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9 新考向 新定义题 如果一个分式的分子或分母可以分解因式，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为美好分式. 下列属于美好分式的为（
A.$\dfrac{x^2 - y^2}{(x + y)^2}$
B.$\dfrac{x + y}{x^2 - y^2}$
C.$\dfrac{x - 2y}{x^2 - y^2}$
D.$\dfrac{x - 2}{x^2 + 2}$
C
）A.$\dfrac{x^2 - y^2}{(x + y)^2}$
B.$\dfrac{x + y}{x^2 - y^2}$
C.$\dfrac{x - 2y}{x^2 - y^2}$
D.$\dfrac{x - 2}{x^2 + 2}$
答案
9. C
解析
【分析】
要判断哪个是美好分式，首先需明确“美好分式”的两个判定条件：①分子或分母至少有一个可以分解因式；②分式不可约分（即分子、分母没有公因式，是最简分式）。解题时可先对每个选项的分子、分母进行因式分解，再判断是否存在公因式，逐一排查即可得到正确答案。
【解析】
根据美好分式的定义，逐项分析：
A. 分子$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分母是$(x+y)^2$，分子分母有公因式$x+y$，可以约分，不符合“不可约分”的要求，不是美好分式；
B. 分母$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分子是$x+y$，分子分母有公因式$x+y$，可以约分，不符合“不可约分”的要求，不是美好分式；
C. 分母$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，满足“分母可以分解因式”的要求，分子$x-2y$与分母的因式$x+y$、$x-y$均没有公因式，分式不可约分，两个条件都满足，是美好分式；
D. 分子$x-2$不能分解因式，分母$x^2+2$在整式范围内也不能分解因式，不满足“分子或分母可以分解因式”的要求，不是美好分式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解；分式约分；新定义理解
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确抓住新定义的两个判定条件，结合因式分解、分式约分的基础知识对选项逐一验证即可，注重对新概念的应用能力和基础运算能力的考察。
【难度系数】
0.7
要判断哪个是美好分式，首先需明确“美好分式”的两个判定条件：①分子或分母至少有一个可以分解因式；②分式不可约分（即分子、分母没有公因式，是最简分式）。解题时可先对每个选项的分子、分母进行因式分解，再判断是否存在公因式，逐一排查即可得到正确答案。
【解析】
根据美好分式的定义，逐项分析：
A. 分子$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分母是$(x+y)^2$，分子分母有公因式$x+y$，可以约分，不符合“不可约分”的要求，不是美好分式；
B. 分母$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分子是$x+y$，分子分母有公因式$x+y$，可以约分，不符合“不可约分”的要求，不是美好分式；
C. 分母$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，满足“分母可以分解因式”的要求，分子$x-2y$与分母的因式$x+y$、$x-y$均没有公因式，分式不可约分，两个条件都满足，是美好分式；
D. 分子$x-2$不能分解因式，分母$x^2+2$在整式范围内也不能分解因式，不满足“分子或分母可以分解因式”的要求，不是美好分式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解；分式约分；新定义理解
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确抓住新定义的两个判定条件，结合因式分解、分式约分的基础知识对选项逐一验证即可，注重对新概念的应用能力和基础运算能力的考察。
【难度系数】
0.7
10 当$x=-2$时，分式$\dfrac{3x^2 -27}{9+6x+x^2}$的值是（
A.$-15$
B.$-3$
C.$3$
D.$15$
A
）A.$-15$
B.$-3$
C.$3$
D.$15$
答案
10. A
解析
【分析】
本题是分式求值类题目，解题时优先选择先约分再代入求值的方法，可简化计算、降低出错率。首先需要对分子、分母分别进行因式分解：分子先提取公因式，再用平方差公式分解；分母用完全平方公式分解，约去分子分母的公因式后，再将x=-2代入化简后的式子计算即可。
【解析】
解：先对分式进行化简：
分子：$3x^2 -27 = 3(x^2 -9) = 3(x+3)(x-3)$
分母：$9+6x+x^2 = x^2 +6x +9 = (x+3)^2$
$\because x=-2≠ -3$，可约去公因式$(x+3)$，得：
$\dfrac{3x^2 -27}{9+6x+x^2} = \dfrac{3(x-3)}{x+3}$
将$x=-2$代入化简后的式子：
$\dfrac{3×(-2 -3)}{-2 +3} = \dfrac{3×(-5)}{1} = -15$
【答案】
A
【知识点】
分式约分、因式分解、分式求值
【点评】
本题考查分式化简求值的应用，先约分再代入的方法能有效减少计算量，解题的关键是熟练掌握平方差公式、完全平方公式等常用因式分解方法。
【难度系数】
0.8
本题是分式求值类题目，解题时优先选择先约分再代入求值的方法，可简化计算、降低出错率。首先需要对分子、分母分别进行因式分解：分子先提取公因式，再用平方差公式分解；分母用完全平方公式分解，约去分子分母的公因式后，再将x=-2代入化简后的式子计算即可。
【解析】
解：先对分式进行化简：
分子：$3x^2 -27 = 3(x^2 -9) = 3(x+3)(x-3)$
分母：$9+6x+x^2 = x^2 +6x +9 = (x+3)^2$
$\because x=-2≠ -3$，可约去公因式$(x+3)$，得：
$\dfrac{3x^2 -27}{9+6x+x^2} = \dfrac{3(x-3)}{x+3}$
将$x=-2$代入化简后的式子：
$\dfrac{3×(-2 -3)}{-2 +3} = \dfrac{3×(-5)}{1} = -15$
【答案】
A
【知识点】
分式约分、因式分解、分式求值
【点评】
本题考查分式化简求值的应用，先约分再代入的方法能有效减少计算量，解题的关键是熟练掌握平方差公式、完全平方公式等常用因式分解方法。
【难度系数】
0.8
11（1）已知$a^2 - 3a + 1 = 0$，则$a^2 + \frac{1}{a^2} -1$的值为________；
（2）已知$\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$，则$\frac{x^2 - xy + y^2}{y^2 - x^2}$的值为________。
（2）已知$\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$，则$\frac{x^2 - xy + y^2}{y^2 - x^2}$的值为________。
答案
11. (1) 6 (2) $\frac{13}{15}$
解析
【分析】
（1）解决第一问时，首先观察已知等式和所求代数式的特征：已知是关于a的二次方程，所求含$a^2$和$\frac{1}{a^2}$，首先确定$a≠0$（否则已知等式不成立），因此可以将已知等式两边同时除以a，得到$a+\frac{1}{a}$的值，再利用完全平方公式变形求出$a^2+\frac{1}{a^2}$的值，最后代入所求式子计算即可。
（2）解决第二问时，已知x与y的比例关系，可采用两种思路：一是设参数，将x、y用含同一个参数的式子表示，代入所求分式约分得到结果；二是利用分式的基本性质，将分子分母同时除以$y^2$，把式子转化为只含$\frac{x}{y}$的形式，代入已知值计算即可。
【解析】
（1）
∵$a^2 - 3a + 1 = 0$，易知$a ≠ 0$（若$a=0$，左边=1≠0，矛盾）
将等式两边同时除以$a$，得：$a - 3 + \frac{1}{a} = 0$，整理得$a + \frac{1}{a} = 3$
由完全平方公式可得：$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$
∴$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$
则$a^2 + \frac{1}{a^2} -1 = 7 - 1 = 6$
（2）方法1：设参数法
∵$\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$，
∴设$x = k$，$y = 4k$（$k ≠ 0$）
代入$\frac{x^2 - xy + y^2}{y^2 - x^2}$得：
分子：$k^2 - k · 4k + (4k)^2 = k^2 - 4k^2 + 16k^2 = 13k^2$
分母：$(4k)^2 - k^2 = 16k^2 - k^2 = 15k^2$
∴原式$= \frac{13k^2}{15k^2} = \frac{13}{15}$
方法2：整体代入法
∵$\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$，易知$y ≠ 0$，将所求分式的分子、分母同时除以$y^2$，得：
$\frac{(\frac{x}{y})^2 - \frac{x}{y} + 1}{1 - (\frac{x}{y})^2}$
将$\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$代入得：
$\frac{(\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} + 1}{1 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{16} - \frac{4}{16} + \frac{16}{16}}{\frac{16}{16} - \frac{1}{16}} = \frac{\frac{13}{16}}{\frac{15}{16}} = \frac{13}{15}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{\frac{13}{15}}$
【知识点】
完全平方公式，分式的基本性质，分式化简求值
【点评】
这两道是分式化简求值的典型基础题，第一题需要先挖掘隐含条件$a≠0$对已知等式变形，再用整体代入思想结合完全平方公式计算；第二题考查比例类求值的常用处理方法，计算时注意先约分再计算可减少运算量。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问时，首先观察已知等式和所求代数式的特征：已知是关于a的二次方程，所求含$a^2$和$\frac{1}{a^2}$，首先确定$a≠0$（否则已知等式不成立），因此可以将已知等式两边同时除以a，得到$a+\frac{1}{a}$的值，再利用完全平方公式变形求出$a^2+\frac{1}{a^2}$的值，最后代入所求式子计算即可。
（2）解决第二问时，已知x与y的比例关系，可采用两种思路：一是设参数，将x、y用含同一个参数的式子表示，代入所求分式约分得到结果；二是利用分式的基本性质，将分子分母同时除以$y^2$，把式子转化为只含$\frac{x}{y}$的形式，代入已知值计算即可。
【解析】
（1）
∵$a^2 - 3a + 1 = 0$，易知$a ≠ 0$（若$a=0$，左边=1≠0，矛盾）
将等式两边同时除以$a$，得：$a - 3 + \frac{1}{a} = 0$，整理得$a + \frac{1}{a} = 3$
由完全平方公式可得：$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$
∴$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$
则$a^2 + \frac{1}{a^2} -1 = 7 - 1 = 6$
（2）方法1：设参数法
∵$\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$，
∴设$x = k$，$y = 4k$（$k ≠ 0$）
代入$\frac{x^2 - xy + y^2}{y^2 - x^2}$得：
分子：$k^2 - k · 4k + (4k)^2 = k^2 - 4k^2 + 16k^2 = 13k^2$
分母：$(4k)^2 - k^2 = 16k^2 - k^2 = 15k^2$
∴原式$= \frac{13k^2}{15k^2} = \frac{13}{15}$
方法2：整体代入法
∵$\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$，易知$y ≠ 0$，将所求分式的分子、分母同时除以$y^2$，得：
$\frac{(\frac{x}{y})^2 - \frac{x}{y} + 1}{1 - (\frac{x}{y})^2}$
将$\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$代入得：
$\frac{(\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} + 1}{1 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{16} - \frac{4}{16} + \frac{16}{16}}{\frac{16}{16} - \frac{1}{16}} = \frac{\frac{13}{16}}{\frac{15}{16}} = \frac{13}{15}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{\frac{13}{15}}$
【知识点】
完全平方公式，分式的基本性质，分式化简求值
【点评】
这两道是分式化简求值的典型基础题，第一题需要先挖掘隐含条件$a≠0$对已知等式变形，再用整体代入思想结合完全平方公式计算；第二题考查比例类求值的常用处理方法，计算时注意先约分再计算可减少运算量。
【难度系数】
0.7
12 对于分式$\frac{x^2 -12x +36}{2x -12}$，有下列说法：① 它的值可以是正数；② 它的值可以是负数；③ 它的值可以是0。其中，正确的是
①②
（填序号）。答案
12. ①② 【解析】$\frac{x^2 -12x +36}{2x -12}=\frac{(x-6)^2}{2(x-6)}.\because 2(x-6)$在分母上,$\therefore x-6≠0. \therefore x≠6. \therefore \frac{x^2 -12x +36}{2x -12}=\frac{x-6}{2}≠0. \because x-6$可以是正数,也可以是负数,$\therefore$分式$\frac{x^2 -12x +36}{2x -12}$的值可以是正数,也可以是负数.$\therefore$正确的是①②.
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先对分式因式分解约分，再结合分式有意义的条件分析取值。第一步，用完全平方公式分解分子、提公因式分解分母；第二步，根据分母不为0确定x的取值限制，明确约分的前提是约去的公因式不为0；第三步，结合化简后的式子判断是否能取到正、负、0三类值，逐一验证三个说法的正误。
【解析】
先对分式化简变形：
$\frac{x^2 -12x +36}{2x -12}=\frac{(x-6)^2}{2(x-6)}$
∵分式的分母不能为0，
∴$2(x-6)≠0$，即$x≠6$，因此$x-6≠0$，可约去公因式$(x-6)$得：
$\frac{(x-6)^2}{2(x-6)}=\frac{x-6}{2}$，且$\frac{x-6}{2}≠0$，因此分式的值不可能为0，故③错误。
∵x只需满足$x≠6$即可，
∴$x-6$可以是正数，也可以是负数，那么$\frac{x-6}{2}$的值可以是正数，也可以是负数，故①②正确。
【答案】
①②
【知识点】
分式有意义的条件；因式分解；分式的约分
【点评】
本题易错点是忽略分母不为0的限制，误判分子为0时分式值为0。做题时要注意：分式的所有变形都要保证原式有意义，约分的前提是约去的公因式不等于0。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是先对分式因式分解约分，再结合分式有意义的条件分析取值。第一步，用完全平方公式分解分子、提公因式分解分母；第二步，根据分母不为0确定x的取值限制，明确约分的前提是约去的公因式不为0；第三步，结合化简后的式子判断是否能取到正、负、0三类值，逐一验证三个说法的正误。
【解析】
先对分式化简变形：
$\frac{x^2 -12x +36}{2x -12}=\frac{(x-6)^2}{2(x-6)}$
∵分式的分母不能为0，
∴$2(x-6)≠0$，即$x≠6$，因此$x-6≠0$，可约去公因式$(x-6)$得：
$\frac{(x-6)^2}{2(x-6)}=\frac{x-6}{2}$，且$\frac{x-6}{2}≠0$，因此分式的值不可能为0，故③错误。
∵x只需满足$x≠6$即可，
∴$x-6$可以是正数，也可以是负数，那么$\frac{x-6}{2}$的值可以是正数，也可以是负数，故①②正确。
【答案】
①②
【知识点】
分式有意义的条件；因式分解；分式的约分
【点评】
本题易错点是忽略分母不为0的限制，误判分子为0时分式值为0。做题时要注意：分式的所有变形都要保证原式有意义，约分的前提是约去的公因式不等于0。
【难度系数】
0.7
13 先化简分式$\frac{3x - 3}{x^2 - 2x + 1}$，再求当$x$取何整数时，分式的值是正整数。
答案
13. 原式=$\frac{3(x-1)}{(x-1)^2}=\frac{3}{x-1}$.当$x-1=1$或$x-1=3$时,分式的值是正整数.$\therefore$当$x=2$或$x=4$时,分式的值是正整数
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先化简分式，先对分子提取公因式，分母利用完全平方公式因式分解，再约去分子分母的公因式，注意约分时要保证公因式不为0，也就是原分式要有意义；第二步要让分式的值为正整数，需使化简后分式的分母是分子的正约数，据此列出分母的可能取值，再求解对应的整数x，同时验证x是否满足原分式有意义的条件即可。
【解析】
1. 化简分式：
对分子、分母分别因式分解：
分子$3x-3=3(x-1)$，
分母$x^2-2x+1=(x-1)^2$，
根据分式有意义的条件，分母不为0，即$(x-1)^2≠0$，得$x≠1$，
约去分子分母的公因式$(x-1)$，可得原式$=\frac{3(x-1)}{(x-1)^2}=\frac{3}{x-1}$。
2. 求满足条件的整数x：
要使分式的值为正整数，则$\frac{3}{x-1}$是正整数，因此$x-1$是3的正约数，
3的正约数为1、3，因此：
当$x-1=1$时，解得$x=2$；
当$x-1=3$时，解得$x=4$。
两个解均满足$x≠1$，符合要求。
【答案】
化简结果为$\frac{3}{x-1}$；当$x=2$或$x=4$时，分式的值是正整数。
【知识点】
分式的约分；因式分解；分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式化简及分式值的相关计算，解题时需注意约分的前提是分式有意义，即分母不为0，避免出现增根；若要求分式的值为正整数，需保证分母是分子的正约数，熟练掌握因式分解的方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步先化简分式，先对分子提取公因式，分母利用完全平方公式因式分解，再约去分子分母的公因式，注意约分时要保证公因式不为0，也就是原分式要有意义；第二步要让分式的值为正整数，需使化简后分式的分母是分子的正约数，据此列出分母的可能取值，再求解对应的整数x，同时验证x是否满足原分式有意义的条件即可。
【解析】
1. 化简分式：
对分子、分母分别因式分解：
分子$3x-3=3(x-1)$，
分母$x^2-2x+1=(x-1)^2$，
根据分式有意义的条件，分母不为0，即$(x-1)^2≠0$，得$x≠1$，
约去分子分母的公因式$(x-1)$，可得原式$=\frac{3(x-1)}{(x-1)^2}=\frac{3}{x-1}$。
2. 求满足条件的整数x：
要使分式的值为正整数，则$\frac{3}{x-1}$是正整数，因此$x-1$是3的正约数，
3的正约数为1、3，因此：
当$x-1=1$时，解得$x=2$；
当$x-1=3$时，解得$x=4$。
两个解均满足$x≠1$，符合要求。
【答案】
化简结果为$\frac{3}{x-1}$；当$x=2$或$x=4$时，分式的值是正整数。
【知识点】
分式的约分；因式分解；分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式化简及分式值的相关计算，解题时需注意约分的前提是分式有意义，即分母不为0，避免出现增根；若要求分式的值为正整数，需保证分母是分子的正约数，熟练掌握因式分解的方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
14 已知$|a - 4| + b^2 + \frac{1}{4} = b$，求$\frac{a^3 - 4ab^2}{a^3 - 4a^2b + 4ab^2}$的值。
答案
14. $\because |a-4|+b^2+\frac{1}{4}=b, \therefore |a-4|+(b-\frac{1}{2})^2=0$.
$\because |a-4|≥0,(b-\frac{1}{2})^2≥0, \therefore a=4,b=\frac{1}{2}$.又$\because$原式=$\frac{a(a^2 -4b^2)}{a(a^2 -4ab +4b^2)}=\frac{a+2b}{a-2b}$,$\therefore$把$a=4,b=\frac{1}{2}$代入,得原式=$\frac{5}{3}$
$\because |a-4|≥0,(b-\frac{1}{2})^2≥0, \therefore a=4,b=\frac{1}{2}$.又$\because$原式=$\frac{a(a^2 -4b^2)}{a(a^2 -4ab +4b^2)}=\frac{a+2b}{a-2b}$,$\therefore$把$a=4,b=\frac{1}{2}$代入,得原式=$\frac{5}{3}$
解析
【分析】
解题时先处理已知等式：观察等式含有绝对值和平方项，均为非负数，先将等式右侧的b移到左侧，把含b的项凑成完全平方形式，利用“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质求出a、b的值；再对待求的分式进行化简，先对分子、分母分别因式分解，约去公因式得到最简分式，最后代入a、b的值计算即可，先化简再求值能有效减少计算量。
【解析】
第一步：求a、b的值
对已知等式变形：
$|a - 4| + b^2 - b + \frac{1}{4} = 0$，
将含b的项配方得：$|a - 4| + (b - \frac{1}{2})^2 = 0$。
∵ 绝对值和平方数均为非负数，即$|a-4|≥0$，$(b-\frac{1}{2})^2≥0$，
∴ 只有当两者同时为0时和才为0，即：
$a - 4 = 0$，$b - \frac{1}{2} = 0$，
解得：$a=4$，$b=\frac{1}{2}$。
第二步：化简待求分式
对分子分母分别因式分解：
分子：$a^3 - 4ab^2 = a(a^2 - 4b^2) = a(a - 2b)(a + 2b)$，
分母：$a^3 - 4a^2b + 4ab^2 = a(a^2 - 4ab + 4b^2) = a(a - 2b)^2$，
原式$=\frac{a(a - 2b)(a + 2b)}{a(a - 2b)^2}$，约去公因式$a(a - 2b)$（$a≠0$，$a-2b≠0$，符合取值要求），得：
原式$=\frac{a + 2b}{a - 2b}$。
第三步：代入求值
将$a=4$，$b=\frac{1}{2}$代入最简分式：
分子：$4 + 2×\frac{1}{2} = 5$，
分母：$4 - 2×\frac{1}{2} = 3$，
∴ 原式$=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
非负数的性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式化简求值与非负性应用的综合题，解题核心是先通过非负数的性质求出字母取值，再对分式因式分解约分后再代入计算，避免直接代入的复杂运算，同时要注意约分的前提是公因式不为0。
【难度系数】
0.7
解题时先处理已知等式：观察等式含有绝对值和平方项，均为非负数，先将等式右侧的b移到左侧，把含b的项凑成完全平方形式，利用“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质求出a、b的值；再对待求的分式进行化简，先对分子、分母分别因式分解，约去公因式得到最简分式，最后代入a、b的值计算即可，先化简再求值能有效减少计算量。
【解析】
第一步：求a、b的值
对已知等式变形：
$|a - 4| + b^2 - b + \frac{1}{4} = 0$，
将含b的项配方得：$|a - 4| + (b - \frac{1}{2})^2 = 0$。
∵ 绝对值和平方数均为非负数，即$|a-4|≥0$，$(b-\frac{1}{2})^2≥0$，
∴ 只有当两者同时为0时和才为0，即：
$a - 4 = 0$，$b - \frac{1}{2} = 0$，
解得：$a=4$，$b=\frac{1}{2}$。
第二步：化简待求分式
对分子分母分别因式分解：
分子：$a^3 - 4ab^2 = a(a^2 - 4b^2) = a(a - 2b)(a + 2b)$，
分母：$a^3 - 4a^2b + 4ab^2 = a(a^2 - 4ab + 4b^2) = a(a - 2b)^2$，
原式$=\frac{a(a - 2b)(a + 2b)}{a(a - 2b)^2}$，约去公因式$a(a - 2b)$（$a≠0$，$a-2b≠0$，符合取值要求），得：
原式$=\frac{a + 2b}{a - 2b}$。
第三步：代入求值
将$a=4$，$b=\frac{1}{2}$代入最简分式：
分子：$4 + 2×\frac{1}{2} = 5$，
分母：$4 - 2×\frac{1}{2} = 3$，
∴ 原式$=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
非负数的性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式化简求值与非负性应用的综合题，解题核心是先通过非负数的性质求出字母取值，再对分式因式分解约分后再代入计算，避免直接代入的复杂运算，同时要注意约分的前提是公因式不为0。
【难度系数】
0.7
15 某人种植了$x$公顷的棉花，总产量为$y$千克，小麦的种植面积比棉花的种植面积少$m$公顷，小麦的总产量比棉花总产量的3倍多$n$千克.写出表示棉花和小麦的单位面积产量(单位:千克/公顷)的式子，如果两式的分母不同，那么请将两式通分.
答案
15. 棉花:$\frac{y}{x}$千克/公顷,小麦:$\frac{3y+n}{x-m}$千克/公顷 $\frac{y}{x}=\frac{xy-my}{x^2 -mx}$,
$\frac{3y+n}{x-m}=\frac{3xy+nx}{x^2 -mx}$
$\frac{3y+n}{x-m}=\frac{3xy+nx}{x^2 -mx}$
解析
【分析】
解题时首先回忆单位面积产量的计算公式：单位面积产量=总产量÷种植面积，先分别找出棉花、小麦对应的总产量和种植面积，列出二者单位面积产量的分式；再判断两个分式的分母，确定最简公分母，最后根据分式的基本性质，给两个分式的分子、分母同乘对应的整式，完成通分即可。
【解析】
1. 计算棉花的单位面积产量：
已知棉花种植面积为$x$公顷，总产量为$y$千克，代入公式得棉花单位面积产量为$\frac{y}{x}$千克/公顷。
2. 计算小麦的单位面积产量：
小麦种植面积比棉花少$m$公顷，即种植面积为$(x-m)$公顷；小麦总产量比棉花总产量的3倍多$n$千克，即总产量为$(3y+n)$千克，代入公式得小麦单位面积产量为$\frac{3y+n}{x-m}$千克/公顷。
3. 对两个分式通分：
两个分式的分母分别为$x$和$x-m$，无公因式，因此最简公分母为$x(x-m)=x^2-mx$。
对$\frac{y}{x}$通分：分子分母同乘$(x-m)$，得$\frac{y}{x}=\frac{y(x-m)}{x(x-m)}=\frac{xy-my}{x^2-mx}$；
对$\frac{3y+n}{x-m}$通分：分子分母同乘$x$，得$\frac{3y+n}{x-m}=\frac{x(3y+n)}{x(x-m)}=\frac{3xy+nx}{x^2-mx}$。
【答案】
棉花单位面积产量：$\frac{y}{x}$千克/公顷，小麦单位面积产量：$\frac{3y+n}{x-m}$千克/公顷；通分结果：$\frac{y}{x}=\frac{xy-my}{x^2 -mx}$，$\frac{3y+n}{x-m}=\frac{3xy+nx}{x^2 -mx}$
【知识点】
列代数式、分式通分、分式的基本性质
【点评】
本题结合实际生产场景设题，既考查了根据数量关系列代数式的能力，也考查了分式通分的操作方法，解题时需注意通分过程中分子要和分母同乘相同的整式，避免出现分子漏乘的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆单位面积产量的计算公式：单位面积产量=总产量÷种植面积，先分别找出棉花、小麦对应的总产量和种植面积，列出二者单位面积产量的分式；再判断两个分式的分母，确定最简公分母，最后根据分式的基本性质，给两个分式的分子、分母同乘对应的整式，完成通分即可。
【解析】
1. 计算棉花的单位面积产量：
已知棉花种植面积为$x$公顷，总产量为$y$千克，代入公式得棉花单位面积产量为$\frac{y}{x}$千克/公顷。
2. 计算小麦的单位面积产量：
小麦种植面积比棉花少$m$公顷，即种植面积为$(x-m)$公顷；小麦总产量比棉花总产量的3倍多$n$千克，即总产量为$(3y+n)$千克，代入公式得小麦单位面积产量为$\frac{3y+n}{x-m}$千克/公顷。
3. 对两个分式通分：
两个分式的分母分别为$x$和$x-m$，无公因式，因此最简公分母为$x(x-m)=x^2-mx$。
对$\frac{y}{x}$通分：分子分母同乘$(x-m)$，得$\frac{y}{x}=\frac{y(x-m)}{x(x-m)}=\frac{xy-my}{x^2-mx}$；
对$\frac{3y+n}{x-m}$通分：分子分母同乘$x$，得$\frac{3y+n}{x-m}=\frac{x(3y+n)}{x(x-m)}=\frac{3xy+nx}{x^2-mx}$。
【答案】
棉花单位面积产量：$\frac{y}{x}$千克/公顷，小麦单位面积产量：$\frac{3y+n}{x-m}$千克/公顷；通分结果：$\frac{y}{x}=\frac{xy-my}{x^2 -mx}$，$\frac{3y+n}{x-m}=\frac{3xy+nx}{x^2 -mx}$
【知识点】
列代数式、分式通分、分式的基本性质
【点评】
本题结合实际生产场景设题，既考查了根据数量关系列代数式的能力，也考查了分式通分的操作方法，解题时需注意通分过程中分子要和分母同乘相同的整式，避免出现分子漏乘的错误。
【难度系数】
0.8
