9 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°,∠ CAB=36°$,以 $C$ 为原点,$AC$ 所在直线为 $y$ 轴,$BC$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系,在坐标轴上取一点 $M$,使 $△ MAB$ 为等腰三角形,符合条件的点 $M$ 有 ()

A.6个
B.7个
C.8个
D.9个

9. C

【分析】
要找出坐标轴上使△MAB为等腰三角形的点M，需按等腰三角形腰和底边的不同分三类讨论：①以A为顶点，AB为腰，此时MA=AB；②以B为顶点，AB为腰，此时MB=AB；③以M为顶点，AB为底边，此时MA=MB。分别统计每类下符合条件的交点数，排除三点共线不能构成三角形的情况，避免重复计数即可得到结果。
【解析】
我们分三类逐一统计符合条件的点M：
1. 当MA=AB时：以A为圆心，AB长为半径画圆，与y轴交于2个点（A上方、A下方各1个），与x轴交于1个点（x轴负半轴的点，点B会导致A、B、M共线，舍去），共3个点；
2. 当MB=AB时：以B为圆心，AB长为半径画圆，与x轴交于2个点（B左侧、B右侧各1个），与y轴交于1个点（y轴负半轴的点，点A会导致A、B、M共线，舍去），共3个点；
3. 当MA=MB时：作AB的垂直平分线，分别与x轴、y轴各交于1个点，这2个点与前两类的点均不重合，共2个点。
综上，符合条件的点M共有3+3+2=8个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型题型，解题关键是按照顶点的不同进行分类讨论，计数时需注意排除三点共线的情况，避免漏解或重复计数。
【难度系数】
0.6

10 教材P85习题T9变式 如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东$70°$方向的M处,它以40 n mile/h的速度向正北方向航行,2 h后到达位于灯塔P的北偏东$40°$方向的N处,则N处与灯塔P的距离为n mile.

10. 80 【解析】由题图,易知$∠ NPM=70°,∠ M=70°$,$\therefore ∠ NPM=∠ M. \therefore NP=MN=40 × 2=80(\mathrm{n mile})$,即 $N$ 处与灯塔 $P$ 的距离为 $80\ \mathrm{n mile}.$

【分析】
解题时首先根据“路程=速度×时间”的公式，计算出海轮从M到N航行的路程MN的长度；再结合方向角的定义，先求出△NPM中∠NPM的度数，再根据正北方向线互相平行的性质，推导得出∠M的度数，可发现∠NPM与∠M相等；最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，得到NP与MN相等，即可求出N处与灯塔P的距离。
【解析】
解：由题意可知，海轮航行的速度为40 n mile/h，航行时间为2 h，因此航行的路程：
$MN = 40 × 2 = 80\ (\mathrm{n\ mile})$
根据图中方向角的标注可得：
$∠ NPM = 180° - 40° - 70° = 70°$
∵MN沿正北方向航行，与过点P的南北方向虚线平行，
∴$∠ M = 70°$（两直线平行，内错角相等）
∴$∠ NPM = ∠ M$
根据等角对等边，可得$NP = MN = 80\ \mathrm{n\ mile}$
【答案】
80
【知识点】
等腰三角形判定，方向角识别，路程计算
【点评】
本题是几何知识在实际航行场景中的应用，解题关键是准确理解方向角的含义，找到三角形内相等的内角，利用等腰三角形的判定将未知线段转化为可直接计算的航行路程，考查学生结合图形分析实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

11 如图,在$△ ABC$中,$ED// BC$,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线分别交$ED$于点$G$,$F$.若$FG=4$,$ED=8$,则$EB+DC=$. (第11题)

11. 12 【解析】$\because ED// BC,\therefore ∠ EGB=∠ GBC,∠ DFC=∠ FCB. \because BG$ 平分$∠ ABC,CF$ 平分$∠ ACB,\therefore ∠ ABG=∠ CBG,∠ ACF=∠ FCB. \therefore ∠ EBG=∠ EGB,∠ DFC=∠ ACF. \therefore EB=EG,DF=DC. \therefore EB+DC=EG+DF=ED+FG=12.$

【分析】
解题时先梳理已知条件：存在平行线$ED// BC$，还有$∠ ABC$、$∠ ACB$的角平分线。首先利用平行线的内错角相等得到角的等量关系，再结合角平分线的定义，推导得到两个等腰三角形，通过“等角对等边”将$EB$转化为$EG$、$DC$转化为$DF$，最后分析$EG$与$DF$的和和已知线段$ED$、$FG$的和差关系，代入数值即可求出结果。
【解析】
解：$\because ED// BC$，
$\therefore ∠ EGB=∠ GBC$，$∠ DFC=∠ FCB$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BG$平分$∠ ABC$，$CF$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ EBG=∠ CBG$，$∠ DCF=∠ FCB$（角平分线的定义）。
$\therefore ∠ EBG=∠ EGB$，$∠ DFC=∠ DCF$（等量代换）。
$\therefore EB=EG$，$DF=DC$（等角对等边）。
$\therefore EB+DC=EG+DF$，
又$\because EG+DF=EF+FG+FG+GD=(EF+FG+GD)+FG=ED+FG$，
已知$FG=4$，$ED=8$，
$\therefore EB+DC=8+4=12$。
【答案】
$12$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何线段和求解的典型题型，核心是通过角的等量关系推导等腰三角形，实现未知线段向已知线段的转化，解题时要注意观察线段之间的和差关系，避免漏算重叠的$FG$部分。
【难度系数】
0.7

12 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D为CA延长线上一点,$DE ⊥ BC$于点E,交AB于点F,$AF=BF$.求证:
(1) $△ ADF$是等腰三角形;
(2) $DF=2EF$.

12. (1) $\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C. \because DE ⊥ BC,\therefore ∠ B+∠ BFE=∠ C+∠ D=90°. \therefore ∠ D=∠ BFE. \because ∠ BFE=∠ DFA,\therefore ∠ D=∠ DFA. \therefore AD=AF. \therefore △ ADF$ 是等腰三角形
(2) 过点 $A$ 作 $AH ⊥ DE$ 于点 $H. \because DE ⊥ BC,\therefore ∠ AHF=∠ BEF=90°.$ 由(1),知 $AD=AF,\therefore DH=FH.$ 在$△ AFH$ 和 $△ BFE$ 中,$\begin{cases} ∠ AHF=∠ BEF, \\ ∠ AFH=∠ BFE, \\ AF=BF, \end{cases}$$\therefore △ AFH ≌ △ BFE. \therefore FH=FE. \therefore DH=FH=EF. \therefore DF=DH+FH=2EF$

【分析】
(1) 要证△ADF是等腰三角形，核心是证明该三角形有两个内角相等或两条边相等。首先由AB=AC可得△ABC的底角∠B=∠C；再结合DE⊥BC的条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠D与∠BFE相等，再通过对顶角相等进行角的转化，即可得到∠D=∠DFA，进而得到AD=AF，完成证明。
(2) 要证DF=2EF，可先通过构造辅助线将DF拆分。结合(1)中△ADF是等腰三角形的结论，过A作AH⊥DE，利用等腰三角形三线合一的性质可得DH=FH，即DF=2FH，接下来只需证明FH=EF即可。结合已知AF=BF，以及AH⊥DE、DE⊥BC的直角条件，加上对顶角相等，可证△AFH与△BFE全等，得到FH=EF，最终推导出DF=2EF。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠B=∠C$。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠B+∠BFE=90°$，$∠C+∠D=90°$，
∴ $∠D=∠BFE$。
又
∵ $∠BFE=∠DFA$（对顶角相等），
∴ $∠D=∠DFA$，
∴ $AD=AF$，
∴ $△ ADF$是等腰三角形。
(2) 证明：
过点 $A$ 作 $AH ⊥ DE$ 于点 $H$。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠ AHF=∠ BEF=90°$。
由(1)可知$AD=AF$，且$AH⊥DF$，
∴ $DH=FH$（等腰三角形三线合一）。
在$△ AFH$ 和 $△ BFE$ 中,
$\begin{cases} ∠ AHF=∠ BEF, \\ ∠ AFH=∠ BFE, \\ AF=BF, \end{cases}$
∴ $△ AFH ≌ △ BFE$（AAS），
∴ $FH=FE$，
∴ $DH=FH=EF$，
∴ $DF=DH+FH=2EF$。
【答案】
(1) $△ ADF$是等腰三角形；
(2) $DF=2EF$。
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础综合题，第一问通过角的等量转化即可完成证明，难度较低；第二问需要结合等腰三角形的性质合理构造辅助线，再通过全等三角形证明线段相等，能很好地考查学生的逻辑推理能力和辅助线构造意识。
【难度系数】
0.7

13 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=36°$,BD是$∠ ABC$的平分线,交AC于点D,E是AB的中点,连接ED并延长,交BC的延长线于点F,连接AF.求证:
(1) $EF ⊥ AB$;
(2) $△ ACF$为等腰三角形.

13. (1) $\because AB=AC,∠ BAC=36°,\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=72°. \because BD$ 是$∠ ABC$ 的平分线,$\therefore ∠ ABD=∠ FBD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°. \therefore ∠ BAD=∠ ABD. \therefore AD=BD.$ 又$\because E$ 是$AB$ 的中点,$\therefore DE ⊥ AB$,即$EF ⊥ AB$
(2) $\because EF ⊥ AB,E$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore EF$ 垂直平分 $AB. \therefore AF=BF. \therefore ∠ BAF=∠ ABF.$ 由(1),知$∠ ABD=∠ BAD=36°$,$\therefore$ 易得$∠ FAD=∠ FBD=36°.$ 又 $\because ∠ ACB=72°, \therefore ∠ AFC=∠ ACB-∠ CAF=36°. \therefore ∠ CAF=∠ AFC=36°. \therefore AC=CF$,即$△ ACF$ 为等腰三角形

【分析】
(1) 要证$EF⊥ AB$，先利用等腰$△ ABC$的顶角度数求出底角$∠ ABC$的度数，再结合BD是角平分线推出$∠ ABD=∠ BAC$，得到$△ ABD$为等腰三角形，已知E是AB中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可推出$DE⊥ AB$，也就是$EF⊥ AB$。
(2) 要证$△ ACF$为等腰三角形，先由(1)的结论可知EF垂直平分AB，根据垂直平分线的性质得到$AF=BF$，进而推出角相等，再通过角度计算得到$∠ CAF=∠ AFC$，根据“等角对等边”即可得到$AC=CF$，完成证明。
【解析】
(1) $\because AB=AC$，$∠ BAC=36°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=72°$。
$\because BD$是$∠ ABC$的平分线，
$\therefore ∠ ABD=∠ FBD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ ABD$，$\therefore AD=BD$。
又$\because E$是$AB$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore DE⊥ AB$，即$EF⊥ AB$。
(2) $\because EF⊥ AB$，$E$是$AB$的中点，
$\therefore EF$垂直平分$AB$，$\therefore AF=BF$，
$\therefore ∠ BAF=∠ ABF$。
由(1)知$∠ ABD=∠ BAD=36°$，
$\therefore ∠ FAD=∠ BAF-∠ BAD$，$∠ FBD=∠ ABF-∠ ABD$，可得$∠ FAD=∠ FBD=36°$。
又$\because ∠ ACB=72°$，$∠ ACB$是$△ ACF$的外角，
$\therefore ∠ AFC=∠ ACB-∠ CAF=72°-36°=36°$，
$\therefore ∠ CAF=∠ AFC=36°$，$\therefore AC=CF$，即$△ ACF$为等腰三角形。
【答案】
(1) $EF⊥ AB$成立；
(2) $△ ACF$为等腰三角形成立。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形相关知识的典型综合题，解题时需要结合已知条件逐步推导角、边的等量关系，熟练掌握相关性质和判定定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

14 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线，且$AD=AB$，过点$C$作$AB$的平行线，交$AD$的延长线于点$E$，$CF ⊥ AE$于点$F$.
（1）若$∠ B = 75°$，$∠ BAC = 60°$，求$∠ E$，$∠ DCF$的度数；
（2）用等式表示线段$AF$，$AB$，$AC$之间的数量关系，并证明.

14. (1) $\because AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线,$∠ BAC=60°,\therefore ∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°. \because CE// AB,∠ B=75°,\therefore ∠ E=∠ BAD=30°,∠ DCE=∠ B=75°. \because CF ⊥ AE,\therefore ∠ ECF=90°-∠ E=60°. \therefore ∠ DCF=∠ DCE-∠ ECF=75°-60°=15°$
(2) $AB+AC=2AF$ 由(1),知$∠ BAD=∠ CAD,∠ E=∠ BAD,∠ DCE=∠ B,\therefore ∠ CAD=∠ E. \therefore AC=EC. \because CF ⊥ AE,\therefore AF=EF$,即 $AE=2AF. \because AD=AB,\therefore ∠ B=∠ ADB.$ 又 $\because ∠ DCE=∠ B,∠ CDE=∠ ADB,\therefore ∠ DCE=∠ CDE. \therefore EC=ED. \therefore ED=AC. \therefore AE=AD+ED=AB+AC. \therefore AB+AC=2AF$

【分析】
（1）先利用角平分线的定义求出∠BAD、∠CAD的度数，再根据平行线的性质得到∠E和∠DCE的度数，结合直角三角形两锐角互余求出∠ECF的度数，最后通过角的和差计算∠DCF即可。
（2）要推导AF、AB、AC的数量关系，首先由角平分线和平行线的性质证明AC=EC，再结合等腰三角形三线合一得到AE=2AF，然后证明ED=EC即ED=AC，结合AD=AB，将AE拆分为AD+ED，通过等量代换即可得到三者的关系。
【解析】
（1）
∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC=60°，
∴$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
∵CE//AB，∠B=75°，
∴$∠ E=∠ BAD=30°$，$∠ DCE=∠ B=75°$，
∵CF⊥AE，
∴$∠ CFE=90°$，
∴$∠ ECF=90°-∠ E=90°-30°=60°$，
∴$∠ DCF=∠ DCE-∠ ECF=75°-60°=15°$。
（2）数量关系为$AB+AC=2AF$，证明如下：
由（1）可知$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ E=∠ BAD$，
∴$∠ CAD=∠ E$，
∴$AC=EC$，
∵CF⊥AE，
∴F是AE的中点，即$AE=2AF$，
∵AD=AB，
∴$∠ B=∠ ADB$，
又
∵$∠ DCE=∠ B$，$∠ CDE=∠ ADB$，
∴$∠ DCE=∠ CDE$，
∴$EC=ED$，
∴$ED=AC$，
∵$AE=AD+ED$，$AD=AB$，
∴$AE=AB+AC$，
结合$AE=2AF$，可得$AB+AC=2AF$。
【答案】
（1）$∠ E=30°$，$∠ DCF=15°$；
（2）$AB+AC=2AF$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于三角形综合题，既考查了角度计算，又考查了线段数量关系的推导，解题的核心是熟练进行角的等量转化，结合等腰三角形的性质搭建线段之间的联系，能较好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65