角三角形计算的基础综合题，解题关键是掌握勾股定理的适用条件，以及灵活运用等面积法建立斜边上高的等量关系，运算过程中要注意二次根式化简的规范性。
【难度系数】
0.7
17 老师在黑板上写出下面的一道题:已知$\sqrt{7}=a,\sqrt{70}=b$,用含$a,b$的代数式表示$\sqrt{4.9}$.两名同学在黑板上分别写出了自己的解法(如图).
(1)你认为这两名同学的解法都正确吗?
(2)同学丙得出的结果为$\frac{7a}{b}$.老师说是正确的,你知道丙是怎样做的吗?请你写出丙的解法.
(1)你认为这两名同学的解法都正确吗?
(2)同学丙得出的结果为$\frac{7a}{b}$.老师说是正确的,你知道丙是怎样做的吗?请你写出丙的解法.
答案
(1) 这两名同学的解法都正确
(2) 丙同学的解法如下:
$\sqrt{4.9}=\sqrt{\dfrac{49}{10}}=7\sqrt{\dfrac{1}{10}}=7\sqrt{\dfrac{7}{70}}=7\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\dfrac{7a}{b}$
(2) 丙同学的解法如下:
$\sqrt{4.9}=\sqrt{\dfrac{49}{10}}=7\sqrt{\dfrac{1}{10}}=7\sqrt{\dfrac{7}{70}}=7\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\dfrac{7a}{b}$
解析
【分析】
(1) 判断两名同学的解法是否正确，需依据二次根式的运算性质（$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b},a≥0,b≥0$；$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},a≥0,b＞0$），逐步核对两人的变形步骤，再结合已知$\sqrt{7}=a$、$\sqrt{70}=b$验证结果是否合理即可。
(2) 要得到$\frac{7a}{b}$的结果，需将$\sqrt{4.9}$的被开方数向含7和70的形式变形：先把4.9转化为$\frac{49}{10}$，再将分母10改写为$\frac{70}{7}$，即可结合二次根式的性质拆分出$\sqrt{7}$和$\sqrt{70}$，代入a、b即可得到对应结果。
【解析】
(1) 核对同学甲的解法：
甲先将$\sqrt{4.9}$改写为$\sqrt{\frac{49}{10}}$，再通过分子分母同乘10进行分母有理化，随后将被开方数$49×10$变形为$7×70$，拆分后得到$\frac{\sqrt{7}×\sqrt{70}}{10}$，代入$\sqrt{7}=a$、$\sqrt{70}=b$得到$\frac{ab}{10}$，所有步骤均符合二次根式的运算规则，解法正确。
核对同学乙的解法：
乙前两步变形和甲一致，得到$\frac{7\sqrt{10}}{10}$后，将$\sqrt{10}$变形为$\sqrt{\frac{70}{7}}=\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}=\frac{b}{a}$，代入后得到$\frac{7b}{10a}$，所有步骤也符合二次根式的运算规则，解法正确。
(2) 丙同学的解法：
先将被开方数改写为分数：$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}$
将分母变形为含7、70的形式：$7\sqrt{\frac{1}{10}}=7\sqrt{\frac{7}{70}}$
根据二次根式除法性质拆分：$7×\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}$
代入$\sqrt{7}=a$、$\sqrt{70}=b$，得结果为$\frac{7a}{b}$。
【答案】
(1) 这两名同学的解法都正确
(2) $\sqrt{4.9}=\sqrt{\dfrac{49}{10}}=7\sqrt{\dfrac{1}{10}}=7\sqrt{\dfrac{7}{70}}=7×\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\dfrac{7a}{b}$
【知识点】
二次根式的性质，二次根式化简，代数式表示
【点评】
本题考查二次根式化简的灵活应用，解题核心是结合已知条件对被开方数进行合理拆分变形，同一道题可存在多种正确的化简思路，只要运算符合二次根式的规则即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
(1) 判断两名同学的解法是否正确，需依据二次根式的运算性质（$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b},a≥0,b≥0$；$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},a≥0,b＞0$），逐步核对两人的变形步骤，再结合已知$\sqrt{7}=a$、$\sqrt{70}=b$验证结果是否合理即可。
(2) 要得到$\frac{7a}{b}$的结果，需将$\sqrt{4.9}$的被开方数向含7和70的形式变形：先把4.9转化为$\frac{49}{10}$，再将分母10改写为$\frac{70}{7}$，即可结合二次根式的性质拆分出$\sqrt{7}$和$\sqrt{70}$，代入a、b即可得到对应结果。
【解析】
(1) 核对同学甲的解法：
甲先将$\sqrt{4.9}$改写为$\sqrt{\frac{49}{10}}$，再通过分子分母同乘10进行分母有理化，随后将被开方数$49×10$变形为$7×70$，拆分后得到$\frac{\sqrt{7}×\sqrt{70}}{10}$，代入$\sqrt{7}=a$、$\sqrt{70}=b$得到$\frac{ab}{10}$，所有步骤均符合二次根式的运算规则，解法正确。
核对同学乙的解法：
乙前两步变形和甲一致，得到$\frac{7\sqrt{10}}{10}$后，将$\sqrt{10}$变形为$\sqrt{\frac{70}{7}}=\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}=\frac{b}{a}$，代入后得到$\frac{7b}{10a}$，所有步骤也符合二次根式的运算规则，解法正确。
(2) 丙同学的解法：
先将被开方数改写为分数：$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}$
将分母变形为含7、70的形式：$7\sqrt{\frac{1}{10}}=7\sqrt{\frac{7}{70}}$
根据二次根式除法性质拆分：$7×\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}$
代入$\sqrt{7}=a$、$\sqrt{70}=b$，得结果为$\frac{7a}{b}$。
【答案】
(1) 这两名同学的解法都正确
(2) $\sqrt{4.9}=\sqrt{\dfrac{49}{10}}=7\sqrt{\dfrac{1}{10}}=7\sqrt{\dfrac{7}{70}}=7×\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\dfrac{7a}{b}$
【知识点】
二次根式的性质，二次根式化简，代数式表示
【点评】
本题考查二次根式化简的灵活应用，解题核心是结合已知条件对被开方数进行合理拆分变形，同一道题可存在多种正确的化简思路，只要运算符合二次根式的规则即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
