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1 已知二次函数 $y=-2x^2+8x-5$，当 $x≥3$ 时，函数的最大值为 （
A.3
B.2
C.1
D.-5
C
）A.3
B.2
C.1
D.-5
答案
1. C
解析
【分析】
要解决指定区间内二次函数的最值问题，可按以下思路推导：第一步先根据二次项系数判断抛物线的开口方向，确定函数有最大值还是最小值；第二步计算抛物线的对称轴；第三步判断给定的x取值范围在对称轴的左侧还是右侧，结合开口方向确定该区间内函数的增减性；第四步根据增减性找到最值对应的x值，代入解析式计算即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+8x-5$：
1. 判断开口方向：$\because a=-2＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，函数存在最大值。
2. 计算对称轴：对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-2)}=2$。
3. 分析区间增减性：题目给定$x≥3$，该区间位于对称轴$x=2$的右侧；由于开口向下的抛物线在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，因此在$x≥3$范围内，$x$取最小值3时，函数取得最大值。
4. 代入计算：将$x=3$代入解析式得：
$y=-2×3^2+8×3-5=-18+24-5=1$
因此函数的最大值为1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型基础题，解题核心是不要直接将顶点的函数值作为结果，需要结合给定的x取值范围，根据函数增减性判断最值点，避免忽略区间限制导致错解。
【难度系数】
0.7
要解决指定区间内二次函数的最值问题，可按以下思路推导：第一步先根据二次项系数判断抛物线的开口方向，确定函数有最大值还是最小值；第二步计算抛物线的对称轴；第三步判断给定的x取值范围在对称轴的左侧还是右侧，结合开口方向确定该区间内函数的增减性；第四步根据增减性找到最值对应的x值，代入解析式计算即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+8x-5$：
1. 判断开口方向：$\because a=-2＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，函数存在最大值。
2. 计算对称轴：对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-2)}=2$。
3. 分析区间增减性：题目给定$x≥3$，该区间位于对称轴$x=2$的右侧；由于开口向下的抛物线在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，因此在$x≥3$范围内，$x$取最小值3时，函数取得最大值。
4. 代入计算：将$x=3$代入解析式得：
$y=-2×3^2+8×3-5=-18+24-5=1$
因此函数的最大值为1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型基础题，解题核心是不要直接将顶点的函数值作为结果，需要结合给定的x取值范围，根据函数增减性判断最值点，避免忽略区间限制导致错解。
【难度系数】
0.7
2 当$-2≤ x≤ 3$时，二次函数$y=x^2 -2x +2$的最大值为
10
。答案
2. 10
解析
【分析】
要解决定区间内二次函数的最值问题，可按以下思路推导：1. 先用配方法将二次函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴；2. 结合二次函数增减性分析：本题二次函数开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，因此闭区间内的最大值会出现在离对称轴更远的区间端点处；3. 计算两个端点的函数值，比较大小即可得到最大值。
【解析】
首先对二次函数配方，化为顶点式：
$y=x^2-2x+2=(x^2-2x+1)+1=(x-1)^2+1$
由此可知：二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点$(1,1)$是函数的最小值点。
接下来计算给定区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2-1)^2+1=9+1=10$；
当$x=3$时，$y=(3-1)^2+1=4+1=5$。
比较可得$10＞5＞1$，因此函数在$-2≤x≤3$范围内的最大值为10。
【答案】
10
【知识点】
二次函数性质，定区间最值，配方法
【点评】
本题是二次函数最值的基础常考题，解题核心是明确开口方向、对称轴与给定区间的位置关系，结合增减性判断最值点，易错点是忽略区间限制直接将顶点纵坐标作为最值。
【难度系数】
0.7
要解决定区间内二次函数的最值问题，可按以下思路推导：1. 先用配方法将二次函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴；2. 结合二次函数增减性分析：本题二次函数开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，因此闭区间内的最大值会出现在离对称轴更远的区间端点处；3. 计算两个端点的函数值，比较大小即可得到最大值。
【解析】
首先对二次函数配方，化为顶点式：
$y=x^2-2x+2=(x^2-2x+1)+1=(x-1)^2+1$
由此可知：二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点$(1,1)$是函数的最小值点。
接下来计算给定区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2-1)^2+1=9+1=10$；
当$x=3$时，$y=(3-1)^2+1=4+1=5$。
比较可得$10＞5＞1$，因此函数在$-2≤x≤3$范围内的最大值为10。
【答案】
10
【知识点】
二次函数性质，定区间最值，配方法
【点评】
本题是二次函数最值的基础常考题，解题核心是明确开口方向、对称轴与给定区间的位置关系，结合增减性判断最值点，易错点是忽略区间限制直接将顶点纵坐标作为最值。
【难度系数】
0.7
3 若二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$图象的对称轴为直线$x=2$，当$x_1=0,x_2=3,x_3=5$时，对应的函数值分别为$y_1,y_2,y_3$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系及当$0≤x≤5$时$y$的最小值情况是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$，当$x=2$时$y$取得最小值
B.$y_2＜y_1＜y_3$，当$x=2$时$y$取得最小值
C.$y_1＜y_3＜y_2$，当$x=0$时$y$取得最小值
D.$y_3＜y_1＜y_2$，当$x=5$时$y$取得最小值
B
）A.$y_1＜y_2＜y_3$，当$x=2$时$y$取得最小值
B.$y_2＜y_1＜y_3$，当$x=2$时$y$取得最小值
C.$y_1＜y_3＜y_2$，当$x=0$时$y$取得最小值
D.$y_3＜y_1＜y_2$，当$x=5$时$y$取得最小值
答案
3. B
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数的基本性质：当a＞0时，二次函数开口向上，图象上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，且函数在对称轴处取得最小值。解题步骤分为两步：1. 分别计算$x_1$、$x_2$、$x_3$到对称轴$x=2$的距离，通过比较距离大小判断$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小关系；2. 判断对称轴$x=2$是否在$0≤x≤5$的区间内，从而确定该区间内y的最小值位置。
【解析】
已知二次函数$y=ax^2+bx+c$中$a＞0$，因此函数图象开口向上，且在对称轴$x=2$处取得最小值。
第一步：计算各x值到对称轴的距离：
$|x_1 - 2| = |0 - 2| = 2$
$|x_2 - 2| = |3 - 2| = 1$
$|x_3 - 2| = |5 - 2| = 3$
因为开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，且$1＜2＜3$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
第二步：判断最小值位置：
对称轴$x=2$在区间$0≤x≤5$内部，结合开口向上的性质，可得当$x=2$时，y在$0≤x≤5$范围内取得最小值。
综上，符合的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数增减性，二次函数最值
【点评】
本题重点考查二次函数的开口方向、对称轴与函数值、最值的对应关系，解题的核心是掌握开口向上的二次函数“距对称轴越远函数值越大”的规律，无需代入解析式计算即可快速比较函数值大小，同时注意判断区间最值时要先确认对称轴是否在给定区间内。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确二次函数的基本性质：当a＞0时，二次函数开口向上，图象上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，且函数在对称轴处取得最小值。解题步骤分为两步：1. 分别计算$x_1$、$x_2$、$x_3$到对称轴$x=2$的距离，通过比较距离大小判断$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小关系；2. 判断对称轴$x=2$是否在$0≤x≤5$的区间内，从而确定该区间内y的最小值位置。
【解析】
已知二次函数$y=ax^2+bx+c$中$a＞0$，因此函数图象开口向上，且在对称轴$x=2$处取得最小值。
第一步：计算各x值到对称轴的距离：
$|x_1 - 2| = |0 - 2| = 2$
$|x_2 - 2| = |3 - 2| = 1$
$|x_3 - 2| = |5 - 2| = 3$
因为开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，且$1＜2＜3$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
第二步：判断最小值位置：
对称轴$x=2$在区间$0≤x≤5$内部，结合开口向上的性质，可得当$x=2$时，y在$0≤x≤5$范围内取得最小值。
综上，符合的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数增减性，二次函数最值
【点评】
本题重点考查二次函数的开口方向、对称轴与函数值、最值的对应关系，解题的核心是掌握开口向上的二次函数“距对称轴越远函数值越大”的规律，无需代入解析式计算即可快速比较函数值大小，同时注意判断区间最值时要先确认对称轴是否在给定区间内。
【难度系数】
0.7
4 已知二次函数 $ y=(m-2)x^2 +4mx +3 $，当 $ x ＜ -1 $ 时，y随x的增大而增大；当 $ x ＞ -1 $ 时，y随x的增大而减小，求该函数的最值。
答案
4. 由题意,易知 $m-2＜0$,$x=-\frac{4m}{2(m-2)}=-1$,解得 $m=-2$.
∴ 函数解析式为 $y=-4x^2-8x+3$,当 $x=-1$ 时,函数取得最大值,为 7
∴ 函数解析式为 $y=-4x^2-8x+3$,当 $x=-1$ 时,函数取得最大值,为 7
解析
【分析】
解决本题的核心是利用二次函数的增减性确定其开口方向和对称轴：①二次函数的增减性以对称轴为分界，题目中x＜-1时y随x增大而增大，x＞-1时y随x增大而减小，说明对称轴为直线x=-1，且抛物线开口向下（左升右降对应开口向下）；②再结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$列方程求出参数m，验证开口方向符合要求后，代入解析式即可求出顶点处的最值（开口向下时顶点为最高点，取最大值）。
【解析】
解：由题意可知，该二次函数的对称轴为直线$x=-1$，且抛物线开口向下，因此：
1. 开口向下满足：$m-2＜0$；
2. 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=m-2$，$b=4m$，代入对称轴$x=-1$得：
$-\frac{4m}{2(m-2)}=-1$
化简得：$\frac{-2m}{m-2}=-1$，
两边同乘$m-2$（$m≠2$）得：$-2m=-(m-2)$，
解得：$m=-2$，
验证：$m=-2$时，$m-2=-4＜0$，符合开口向下的要求。
将$m=-2$代入原函数，得解析式为：
$y=(-2-2)x^2 +4×(-2)x +3=-4x^2-8x+3$，
∵抛物线开口向下，
∴函数在顶点处取得最大值，
将$x=-1$代入解析式得：
$y=-4×(-1)^2 -8×(-1)+3=-4+8+3=7$。
【答案】
该函数的最大值为7
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的对称轴；二次函数的最值
【点评】
本题重点考查二次函数图象的基本性质，解题的突破口是根据函数的增减变化规律精准确定对称轴和开口方向，再通过代入参数求解解析式进而求最值，熟练掌握二次函数的对称轴公式和增减性规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用二次函数的增减性确定其开口方向和对称轴：①二次函数的增减性以对称轴为分界，题目中x＜-1时y随x增大而增大，x＞-1时y随x增大而减小，说明对称轴为直线x=-1，且抛物线开口向下（左升右降对应开口向下）；②再结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$列方程求出参数m，验证开口方向符合要求后，代入解析式即可求出顶点处的最值（开口向下时顶点为最高点，取最大值）。
【解析】
解：由题意可知，该二次函数的对称轴为直线$x=-1$，且抛物线开口向下，因此：
1. 开口向下满足：$m-2＜0$；
2. 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=m-2$，$b=4m$，代入对称轴$x=-1$得：
$-\frac{4m}{2(m-2)}=-1$
化简得：$\frac{-2m}{m-2}=-1$，
两边同乘$m-2$（$m≠2$）得：$-2m=-(m-2)$，
解得：$m=-2$，
验证：$m=-2$时，$m-2=-4＜0$，符合开口向下的要求。
将$m=-2$代入原函数，得解析式为：
$y=(-2-2)x^2 +4×(-2)x +3=-4x^2-8x+3$，
∵抛物线开口向下，
∴函数在顶点处取得最大值，
将$x=-1$代入解析式得：
$y=-4×(-1)^2 -8×(-1)+3=-4+8+3=7$。
【答案】
该函数的最大值为7
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的对称轴；二次函数的最值
【点评】
本题重点考查二次函数图象的基本性质，解题的突破口是根据函数的增减变化规律精准确定对称轴和开口方向，再通过代入参数求解解析式进而求最值，熟练掌握二次函数的对称轴公式和增减性规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5 已知二次函数 $ y = ax^2 - 2ax + 2(a ≠ 0) $。当 $ 0 ≤ x ≤ 3 $ 时，y 的最大值是6，求a的值。
答案
5. 当 $a＜0$ 时,$\because 0≤ x≤ 3,-\frac{-2a}{2a}=1$,$\therefore$ 当 $x=1$ 时,函数有最大值,为 $a-2a+2=6$,解得 $a=-4$. 当 $a＞0$ 时,$\because 0≤ x≤ 3,-\frac{-2a}{2a}=1$,$\therefore$ 当 $x=3$ 时,函数有最大值,为 $9a-6a+2=6$,解得 $a=\frac{4}{3}$.综上所述,$a=-4$ 或 $a=\frac{4}{3}$
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数的最值由开口方向、对称轴和自变量取值范围共同决定。第一步先求出二次函数的对称轴，再根据二次项系数a的正负分情况讨论开口方向：当a＜0时抛物线开口向下，顶点处取得最大值；当a＞0时抛物线开口向上，给定区间内离对称轴越远的点函数值越大，据此找到对应最大值的x值，代入函数列方程求解即可。
【解析】
首先求函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2a$，因此对称轴为$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
分两种情况讨论：
1. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在$0≤x≤3$范围内，顶点$x=1$处函数值最大，将$x=1$代入函数得：
$y=a×1^2 - 2a×1 + 2=-a+2$
由最大值为6列方程：$-a+2=6$，解得$a=-4$，符合$a＜0$的条件。
2. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，比较区间端点到对称轴$x=1$的距离：$x=0$到1的距离为1，$x=3$到1的距离为2，因此$x=3$处函数值最大，将$x=3$代入函数得：
$y=a×3^2 - 2a×3 + 2=3a+2$
由最大值为6列方程：$3a+2=6$，解得$a=\frac{4}{3}$，符合$a＞0$的条件。
综上，a的值为$-4$或$\frac{4}{3}$。
【答案】
$a=-4$ 或 $a=\frac{4}{3}$
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数最值求解，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题核心是先确定对称轴，再结合开口方向判断最值点的位置，注意二次项系数符号不确定时必须分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确二次函数的最值由开口方向、对称轴和自变量取值范围共同决定。第一步先求出二次函数的对称轴，再根据二次项系数a的正负分情况讨论开口方向：当a＜0时抛物线开口向下，顶点处取得最大值；当a＞0时抛物线开口向上，给定区间内离对称轴越远的点函数值越大，据此找到对应最大值的x值，代入函数列方程求解即可。
【解析】
首先求函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2a$，因此对称轴为$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
分两种情况讨论：
1. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在$0≤x≤3$范围内，顶点$x=1$处函数值最大，将$x=1$代入函数得：
$y=a×1^2 - 2a×1 + 2=-a+2$
由最大值为6列方程：$-a+2=6$，解得$a=-4$，符合$a＜0$的条件。
2. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，比较区间端点到对称轴$x=1$的距离：$x=0$到1的距离为1，$x=3$到1的距离为2，因此$x=3$处函数值最大，将$x=3$代入函数得：
$y=a×3^2 - 2a×3 + 2=3a+2$
由最大值为6列方程：$3a+2=6$，解得$a=\frac{4}{3}$，符合$a＞0$的条件。
综上，a的值为$-4$或$\frac{4}{3}$。
【答案】
$a=-4$ 或 $a=\frac{4}{3}$
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数最值求解，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题核心是先确定对称轴，再结合开口方向判断最值点的位置，注意二次项系数符号不确定时必须分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6 当二次函数$y=2x^2 -4x -1$的自变量的取值范围是$0≤ x≤ a$时，函数的最大值为15，则a的值为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6. D
解析
【分析】
解题时先将二次函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴，明确函数增减性。由于二次函数开口向上，给定区间内的最大值会出现在离对称轴更远的端点处。先求出函数值为15时对应的自变量取值，再结合自变量的取值范围判断a的取值即可。
【解析】
1. 先将二次函数化为顶点式：
$y=2x^2-4x-1=2(x^2-2x)-1=2(x-1)^2-3$
可知该函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-3)$。
2. 求$y=15$时对应的$x$值：
令$y=15$，代入解析式得：
$2x^2-4x-1=15$
整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-2$。
3. 结合区间判断最大值位置：
当$x=0$时，代入得$y=-1＜15$，说明区间左端点函数值小于最大值，因此最大值15只能在区间右端点$x=a$处取得，结合$a≥0$，得$a=4$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的最值、二次函数的增减性、解一元二次方程
【点评】
本题解题核心是先明确二次函数的开口方向与对称轴，结合增减性判断最值出现的端点，再代入计算即可，解题时要注意结合自变量的取值范围排除无效解。
【难度系数】
0.7
解题时先将二次函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴，明确函数增减性。由于二次函数开口向上，给定区间内的最大值会出现在离对称轴更远的端点处。先求出函数值为15时对应的自变量取值，再结合自变量的取值范围判断a的取值即可。
【解析】
1. 先将二次函数化为顶点式：
$y=2x^2-4x-1=2(x^2-2x)-1=2(x-1)^2-3$
可知该函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-3)$。
2. 求$y=15$时对应的$x$值：
令$y=15$，代入解析式得：
$2x^2-4x-1=15$
整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-2$。
3. 结合区间判断最大值位置：
当$x=0$时，代入得$y=-1＜15$，说明区间左端点函数值小于最大值，因此最大值15只能在区间右端点$x=a$处取得，结合$a≥0$，得$a=4$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的最值、二次函数的增减性、解一元二次方程
【点评】
本题解题核心是先明确二次函数的开口方向与对称轴，结合增减性判断最值出现的端点，再代入计算即可，解题时要注意结合自变量的取值范围排除无效解。
【难度系数】
0.7
7 已知二次函数$y=-x^2 -2x +3$，当$a≤x≤\frac{1}{2}$时，y的最小值为1，则a的值为
$-1-\sqrt{3}$
。答案
7. $-1-\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先先分析二次函数的基本性质：将函数配方可得开口方向、对称轴，明确开口向下的二次函数离对称轴越远，函数值越小。接着计算区间右端点$x=\frac{1}{2}$处的函数值，发现其大于最小值1，说明最小值不可能在右端点取得，只能在左端点$x=a$处取到。最后令$x=a$时$y=1$，解方程后结合区间范围筛选出符合要求的$a$的值即可。
【解析】
步骤1：求二次函数的对称轴与开口方向
将$y=-x^2-2x+3$配方得：
$y=-(x^2+2x)+3=-(x+1)^2+4$
∴二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点是函数的最大值点，离对称轴越远，函数值越小。
步骤2：计算区间右端点的函数值
当$x=\frac{1}{2}$时，代入函数得：
$y=-(\frac{1}{2})^2-2×\frac{1}{2}+3=-\frac{1}{4}-1+3=\frac{7}{4}＞1$
说明区间右端点的函数值大于最小值1，因此最小值只能在左端点$x=a$处取得。
步骤3：列方程求解并筛选
令$x=a$时$y=1$，代入得：
$-a^2-2a+3=1$
整理为标准一元二次方程：$a^2+2a-2=0$
由求根公式得：$a=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+4×2}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$
其中$-1+\sqrt{3}\approx0.732＞\frac{1}{2}$，不符合区间$a≤ x≤\frac{1}{2}$的要求，舍去；
$-1-\sqrt{3}\approx-2.732$符合要求，故$a=-1-\sqrt{3}$。
【答案】
$-1-\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，解一元二次方程
【点评】
本题核心是利用二次函数的增减性判断最值的取值位置，解题时要先明确开口方向和对称轴，再结合区间端点的函数值分析最值取得的位置，求出解后要注意检验是否符合题目的区间限制条件。
【难度系数】
0.6
首先先分析二次函数的基本性质：将函数配方可得开口方向、对称轴，明确开口向下的二次函数离对称轴越远，函数值越小。接着计算区间右端点$x=\frac{1}{2}$处的函数值，发现其大于最小值1，说明最小值不可能在右端点取得，只能在左端点$x=a$处取到。最后令$x=a$时$y=1$，解方程后结合区间范围筛选出符合要求的$a$的值即可。
【解析】
步骤1：求二次函数的对称轴与开口方向
将$y=-x^2-2x+3$配方得：
$y=-(x^2+2x)+3=-(x+1)^2+4$
∴二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点是函数的最大值点，离对称轴越远，函数值越小。
步骤2：计算区间右端点的函数值
当$x=\frac{1}{2}$时，代入函数得：
$y=-(\frac{1}{2})^2-2×\frac{1}{2}+3=-\frac{1}{4}-1+3=\frac{7}{4}＞1$
说明区间右端点的函数值大于最小值1，因此最小值只能在左端点$x=a$处取得。
步骤3：列方程求解并筛选
令$x=a$时$y=1$，代入得：
$-a^2-2a+3=1$
整理为标准一元二次方程：$a^2+2a-2=0$
由求根公式得：$a=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+4×2}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$
其中$-1+\sqrt{3}\approx0.732＞\frac{1}{2}$，不符合区间$a≤ x≤\frac{1}{2}$的要求，舍去；
$-1-\sqrt{3}\approx-2.732$符合要求，故$a=-1-\sqrt{3}$。
【答案】
$-1-\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，解一元二次方程
【点评】
本题核心是利用二次函数的增减性判断最值的取值位置，解题时要先明确开口方向和对称轴，再结合区间端点的函数值分析最值取得的位置，求出解后要注意检验是否符合题目的区间限制条件。
【难度系数】
0.6
8 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + 1 $ 经过点$(1, -2)$，$(-2,13)$。
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）将此抛物线沿$ x $轴平移$ m(m＞0) $个单位长度，当自变量$ x $的值满足$-1 ≤ x ≤ 3$时，与其对应的函数值$ y $的最小值为6，求$ m $的值。
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）将此抛物线沿$ x $轴平移$ m(m＞0) $个单位长度，当自变量$ x $的值满足$-1 ≤ x ≤ 3$时，与其对应的函数值$ y $的最小值为6，求$ m $的值。
答案
8. （1）将$(1,-2),(-2,13)$代入 $y=ax^2+bx+1$,得 $a+b+1=-2,4a-2b+1=13$,解得 $a=1,b=-4$. $\therefore$ 所求抛物线对应的函数解析式为 $y=x^2-4x+1$
（2）$\because y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3$,$\therefore$ 抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=2$,对应函数的最小值为$-3$. 当向左平移 $m$ 个单位长度时,平移后的抛物线对应的函数解析式为 $y=(x-2+m)^2-3$. $\because$ 当 $-1≤ x≤ 3$ 时,$y$ 的最小值为6,$\therefore$ 当 $x=-1$ 时,$y=6$. $\therefore (-1-2+m)^2-3=6$,解得 $m=6$ 或 $m=0$(舍去). 当向右平移 $m$ 个单位长度时,平移后的抛物线对应的函数解析式为 $y=(x-2-m)^2-3$. $\because$ 当 $-1≤ x≤ 3$ 时,$y$ 的最小值为 6,$\therefore$ 当 $x=3$ 时,$y=6$. $\therefore (3-2-m)^2-3=6$,解得 $m=4$ 或 $m=-2$(舍去). 综上所述,$m=4$ 或 6
（2）$\because y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3$,$\therefore$ 抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=2$,对应函数的最小值为$-3$. 当向左平移 $m$ 个单位长度时,平移后的抛物线对应的函数解析式为 $y=(x-2+m)^2-3$. $\because$ 当 $-1≤ x≤ 3$ 时,$y$ 的最小值为6,$\therefore$ 当 $x=-1$ 时,$y=6$. $\therefore (-1-2+m)^2-3=6$,解得 $m=6$ 或 $m=0$(舍去). 当向右平移 $m$ 个单位长度时,平移后的抛物线对应的函数解析式为 $y=(x-2-m)^2-3$. $\because$ 当 $-1≤ x≤ 3$ 时,$y$ 的最小值为 6,$\therefore$ 当 $x=3$ 时,$y=6$. $\therefore (3-2-m)^2-3=6$,解得 $m=4$ 或 $m=-2$(舍去). 综上所述,$m=4$ 或 6
解析
【分析】
（1）第一问求二次函数解析式，已知抛物线上两个点的坐标，解析式中仅含a、b两个未知系数，因此采用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
（2）第二问先将第一问得到的解析式化为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点最值。抛物线沿x轴平移遵循“左加右减”的规律，分向左平移、向右平移两种情况讨论：由于原函数最小值为-3＜6，说明平移后在$-1≤x≤3$区间内的最小值不在顶点处取，即区间在平移后对称轴的同侧，结合开口向上的性质，最小值在区间离对称轴更近的端点处取得，代入端点值列方程求解m，舍去不符合$m＞0$的解即可。
【解析】
（1）将点$(1, -2)$、$(-2, 13)$代入$y=ax^2+bx+1$，可得：
$\begin{cases}a + b + 1 = -2 \\4a - 2b + 1 = 13 \end{cases}$
整理方程组得$\begin{cases}a+b=-3 \\2a-b=6 \end{cases}$，两式相加得$3a=3$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a+b=-3$得$b=-4$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-4x+1$。
（2）将解析式化为顶点式：$y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3$，可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，函数最小值为$-3$。
分两种平移情况讨论：
① 向左平移$m(m＞0)$个单位长度，平移后解析式为$y=(x-2+m)^2-3$。
由于$-1≤x≤3$时y的最小值为$6＞-3$，说明该区间在平移后对称轴的右侧，最小值在区间左端点$x=-1$处取得。
代入$x=-1,y=6$得：$(-1-2+m)^2-3=6$，即$(m-3)^2=9$，解得$m=6$或$m=0$，结合$m＞0$舍去$m=0$，得$m=6$。
② 向右平移$m(m＞0)$个单位长度，平移后解析式为$y=(x-2-m)^2-3$。
同理，此时区间在平移后对称轴的左侧，最小值在区间右端点$x=3$处取得。
代入$x=3,y=6$得：$(3-2-m)^2-3=6$，即$(1-m)^2=9$，解得$m=4$或$m=-2$，结合$m＞0$舍去$m=-2$，得$m=4$。
综上，m的值为4或6。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=x^2-4x+1}$；（2）$\boldsymbol{m=4}$或$\boldsymbol{6}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数平移；二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式的方法、二次函数平移的规律，解决区间最值问题时要结合开口方向、对称轴与区间的位置关系判断最值的取值点，注意平移有左右两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）第一问求二次函数解析式，已知抛物线上两个点的坐标，解析式中仅含a、b两个未知系数，因此采用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
（2）第二问先将第一问得到的解析式化为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点最值。抛物线沿x轴平移遵循“左加右减”的规律，分向左平移、向右平移两种情况讨论：由于原函数最小值为-3＜6，说明平移后在$-1≤x≤3$区间内的最小值不在顶点处取，即区间在平移后对称轴的同侧，结合开口向上的性质，最小值在区间离对称轴更近的端点处取得，代入端点值列方程求解m，舍去不符合$m＞0$的解即可。
【解析】
（1）将点$(1, -2)$、$(-2, 13)$代入$y=ax^2+bx+1$，可得：
$\begin{cases}a + b + 1 = -2 \\4a - 2b + 1 = 13 \end{cases}$
整理方程组得$\begin{cases}a+b=-3 \\2a-b=6 \end{cases}$，两式相加得$3a=3$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a+b=-3$得$b=-4$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-4x+1$。
（2）将解析式化为顶点式：$y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3$，可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，函数最小值为$-3$。
分两种平移情况讨论：
① 向左平移$m(m＞0)$个单位长度，平移后解析式为$y=(x-2+m)^2-3$。
由于$-1≤x≤3$时y的最小值为$6＞-3$，说明该区间在平移后对称轴的右侧，最小值在区间左端点$x=-1$处取得。
代入$x=-1,y=6$得：$(-1-2+m)^2-3=6$，即$(m-3)^2=9$，解得$m=6$或$m=0$，结合$m＞0$舍去$m=0$，得$m=6$。
② 向右平移$m(m＞0)$个单位长度，平移后解析式为$y=(x-2-m)^2-3$。
同理，此时区间在平移后对称轴的左侧，最小值在区间右端点$x=3$处取得。
代入$x=3,y=6$得：$(3-2-m)^2-3=6$，即$(1-m)^2=9$，解得$m=4$或$m=-2$，结合$m＞0$舍去$m=-2$，得$m=4$。
综上，m的值为4或6。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=x^2-4x+1}$；（2）$\boldsymbol{m=4}$或$\boldsymbol{6}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数平移；二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式的方法、二次函数平移的规律，解决区间最值问题时要结合开口方向、对称轴与区间的位置关系判断最值的取值点，注意平移有左右两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
