登录
1 如图，AD是$△ ABC$的中线，E是AD的中点，连接BE，CE。若$△ ABC$的面积是8，则涂色部分的面积为（
A.4
B.2
C.6
D.8
A
）A.4
B.2
C.6
D.8
答案
1. A
解析
【分析】
解题可围绕三角形中线的面积性质展开：首先明确三角形的中线可将三角形分成两个面积相等的部分（二者等底同高）。第一步先利用AD是△ABC的中线，求出△ABD和△ACD的面积；第二步再利用E是AD中点的条件，分别求出两个涂色小三角形的面积，相加即可得到涂色部分的总面积。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD与△ACD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8=4$。
又
∵E是AD的中点，即AE=DE，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×4=2$，
$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×4=2$，
∴涂色部分的面积为$S_{△ ABE}+S_{△ CDE}=2+2=4$。
【答案】
A
【知识点】
1.三角形中线的性质
2.等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形中线面积性质的典型应用考题，核心是掌握“三角形中线将三角形分为面积相等的两部分”这一规律，通过拆分涂色图形，将不规则图形面积转化为规则小三角形面积之和即可求解，解题思路清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题可围绕三角形中线的面积性质展开：首先明确三角形的中线可将三角形分成两个面积相等的部分（二者等底同高）。第一步先利用AD是△ABC的中线，求出△ABD和△ACD的面积；第二步再利用E是AD中点的条件，分别求出两个涂色小三角形的面积，相加即可得到涂色部分的总面积。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD与△ACD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8=4$。
又
∵E是AD的中点，即AE=DE，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×4=2$，
$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×4=2$，
∴涂色部分的面积为$S_{△ ABE}+S_{△ CDE}=2+2=4$。
【答案】
A
【知识点】
1.三角形中线的性质
2.等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形中线面积性质的典型应用考题，核心是掌握“三角形中线将三角形分为面积相等的两部分”这一规律，通过拆分涂色图形，将不规则图形面积转化为规则小三角形面积之和即可求解，解题思路清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
2 如图，$△ ABC$的三条中线$AD$，$BE$，$CF$相交于点$O$.若$△ ABC$的面积为26，则涂色部分的面积为
13
.答案
2. 13
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的相关性质：三角形的中线可将三角形分成两个等底同高、面积相等的三角形；三角形三条中线的交点为重心，重心与顶点的连线可将原三角形分为3个面积相等的三角形，进一步可推导出三条中线将原三角形分割为6个面积相等的小三角形。观察图形可知涂色部分共包含3个小三角形，因此涂色部分面积为原三角形面积的一半，代入总面积计算即可。
【解析】
解：
∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，
∴D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，根据等底同高的三角形面积相等可得：
$S_{△ AOF}=S_{△ BOF}$，$S_{△ AOE}=S_{△ COE}$，$S_{△ BOD}=S_{△ COD}$，
结合重心的性质可推出，三条中线分出的6个小三角形面积均相等，每个小三角形面积为$\frac{1}{6}S_{△ ABC}$。
涂色部分共含3个小三角形，因此涂色面积为：
$3×\frac{1}{6}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×26=13$
【答案】
13
【知识点】
三角形中线性质，三角形重心性质，三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查三角形中线、重心相关性质的应用，解题核心是利用等底同高的三角形面积相等的规律，推导出6个小三角形面积相等的结论，也可通过等量代换直接得出涂色面积等于总面积的一半，简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形中线的相关性质：三角形的中线可将三角形分成两个等底同高、面积相等的三角形；三角形三条中线的交点为重心，重心与顶点的连线可将原三角形分为3个面积相等的三角形，进一步可推导出三条中线将原三角形分割为6个面积相等的小三角形。观察图形可知涂色部分共包含3个小三角形，因此涂色部分面积为原三角形面积的一半，代入总面积计算即可。
【解析】
解：
∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，
∴D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，根据等底同高的三角形面积相等可得：
$S_{△ AOF}=S_{△ BOF}$，$S_{△ AOE}=S_{△ COE}$，$S_{△ BOD}=S_{△ COD}$，
结合重心的性质可推出，三条中线分出的6个小三角形面积均相等，每个小三角形面积为$\frac{1}{6}S_{△ ABC}$。
涂色部分共含3个小三角形，因此涂色面积为：
$3×\frac{1}{6}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×26=13$
【答案】
13
【知识点】
三角形中线性质，三角形重心性质，三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查三角形中线、重心相关性质的应用，解题核心是利用等底同高的三角形面积相等的规律，推导出6个小三角形面积相等的结论，也可通过等量代换直接得出涂色面积等于总面积的一半，简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
3 如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF 的面积为 $ S_1 $，△CEF 的面积为 $ S_2 $.若△ABC 的面积为 24，求 $ S_1 - S_2 $ 的值.
（第 3 题）
（第 3 题）
答案
3. $\because BE=CE,\therefore BE=\frac{1}{2}BC.\because S_{△ ABC}=24,\therefore S_{△ ABE}=$$\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×24=12.\because AD=2BD,\therefore BD=\frac{1}{3}AB.$$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=8.\because S_{△ ABE}-S_{△ BCD}=(S_{△ ADF}+$$S_{四边形BEFD})-(S_{△ CEF}+S_{四边形BEFD})=S_{△ ADF}-S_{△ CEF},即S_{△ ADF}-$$S_{△ CEF}=S_{△ ABE}-S_{△ BCD}=12-8=4.\therefore S_1-S_2=4$
解析
【分析】
要求$S_1-S_2$的值，直接计算$S_1$和$S_2$的具体值缺少对应高的条件，因此考虑用转化法：观察图形可知，$△ ABE$的面积等于$S_1$加四边形$BEFD$的面积，$△ BCD$的面积等于$S_2$加四边形$BEFD$的面积，因此$S_1-S_2$就等于$S_{△ ABE}-S_{△ BCD}$。接下来我们可以根据“同高的两个三角形面积比等于底的比”，结合已知的线段比例和$△ ABC$的面积，分别求出$S_{△ ABE}$和$S_{△ BCD}$的值即可。
【解析】
$\because BE=CE$，即$BE=\frac{1}{2}BC$，$△ ABE$和$△ ABC$同高，
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×24=12$。
$\because AD=2BD$，即$BD=\frac{1}{3}AB$，$△ BCD$和$△ ABC$同高，
$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×24=8$。
又$\because S_{△ ABE}=S_1+S_{四边形BEFD}$，$S_{△ BCD}=S_2+S_{四边形BEFD}$，
两式相减可得：$S_{△ ABE}-S_{△ BCD}=S_1-S_2$，
$\therefore S_1-S_2=12-8=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
同高三角形面积比、三角形中线性质、面积转化
【点评】
本题没有直接求解两个小三角形的面积，而是通过公共部分抵消的方法将所求面积差转化为两个可求的大三角形面积之差，解题的关键是灵活运用同高三角形面积与底的正比关系，巧妙转化简化运算。
【难度系数】
0.6
要求$S_1-S_2$的值，直接计算$S_1$和$S_2$的具体值缺少对应高的条件，因此考虑用转化法：观察图形可知，$△ ABE$的面积等于$S_1$加四边形$BEFD$的面积，$△ BCD$的面积等于$S_2$加四边形$BEFD$的面积，因此$S_1-S_2$就等于$S_{△ ABE}-S_{△ BCD}$。接下来我们可以根据“同高的两个三角形面积比等于底的比”，结合已知的线段比例和$△ ABC$的面积，分别求出$S_{△ ABE}$和$S_{△ BCD}$的值即可。
【解析】
$\because BE=CE$，即$BE=\frac{1}{2}BC$，$△ ABE$和$△ ABC$同高，
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×24=12$。
$\because AD=2BD$，即$BD=\frac{1}{3}AB$，$△ BCD$和$△ ABC$同高，
$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×24=8$。
又$\because S_{△ ABE}=S_1+S_{四边形BEFD}$，$S_{△ BCD}=S_2+S_{四边形BEFD}$，
两式相减可得：$S_{△ ABE}-S_{△ BCD}=S_1-S_2$，
$\therefore S_1-S_2=12-8=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
同高三角形面积比、三角形中线性质、面积转化
【点评】
本题没有直接求解两个小三角形的面积，而是通过公共部分抵消的方法将所求面积差转化为两个可求的大三角形面积之差，解题的关键是灵活运用同高三角形面积与底的正比关系，巧妙转化简化运算。
【难度系数】
0.6
4 在锐角三角形ABC中，AB=12，AC=10，BE，CD分别是△ABC的边AC，AB上的高，且BE=6，则CD的长是
5
。答案
4. 5
解析
【分析】
本题可利用三角形面积的不变性求解。同一个三角形的面积是固定的，选择不同的底和对应的高计算面积，结果始终相等。已知AC边上的高BE的长度，以及AB、AC的边长，我们可以先以AC为底、BE为高算出△ABC的面积，再以AB为底、CD为高，结合面积相等建立等式，即可求出CD的长度。
【解析】
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×对应高$，可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×AC×BE$
将$AC=10$，$BE=6$代入，得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×10×6 = 30$
又因为CD是AB边上的高，所以：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×AB×CD$
将$S_{△ ABC}=30$，$AB=12$代入，得：
$30 = \frac{1}{2}×12×CD$
化简计算：
$6CD = 30$
解得$CD = 5$
【答案】
5
【知识点】
1. 三角形面积公式 2. 等积法求线段长
【点评】
本题是三角形高相关的基础应用题，解题关键是抓住同一三角形面积不变的特点，找准底和对应高的关系，熟练运用面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题可利用三角形面积的不变性求解。同一个三角形的面积是固定的，选择不同的底和对应的高计算面积，结果始终相等。已知AC边上的高BE的长度，以及AB、AC的边长，我们可以先以AC为底、BE为高算出△ABC的面积，再以AB为底、CD为高，结合面积相等建立等式，即可求出CD的长度。
【解析】
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×对应高$，可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×AC×BE$
将$AC=10$，$BE=6$代入，得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×10×6 = 30$
又因为CD是AB边上的高，所以：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×AB×CD$
将$S_{△ ABC}=30$，$AB=12$代入，得：
$30 = \frac{1}{2}×12×CD$
化简计算：
$6CD = 30$
解得$CD = 5$
【答案】
5
【知识点】
1. 三角形面积公式 2. 等积法求线段长
【点评】
本题是三角形高相关的基础应用题，解题关键是抓住同一三角形面积不变的特点，找准底和对应高的关系，熟练运用面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5 已知AD是$△ ABC$的高，$∠ BAD=70°$，$∠ CAD=20°$，求$∠ BAC$的度数。
答案
5. ① 如图①,当高AD在$△ ABC$的内部时,$∠ BAC=∠ BAD+$$∠ CAD=70°+20°=90°$;② 如图②,当高AD在$△ ABC$的外部时,$∠ BAC=∠ BAD-∠ CAD=70°-20°=50°$. 综上所述,$∠ BAC$的度数为$90°$或$50°$
解析
【分析】
题目仅说明AD是△ABC的高，未明确高AD的位置，而三角形的高可能在三角形内部，也可能在钝角三角形的外部，因此需分两种情况讨论求解：当高在三角形内部时，∠BAC是∠BAD与∠CAD的和；当高在三角形外部时，∠BAC是∠BAD与∠CAD的差，分别计算两种情况即可得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 如图①，当高AD在△ABC的内部时：
∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 70° + 20° = 90°；
② 如图②，当高AD在△ABC的外部时：
∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 70° - 20° = 50°。
综上所述，∠BAC的度数为90°或50°。
【答案】
∠BAC的度数为$90°$或$50°$
【知识点】
三角形高的性质，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略高在三角形外部的情况导致漏解，求解无明确图形的三角形高相关的角度问题时，要注意考虑高的不同位置，通过分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
题目仅说明AD是△ABC的高，未明确高AD的位置，而三角形的高可能在三角形内部，也可能在钝角三角形的外部，因此需分两种情况讨论求解：当高在三角形内部时，∠BAC是∠BAD与∠CAD的和；当高在三角形外部时，∠BAC是∠BAD与∠CAD的差，分别计算两种情况即可得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 如图①，当高AD在△ABC的内部时：
∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 70° + 20° = 90°；
② 如图②，当高AD在△ABC的外部时：
∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 70° - 20° = 50°。
综上所述，∠BAC的度数为90°或50°。
【答案】
∠BAC的度数为$90°$或$50°$
【知识点】
三角形高的性质，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略高在三角形外部的情况导致漏解，求解无明确图形的三角形高相关的角度问题时，要注意考虑高的不同位置，通过分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
6 如图，在$△ ABC$中，$AB＝AC$，$D$为$BC$边上一点，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，$BG⊥AC$，垂足分别为$E$，$F$，$G$.若$DE＋DF＝8$，求$BG$的长.
答案
6. 如图,连接AD.设$AB=AC=a.\because DE+DF=8,\therefore S_{△ ABC}=$$S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF=\frac{1}{2}a· DE+$$\frac{1}{2}a· DF=\frac{1}{2}a(DE+DF)=\frac{1}{2}a×8=4a.\because S_{△ ABC}=$$\frac{1}{2}AC· BG=\frac{1}{2}a· BG,\therefore \frac{1}{2}a· BG=4a.\therefore BG=8$
解析
【分析】
观察题目可知，题中给出多条垂线段，已知DE+DF的长度，要求BG的长度，可考虑采用等面积法求解：先将△ABC分割为△ABD和△ACD两个小三角形，两个小三角形的面积和等于△ABC的总面积，再结合AB=AC的等腰三角形性质，即可建立DE+DF与BG的等量关系，进而求出BG的长度。
【解析】
解：连接AD，设$AB=AC=a$。
∵$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，
因此$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF$。
将$AB=AC=a$、$DE+DF=8$代入上式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}a·DE+\frac{1}{2}a·DF=\frac{1}{2}a(DE+DF)=\frac{1}{2}a×8=4a$。
又
∵$BG⊥AC$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BG=\frac{1}{2}a·BG$，
联立得等式$\frac{1}{2}a·BG=4a$，
∵$a≠0$，两边同时约去$\frac{1}{2}a$，解得$BG=8$。
【答案】
6. 如图,连接AD.设$AB=AC=a.\because DE+DF=8,\therefore S_{△ ABC}=$$S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF=\frac{1}{2}a· DE+$$\frac{1}{2}a· DF=\frac{1}{2}a(DE+DF)=\frac{1}{2}a×8=4a.\because S_{△ ABC}=$$\frac{1}{2}AC· BG=\frac{1}{2}a· BG,\therefore \frac{1}{2}a· BG=4a.\therefore BG=8$
【知识点】
三角形面积计算，等面积法，等腰三角形性质
【点评】
本题是垂线段和类的典型题目，通过面积分割将线段和的关系转化为三角形面积的等量关系，结合等腰三角形两腰相等的特点消去参数即可求解，是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
观察题目可知，题中给出多条垂线段，已知DE+DF的长度，要求BG的长度，可考虑采用等面积法求解：先将△ABC分割为△ABD和△ACD两个小三角形，两个小三角形的面积和等于△ABC的总面积，再结合AB=AC的等腰三角形性质，即可建立DE+DF与BG的等量关系，进而求出BG的长度。
【解析】
解：连接AD，设$AB=AC=a$。
∵$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，
因此$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF$。
将$AB=AC=a$、$DE+DF=8$代入上式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}a·DE+\frac{1}{2}a·DF=\frac{1}{2}a(DE+DF)=\frac{1}{2}a×8=4a$。
又
∵$BG⊥AC$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BG=\frac{1}{2}a·BG$，
联立得等式$\frac{1}{2}a·BG=4a$，
∵$a≠0$，两边同时约去$\frac{1}{2}a$，解得$BG=8$。
【答案】
6. 如图,连接AD.设$AB=AC=a.\because DE+DF=8,\therefore S_{△ ABC}=$$S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF=\frac{1}{2}a· DE+$$\frac{1}{2}a· DF=\frac{1}{2}a(DE+DF)=\frac{1}{2}a×8=4a.\because S_{△ ABC}=$$\frac{1}{2}AC· BG=\frac{1}{2}a· BG,\therefore \frac{1}{2}a· BG=4a.\therefore BG=8$
【知识点】
三角形面积计算，等面积法，等腰三角形性质
【点评】
本题是垂线段和类的典型题目，通过面积分割将线段和的关系转化为三角形面积的等量关系，结合等腰三角形两腰相等的特点消去参数即可求解，是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
