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1 在二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 中，$ a ＜ 0, b ＞ 0, c ＜ 0 $，则符合条件的图象是 （
）
）答案
1.D
解析
【分析】
解题时可根据二次函数系数与图象的对应关系，用排除法逐步筛选正确选项：首先由a的符号判断抛物线开口方向，排除不符合的选项；再由c的符号判断抛物线与y轴的交点位置，再次排除错误选项；最后根据对称轴公式判断对称轴所在象限，即可确定最终答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数中$a$决定抛物线开口方向，已知$a＜0$，抛物线开口向下，选项B开口向上，故排除B；
2. 判断y轴交点位置：当$x=0$时，$y=c$，即$c$是抛物线与y轴交点的纵坐标，已知$c＜0$，说明交点在y轴负半轴，选项A的交点在y轴正半轴，故排除A；
3. 判断对称轴位置：抛物线对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，已知$a＜0$，$b＞0$，则$-b＜0$，$2a＜0$，因此$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在y轴右侧，选项C的对称轴在y轴左侧，故排除C；
综上只有选项D符合所有条件。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数对称轴公式
【点评】
本题是二次函数的常考基础题型，解题关键是熟练掌握$a$、$b$、$c$三个系数分别对应抛物线的图象特征，采用排除法可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时可根据二次函数系数与图象的对应关系，用排除法逐步筛选正确选项：首先由a的符号判断抛物线开口方向，排除不符合的选项；再由c的符号判断抛物线与y轴的交点位置，再次排除错误选项；最后根据对称轴公式判断对称轴所在象限，即可确定最终答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数中$a$决定抛物线开口方向，已知$a＜0$，抛物线开口向下，选项B开口向上，故排除B；
2. 判断y轴交点位置：当$x=0$时，$y=c$，即$c$是抛物线与y轴交点的纵坐标，已知$c＜0$，说明交点在y轴负半轴，选项A的交点在y轴正半轴，故排除A；
3. 判断对称轴位置：抛物线对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，已知$a＜0$，$b＞0$，则$-b＜0$，$2a＜0$，因此$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在y轴右侧，选项C的对称轴在y轴左侧，故排除C；
综上只有选项D符合所有条件。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数对称轴公式
【点评】
本题是二次函数的常考基础题型，解题关键是熟练掌握$a$、$b$、$c$三个系数分别对应抛物线的图象特征，采用排除法可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
2 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$，若$a＞b＞c$，且$a+b+c=0$，则它的图象可能是（
D
）答案
2.D
解析
【分析】
解题时我们可以分三步逐步排除错误选项：第一步先判断二次项系数a的符号：已知a＞b＞c且a+b+c=0，若a为非正数，那么b、c都比a小，三者之和必然小于0，和a+b+c=0矛盾，因此a＞0，抛物线开口向上，直接排除开口向下的选项；第二步利用特殊点x=1的函数值：当x=1时，函数值y=a+b+c=0，说明抛物线一定过点(1,0)，可验证剩余选项是否符合；第三步判断常数项c的符号：若c为非负数，那么a、b都比c大，三者之和必然大于0，和a+b+c=0矛盾，因此c＜0，即抛物线和y轴的交点在负半轴，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
1. 判断a的符号：
∵$a＞b＞c$，且$a+b+c=0$，
若$a≤0$，则$b＜c＜a≤0$，可得$a+b+c＜0$，与$a+b+c=0$矛盾，
∴$a＞0$，抛物线开口向上，排除开口向下的A、C选项。
2. 验证特殊点：
当$x=1$时，$y=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c=0$，
∴抛物线过点$(1,0)$，剩余B、D选项均符合该特征。
3. 判断c的符号：
若$c≥0$，由$a＞b＞c≥0$可得$a+b+c＞0$，与$a+b+c=0$矛盾，
∴$c＜0$，即抛物线与y轴的交点在y轴负半轴。
B选项抛物线与y轴交于正半轴，不符合要求，排除B，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数的特殊点函数值
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的典型题型，解题核心是结合已知的不等关系和等式，先推导a、c的符号，再结合x=1处的函数值快速排除错误选项，不需要计算即可完成判断，能有效考查对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以分三步逐步排除错误选项：第一步先判断二次项系数a的符号：已知a＞b＞c且a+b+c=0，若a为非正数，那么b、c都比a小，三者之和必然小于0，和a+b+c=0矛盾，因此a＞0，抛物线开口向上，直接排除开口向下的选项；第二步利用特殊点x=1的函数值：当x=1时，函数值y=a+b+c=0，说明抛物线一定过点(1,0)，可验证剩余选项是否符合；第三步判断常数项c的符号：若c为非负数，那么a、b都比c大，三者之和必然大于0，和a+b+c=0矛盾，因此c＜0，即抛物线和y轴的交点在负半轴，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
1. 判断a的符号：
∵$a＞b＞c$，且$a+b+c=0$，
若$a≤0$，则$b＜c＜a≤0$，可得$a+b+c＜0$，与$a+b+c=0$矛盾，
∴$a＞0$，抛物线开口向上，排除开口向下的A、C选项。
2. 验证特殊点：
当$x=1$时，$y=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c=0$，
∴抛物线过点$(1,0)$，剩余B、D选项均符合该特征。
3. 判断c的符号：
若$c≥0$，由$a＞b＞c≥0$可得$a+b+c＞0$，与$a+b+c=0$矛盾，
∴$c＜0$，即抛物线与y轴的交点在y轴负半轴。
B选项抛物线与y轴交于正半轴，不符合要求，排除B，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数的特殊点函数值
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的典型题型，解题核心是结合已知的不等关系和等式，先推导a、c的符号，再结合x=1处的函数值快速排除错误选项，不需要计算即可完成判断，能有效考查对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
3 在同一平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx+b$与一次函数$y=ax+b$的图象可能是（
C
）答案
3.C
解析
【分析】
解决这类同系数的一次函数与二次函数图象判断问题，核心是利用两个函数中相同参数$a$、$b$的符号一致性，以及两个函数与y轴交点相同的特点，用排除法逐步筛选：第一步先根据二次函数开口方向确定$a$的符号，验证一次函数斜率是否和$a$的符号匹配，排除符号矛盾的选项；第二步对比两个函数与y轴的交点，两个函数常数项均为$b$，因此x=0时y值均为$b$，交点必须重合，排除交点不重合的选项；最后可结合二次函数对称轴、一次函数所过象限验证剩余选项即可。
【解析】
1. 验证参数$a$的一致性：
二次函数开口方向由$a$决定：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；一次函数斜率为$a$：$a＞0$图象递增，$a＜0$图象递减。
选项B：二次函数开口向下得$a＜0$，但一次函数图象递增得$a＞0$，$a$符号矛盾，排除B；
选项D：二次函数开口向上得$a＞0$，但一次函数图象递减得$a＜0$，$a$符号矛盾，排除D。
2. 验证y轴交点的一致性：
两个函数在$x=0$时，$y$值均为$b$，因此二者与y轴的交点必须是同一个点$(0,b)$：
选项A：一次函数和二次函数与y轴的交点不重合，不符合要求，排除A。
3. 验证选项C：
二次函数开口向上得$a＞0$，一次函数递增符合$a＞0$；两个图象交于y轴负半轴同一点，得$b＜0$；二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，$a＞0$、$b＜0$，因此对称轴在x轴正半轴，与图象一致；一次函数$a＞0$、$b＜0$，过一、三、四象限，也与图象匹配，故C正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与性质，二次函数图象与性质，函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象判断的常见题型，解题关键是抓住两个函数相同参数的符号一致性和公共的y轴交点，用排除法可以快速得出答案，能有效考查对函数性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解决这类同系数的一次函数与二次函数图象判断问题，核心是利用两个函数中相同参数$a$、$b$的符号一致性，以及两个函数与y轴交点相同的特点，用排除法逐步筛选：第一步先根据二次函数开口方向确定$a$的符号，验证一次函数斜率是否和$a$的符号匹配，排除符号矛盾的选项；第二步对比两个函数与y轴的交点，两个函数常数项均为$b$，因此x=0时y值均为$b$，交点必须重合，排除交点不重合的选项；最后可结合二次函数对称轴、一次函数所过象限验证剩余选项即可。
【解析】
1. 验证参数$a$的一致性：
二次函数开口方向由$a$决定：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；一次函数斜率为$a$：$a＞0$图象递增，$a＜0$图象递减。
选项B：二次函数开口向下得$a＜0$，但一次函数图象递增得$a＞0$，$a$符号矛盾，排除B；
选项D：二次函数开口向上得$a＞0$，但一次函数图象递减得$a＜0$，$a$符号矛盾，排除D。
2. 验证y轴交点的一致性：
两个函数在$x=0$时，$y$值均为$b$，因此二者与y轴的交点必须是同一个点$(0,b)$：
选项A：一次函数和二次函数与y轴的交点不重合，不符合要求，排除A。
3. 验证选项C：
二次函数开口向上得$a＞0$，一次函数递增符合$a＞0$；两个图象交于y轴负半轴同一点，得$b＜0$；二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，$a＞0$、$b＜0$，因此对称轴在x轴正半轴，与图象一致；一次函数$a＞0$、$b＜0$，过一、三、四象限，也与图象匹配，故C正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与性质，二次函数图象与性质，函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象判断的常见题型，解题关键是抓住两个函数相同参数的符号一致性和公共的y轴交点，用排除法可以快速得出答案，能有效考查对函数性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
4 一次函数$y=ax+b$的图象如图所示，则二次函数$y=ax^2+bx$的图象可能是（
D
）答案
4.D
解析
【分析】
解题时先从已知的一次函数图象推导系数$a$、$b$的符号，再根据$a$、$b$的符号分析二次函数的图象特征，用排除法逐步筛选正确选项：第一步，一次函数图象从左到右下降，可得$a＜0$，一次函数与$y$轴交于正半轴，可得$b＞0$；第二步，分析二次函数性质：$a＜0$说明抛物线开口向下，可直接排除开口向上的选项；再根据对称轴公式判断对称轴位置，即可锁定正确选项。
【解析】
首先观察一次函数$y=ax+b$的图象：
1. 一次函数图象呈下降趋势，因此一次项系数$\boldsymbol{a＜0}$；
2. 一次函数与$y$轴交于正半轴，因此常数项$\boldsymbol{b＞0}$。
接下来分析二次函数$y=ax^2+bx$的图象特征：
1. 二次项系数$a＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的A、C选项；
2. 二次函数常数项为0，因此抛物线过原点$(0,0)$，剩余B、D均满足该特征；
3. 抛物线对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＜0$、$b＞0$，可得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在$y$轴右侧：B选项对称轴在$y$轴左侧，不符合要求，D选项符合所有特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；二次函数系数与图象的关系
【点评】
本题属于函数图象的综合判断题，核心解题思路是通过已知函数推导系数符号，再根据系数符号判断未知函数的图象特征，使用排除法可高效完成解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的一次函数图象推导系数$a$、$b$的符号，再根据$a$、$b$的符号分析二次函数的图象特征，用排除法逐步筛选正确选项：第一步，一次函数图象从左到右下降，可得$a＜0$，一次函数与$y$轴交于正半轴，可得$b＞0$；第二步，分析二次函数性质：$a＜0$说明抛物线开口向下，可直接排除开口向上的选项；再根据对称轴公式判断对称轴位置，即可锁定正确选项。
【解析】
首先观察一次函数$y=ax+b$的图象：
1. 一次函数图象呈下降趋势，因此一次项系数$\boldsymbol{a＜0}$；
2. 一次函数与$y$轴交于正半轴，因此常数项$\boldsymbol{b＞0}$。
接下来分析二次函数$y=ax^2+bx$的图象特征：
1. 二次项系数$a＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的A、C选项；
2. 二次函数常数项为0，因此抛物线过原点$(0,0)$，剩余B、D均满足该特征；
3. 抛物线对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＜0$、$b＞0$，可得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在$y$轴右侧：B选项对称轴在$y$轴左侧，不符合要求，D选项符合所有特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；二次函数系数与图象的关系
【点评】
本题属于函数图象的综合判断题，核心解题思路是通过已知函数推导系数符号，再根据系数符号判断未知函数的图象特征，使用排除法可高效完成解题。
【难度系数】
0.7
5 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $ y = ax + a $ 和二次函数 $ y = -ax^2 + 3x + 2 $ 的图象可能是（
）
）答案
5.D
解析
【分析】
解题时可通过参数a的正负分类讨论，结合一次函数、二次函数的图象与系数的对应关系逐一判断选项：首先，两个函数的参数a符号一致，先分别推导a＞0和a＜0时，一次函数的斜率、与y轴交点特征，以及二次函数的开口方向、对称轴、与y轴交点特征，再和选项对比，排除矛盾的选项即可得到答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的符号：
1. 当$a＞0$时：
一次函数$y=ax+a$的斜率$a＞0$，图象呈上升趋势，与y轴交于正半轴$(0,a)$；
二次函数$y=-ax^2+3x+2$的二次项系数$-a＜0$，抛物线开口向下。
观察选项：选项C中一次函数上升但二次函数开口向上，矛盾，排除C；选项A中一次函数下降，不符合a＞0时一次函数的特征，排除A。
2. 当$a＜0$时：
一次函数$y=ax+a$的斜率$a＜0$，图象呈下降趋势，与y轴交于负半轴$(0,a)$；
二次函数$y=-ax^2+3x+2$的二次项系数$-a＞0$，抛物线开口向上；常数项为2，因此抛物线与y轴交于正半轴$(0,2)$；同时二次函数对称轴为$x=-\frac{3}{2×(-a)}=\frac{3}{2a}$，因为$a＜0$，所以对称轴在y轴左侧。
观察选项：选项B中抛物线对称轴在y轴右侧，不符合推导结果，排除B；选项D中一次函数下降、与y轴交于负半轴，二次函数开口向上、与y轴交于正半轴、对称轴在y轴左侧，所有特征均符合。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是典型的函数图象辨析题，解题核心是抓住两个函数中公共参数a的符号一致性，结合函数的开口方向、截距、对称轴等图象特征逐一排除错误选项，需要学生熟练掌握一次函数和二次函数的图象性质。
【难度系数】
0.7
解题时可通过参数a的正负分类讨论，结合一次函数、二次函数的图象与系数的对应关系逐一判断选项：首先，两个函数的参数a符号一致，先分别推导a＞0和a＜0时，一次函数的斜率、与y轴交点特征，以及二次函数的开口方向、对称轴、与y轴交点特征，再和选项对比，排除矛盾的选项即可得到答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的符号：
1. 当$a＞0$时：
一次函数$y=ax+a$的斜率$a＞0$，图象呈上升趋势，与y轴交于正半轴$(0,a)$；
二次函数$y=-ax^2+3x+2$的二次项系数$-a＜0$，抛物线开口向下。
观察选项：选项C中一次函数上升但二次函数开口向上，矛盾，排除C；选项A中一次函数下降，不符合a＞0时一次函数的特征，排除A。
2. 当$a＜0$时：
一次函数$y=ax+a$的斜率$a＜0$，图象呈下降趋势，与y轴交于负半轴$(0,a)$；
二次函数$y=-ax^2+3x+2$的二次项系数$-a＞0$，抛物线开口向上；常数项为2，因此抛物线与y轴交于正半轴$(0,2)$；同时二次函数对称轴为$x=-\frac{3}{2×(-a)}=\frac{3}{2a}$，因为$a＜0$，所以对称轴在y轴左侧。
观察选项：选项B中抛物线对称轴在y轴右侧，不符合推导结果，排除B；选项D中一次函数下降、与y轴交于负半轴，二次函数开口向上、与y轴交于正半轴、对称轴在y轴左侧，所有特征均符合。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是典型的函数图象辨析题，解题核心是抓住两个函数中公共参数a的符号一致性，结合函数的开口方向、截距、对称轴等图象特征逐一排除错误选项，需要学生熟练掌握一次函数和二次函数的图象性质。
【难度系数】
0.7
6 [2025安徽]已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，则下列结论正确的是（
A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
C
）A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
答案
6.C
解析
【分析】
解决这类问题需先从二次函数图象中提取关键信息：首先根据开口方向判断$a$的符号，结合对称轴位置和$a$的符号判断$b$的符号，根据与$y$轴的交点判断$c$的符号；再代入特殊$x$值（如$x=-1$、$x=2$）对应的函数值，结合对称轴公式逐一验证每个选项即可。
【解析】
1. 判断$a、b、c$的符号：
① 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$；
② 抛物线与$y$轴交于负半轴，即$x=0$时$y=c＜0$；
③ 抛物线与$x$轴的交点为$(x_1,0)$（$-1＜x_1＜0$）和$(2,0)$，因此对称轴$x=-\frac{b}{2a}=\frac{x_1+2}{2}$，代入$x_1$的范围得$0.5＜-\frac{b}{2a}＜1$，结合$a＞0$可推得$b＜0$，且$2a+b＞0$，故B选项错误。
2. 验证A选项：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，因此$abc＞0$，A选项错误。
3. 验证D选项：$x=-1$时，函数值$y=a-b+c$，由图象可知$x=-1$时抛物线在$x$轴上方，即$y＞0$，$\therefore a-b+c＞0$，D选项错误。
4. 验证C选项：$\because$抛物线过$(2,0)$，代入得$4a+2b+c=0$，即$a=\frac{-2b-c}{4}$；
结合$a-b+c＞0$，将$a=\frac{-2b-c}{4}$代入不等式：
$\frac{-2b-c}{4}-b+c＞0$，两边同乘4得$-2b-c-4b+4c＞0$，整理得$3c-6b＞0$，即$2b-c＜0$，故C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数的函数值
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的典型考题，需要熟练掌握图象特征和字母系数的对应规律，结合特殊点的函数值推导不等关系，重点考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.65
解决这类问题需先从二次函数图象中提取关键信息：首先根据开口方向判断$a$的符号，结合对称轴位置和$a$的符号判断$b$的符号，根据与$y$轴的交点判断$c$的符号；再代入特殊$x$值（如$x=-1$、$x=2$）对应的函数值，结合对称轴公式逐一验证每个选项即可。
【解析】
1. 判断$a、b、c$的符号：
① 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$；
② 抛物线与$y$轴交于负半轴，即$x=0$时$y=c＜0$；
③ 抛物线与$x$轴的交点为$(x_1,0)$（$-1＜x_1＜0$）和$(2,0)$，因此对称轴$x=-\frac{b}{2a}=\frac{x_1+2}{2}$，代入$x_1$的范围得$0.5＜-\frac{b}{2a}＜1$，结合$a＞0$可推得$b＜0$，且$2a+b＞0$，故B选项错误。
2. 验证A选项：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，因此$abc＞0$，A选项错误。
3. 验证D选项：$x=-1$时，函数值$y=a-b+c$，由图象可知$x=-1$时抛物线在$x$轴上方，即$y＞0$，$\therefore a-b+c＞0$，D选项错误。
4. 验证C选项：$\because$抛物线过$(2,0)$，代入得$4a+2b+c=0$，即$a=\frac{-2b-c}{4}$；
结合$a-b+c＞0$，将$a=\frac{-2b-c}{4}$代入不等式：
$\frac{-2b-c}{4}-b+c＞0$，两边同乘4得$-2b-c-4b+4c＞0$，整理得$3c-6b＞0$，即$2b-c＜0$，故C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数的函数值
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的典型考题，需要熟练掌握图象特征和字母系数的对应规律，结合特殊点的函数值推导不等关系，重点考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.65
7 [2025泸州]已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，与$y$轴的交点位于$x$轴下方，且$x=-1$时，$y＞0$，下列结论正确的是（
A.$2a=b$
B.$b^2-4ac＜0$
C.$a-2b+4c＜0$
D.$8a+c＞0$
D
）A.$2a=b$
B.$b^2-4ac＜0$
C.$a-2b+4c＜0$
D.$8a+c＞0$
答案
7.D
解析
【分析】解题时先利用二次函数对称轴公式推导a与b的关系，再结合已知的函数值符号、与y轴交点位置判断抛物线开口方向，最后代入特殊值逐一验证每个选项：1. 由对称轴x=1直接推导b和a的关系判断A；2. 结合x=-1时y＞0、y轴交点在x轴下方判断抛物线与x轴交点个数，判断B；3. 将b=-2a代入各含a、b、c的式子，结合a的符号和已知不等式推导其余选项的符号。
【解析】
解：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$：
1. 由对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，故A选项$2a=b$错误；
2. 已知抛物线与y轴交点位于x轴下方，即$x=0$时$y=c＜0$；又$x=-1$时$y＞0$，对称轴为$x=1$，可推出抛物线开口向上（若开口向下，离对称轴更远的$x=-1$处函数值应小于$x=0$处的函数值，与已知的$x=-1$时$y＞0$、$x=0$时$y＜0$矛盾），即$a＞0$；且抛物线与x轴有两个交点，故判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，B选项错误；
3. 分析C选项：将$b=-2a$代入$a-2b+4c$，得$a-2×(-2a)+4c=5a+4c$。已知$x=-1$时$y=a-b+c=3a+c＞0$，即$c＞-3a$，代入得$5a+4c＞5a+4×(-3a)=-7a＜0$，无法确定$5a+4c$的正负，故C选项错误；
4. 分析D选项：$8a+c=5a+(3a+c)$，由$a＞0$得$5a＞0$，又$3a+c＞0$，故$8a+c=5a+(3a+c)＞0$，D选项正确。
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】本题考查二次函数图象与字母系数的关系，解题关键是利用对称轴得到a、b的关系，结合特殊点的函数值推导系数符号和相关代数式的正负，需要熟练掌握二次函数的对称性、开口方向与系数的对应关系。
【难度系数】0.6
【解析】
解：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$：
1. 由对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，故A选项$2a=b$错误；
2. 已知抛物线与y轴交点位于x轴下方，即$x=0$时$y=c＜0$；又$x=-1$时$y＞0$，对称轴为$x=1$，可推出抛物线开口向上（若开口向下，离对称轴更远的$x=-1$处函数值应小于$x=0$处的函数值，与已知的$x=-1$时$y＞0$、$x=0$时$y＜0$矛盾），即$a＞0$；且抛物线与x轴有两个交点，故判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，B选项错误；
3. 分析C选项：将$b=-2a$代入$a-2b+4c$，得$a-2×(-2a)+4c=5a+4c$。已知$x=-1$时$y=a-b+c=3a+c＞0$，即$c＞-3a$，代入得$5a+4c＞5a+4×(-3a)=-7a＜0$，无法确定$5a+4c$的正负，故C选项错误；
4. 分析D选项：$8a+c=5a+(3a+c)$，由$a＞0$得$5a＞0$，又$3a+c＞0$，故$8a+c=5a+(3a+c)＞0$，D选项正确。
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】本题考查二次函数图象与字母系数的关系，解题关键是利用对称轴得到a、b的关系，结合特殊点的函数值推导系数符号和相关代数式的正负，需要熟练掌握二次函数的对称性、开口方向与系数的对应关系。
【难度系数】0.6
8 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于点$A(-1,0)$，与$y$轴的交点$B$在点$(0,-2)$和$(0,-1)$之间(不含端点)，对称轴为直线$x=1$.有下列结论:① $abc＞0$;② $4a+2b+c＞0$;③ $4ac - b^2 ＜ -4a$;④ $\dfrac{1}{3}＜a＜1$.其中,正确的是
①③
(填序号).答案
8.①③
解析
【分析】
首先根据已知条件推导a、b、c的关系及符号：1. 由对称轴$x=1$结合对称轴公式得$b=-2a$；2. 把点$A(-1,0)$代入解析式，结合$b=-2a$推出$c=-3a$；3. 由y轴交点的取值范围得$-2＜c＜-1$，进而得到$a$的取值范围。再逐个验证4个结论：①判断$a、b、c$的符号后计算乘积判断正负；②$4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，结合$x=2$在两根之间判断函数值符号；③将$b=-2a、c=-3a$代入不等式化简，结合$a$的取值范围验证是否成立；④结合$c=-3a$和$c$的范围推导$a$的准确范围，判断结论是否正确。
【解析】
步骤1：推导$a、b、c$的关系
∵ 二次函数对称轴为直线$x=1$，
∴ $-\dfrac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$；
∵ 函数图象过点$A(-1,0)$，代入解析式得：$a· (-1)^2 + b· (-1) + c=0$，即$a-b+c=0$；
将$b=-2a$代入上式得：$a+2a+c=0$，即$c=-3a$。
步骤2：验证结论①
∵ 函数与y轴交点在$(0,-2)$和$(0,-1)$之间，
∴ $c＜0$，即$-3a＜0$，得$a＞0$；
又$b=-2a$，$a＞0$，故$b＜0$；
∴ $a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，则$abc=正×负×负=正$，即$abc＞0$，结论①正确。
步骤3：验证结论②
$4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，已知函数与x轴的一个交点为$(-1,0)$，对称轴为$x=1$，由对称性可得另一交点为$(3,0)$；
∵ $a＞0$，函数开口向上，当$-1＜x＜3$时，函数值小于0，$x=2$在$(-1,3)$范围内，
∴ $x=2$时$y=4a+2b+c＜0$，结论②错误。
步骤4：验证结论③
将$b=-2a$、$c=-3a$代入左边得：$4ac-b^2=4a· (-3a)-(-2a)^2=-12a^2-4a^2=-16a^2$；
不等式变为$-16a^2＜-4a$，
∵ $a＞0$，两边同时除以$-4a$，不等号变向得$4a＞1$，即$a＞\dfrac{1}{4}$；
由$-2＜c＜-1$，代入$c=-3a$得$-2＜-3a＜-1$，解得$\dfrac{1}{3}＜a＜\dfrac{2}{3}$，显然$a＞\dfrac{1}{3}＞\dfrac{1}{4}$，不等式成立，结论③正确。
步骤5：验证结论④
由$-2＜-3a＜-1$解不等式：
$-2＜-3a$，得$a＜\dfrac{2}{3}$；
$-3a＜-1$，得$a＞\dfrac{1}{3}$；
故$a$的取值范围是$\dfrac{1}{3}＜a＜\dfrac{2}{3}$，不是$\dfrac{1}{3}＜a＜1$，结论④错误。
综上，正确的结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数与不等式
【点评】
本题考查二次函数图象与字母系数的关系，解题核心是利用对称轴、已知交点推导出$a、b、c$的等量关系，再结合y轴交点的范围推导系数的取值范围，逐个验证结论即可。
【难度系数】
0.65
首先根据已知条件推导a、b、c的关系及符号：1. 由对称轴$x=1$结合对称轴公式得$b=-2a$；2. 把点$A(-1,0)$代入解析式，结合$b=-2a$推出$c=-3a$；3. 由y轴交点的取值范围得$-2＜c＜-1$，进而得到$a$的取值范围。再逐个验证4个结论：①判断$a、b、c$的符号后计算乘积判断正负；②$4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，结合$x=2$在两根之间判断函数值符号；③将$b=-2a、c=-3a$代入不等式化简，结合$a$的取值范围验证是否成立；④结合$c=-3a$和$c$的范围推导$a$的准确范围，判断结论是否正确。
【解析】
步骤1：推导$a、b、c$的关系
∵ 二次函数对称轴为直线$x=1$，
∴ $-\dfrac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$；
∵ 函数图象过点$A(-1,0)$，代入解析式得：$a· (-1)^2 + b· (-1) + c=0$，即$a-b+c=0$；
将$b=-2a$代入上式得：$a+2a+c=0$，即$c=-3a$。
步骤2：验证结论①
∵ 函数与y轴交点在$(0,-2)$和$(0,-1)$之间，
∴ $c＜0$，即$-3a＜0$，得$a＞0$；
又$b=-2a$，$a＞0$，故$b＜0$；
∴ $a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，则$abc=正×负×负=正$，即$abc＞0$，结论①正确。
步骤3：验证结论②
$4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，已知函数与x轴的一个交点为$(-1,0)$，对称轴为$x=1$，由对称性可得另一交点为$(3,0)$；
∵ $a＞0$，函数开口向上，当$-1＜x＜3$时，函数值小于0，$x=2$在$(-1,3)$范围内，
∴ $x=2$时$y=4a+2b+c＜0$，结论②错误。
步骤4：验证结论③
将$b=-2a$、$c=-3a$代入左边得：$4ac-b^2=4a· (-3a)-(-2a)^2=-12a^2-4a^2=-16a^2$；
不等式变为$-16a^2＜-4a$，
∵ $a＞0$，两边同时除以$-4a$，不等号变向得$4a＞1$，即$a＞\dfrac{1}{4}$；
由$-2＜c＜-1$，代入$c=-3a$得$-2＜-3a＜-1$，解得$\dfrac{1}{3}＜a＜\dfrac{2}{3}$，显然$a＞\dfrac{1}{3}＞\dfrac{1}{4}$，不等式成立，结论③正确。
步骤5：验证结论④
由$-2＜-3a＜-1$解不等式：
$-2＜-3a$，得$a＜\dfrac{2}{3}$；
$-3a＜-1$，得$a＞\dfrac{1}{3}$；
故$a$的取值范围是$\dfrac{1}{3}＜a＜\dfrac{2}{3}$，不是$\dfrac{1}{3}＜a＜1$，结论④错误。
综上，正确的结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数与不等式
【点评】
本题考查二次函数图象与字母系数的关系，解题核心是利用对称轴、已知交点推导出$a、b、c$的等量关系，再结合y轴交点的范围推导系数的取值范围，逐个验证结论即可。
【难度系数】
0.65
