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1 一个三角形的两个内角分别是$50°$和$60°$，则第三个内角的度数是（
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
C
）A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
1. C
解析
【分析】
解答这道题的核心是运用三角形内角和定理，首先明确三角形三个内角的和为180°，已知其中两个内角的度数，求第三个内角时，只需用内角和180°依次减去已知的两个内角的度数，计算出结果后匹配选项即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角度数之和为180°。
已知该三角形的两个内角分别为50°和60°，则第三个内角的度数为：
$180° - 50° - 60° = 70°$
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，是对三角形内角和定理的直接应用，只要牢记定理内容，准确完成简单减法运算就能正确解答，得分率较高。
【难度系数】
0.9
解答这道题的核心是运用三角形内角和定理，首先明确三角形三个内角的和为180°，已知其中两个内角的度数，求第三个内角时，只需用内角和180°依次减去已知的两个内角的度数，计算出结果后匹配选项即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角度数之和为180°。
已知该三角形的两个内角分别为50°和60°，则第三个内角的度数为：
$180° - 50° - 60° = 70°$
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，是对三角形内角和定理的直接应用，只要牢记定理内容，准确完成简单减法运算就能正确解答，得分率较高。
【难度系数】
0.9
2 教材P11探究变式 在探究证明“三角形的内角和是$180°$”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中，不能证明“三角形的内角和是$180°$”的是（
A
）答案
2. A
解析
【分析】
要判断哪种辅助线不能证明三角形内角和为180°，首先明确证明的核心思路：通过平行线的性质，将三角形的三个内角转化为一个平角，或转化为两平行线间的同旁内角，利用平角为180°或两直线平行同旁内角互补的结论，推导三个内角的和为180°，同时要避免循环论证（即不能使用由三角形内角和推导出来的结论来证明本身）。接下来逐一分析每个选项的辅助线是否能实现上述转化。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：作CD⊥AB于点D，仅能得到∠ADC=∠BDC=90°，若要推导内角和，需要用到“直角三角形两锐角互余”的结论，而该结论本身就是由三角形内角和为180°推导而来的，属于循环论证，无法独立证明三角形内角和为180°。
选项B：过点C作EF//AB，由平行线内错角相等可得∠A=∠ACE，∠B=∠BCF，结合∠ACE+∠ACB+∠BCF=180°（平角的定义），可推出∠A+∠B+∠ACB=180°，能证明。
选项C：延长AC到点F，过点C作CE//AB，由平行线同位角相等得∠A=∠ECF，内错角相等得∠B=∠BCE，结合∠ACB+∠BCE+∠ECF=180°（平角的定义），可推出∠A+∠B+∠ACB=180°，能证明。
选项D：过AB上一点D作DE//BC，DF//AC，由平行线性质可得∠ADE=∠B，∠FDB=∠A，且四边形DECF为平行四边形，故∠EDF=∠C，结合∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°（平角的定义），可推出∠A+∠B+∠ACB=180°，能证明。
综上，只有选项A的辅助线不能证明三角形内角和为180°。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和证明；平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题围绕三角形内角和定理的证明展开，需要掌握证明的核心逻辑，熟悉常见的辅助线作法，同时要注意避免循环论证的逻辑错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪种辅助线不能证明三角形内角和为180°，首先明确证明的核心思路：通过平行线的性质，将三角形的三个内角转化为一个平角，或转化为两平行线间的同旁内角，利用平角为180°或两直线平行同旁内角互补的结论，推导三个内角的和为180°，同时要避免循环论证（即不能使用由三角形内角和推导出来的结论来证明本身）。接下来逐一分析每个选项的辅助线是否能实现上述转化。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：作CD⊥AB于点D，仅能得到∠ADC=∠BDC=90°，若要推导内角和，需要用到“直角三角形两锐角互余”的结论，而该结论本身就是由三角形内角和为180°推导而来的，属于循环论证，无法独立证明三角形内角和为180°。
选项B：过点C作EF//AB，由平行线内错角相等可得∠A=∠ACE，∠B=∠BCF，结合∠ACE+∠ACB+∠BCF=180°（平角的定义），可推出∠A+∠B+∠ACB=180°，能证明。
选项C：延长AC到点F，过点C作CE//AB，由平行线同位角相等得∠A=∠ECF，内错角相等得∠B=∠BCE，结合∠ACB+∠BCE+∠ECF=180°（平角的定义），可推出∠A+∠B+∠ACB=180°，能证明。
选项D：过AB上一点D作DE//BC，DF//AC，由平行线性质可得∠ADE=∠B，∠FDB=∠A，且四边形DECF为平行四边形，故∠EDF=∠C，结合∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°（平角的定义），可推出∠A+∠B+∠ACB=180°，能证明。
综上，只有选项A的辅助线不能证明三角形内角和为180°。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和证明；平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题围绕三角形内角和定理的证明展开，需要掌握证明的核心逻辑，熟悉常见的辅助线作法，同时要注意避免循环论证的逻辑错误。
【难度系数】
0.7
3 如果一个三角形的三个内角的度数比是1：2：4，那么它是
钝角
三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）。答案
3. 钝角
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°，已知三个内角度数比，我们可以通过按比例分配的方法先求出最大内角的度数，因为三角形按角分类由最大的内角决定：最大角小于90°是锐角三角形，等于90°是直角三角形，大于90°是钝角三角形，因此只需要计算最大角的度数即可判断三角形类型。
【解析】
解：已知三角形三个内角的度数比为1:2:4，三角形内角和为180°。
1. 计算内角总份数：$1+2+4=7$（份）
2. 计算占比最大的内角的度数：$180°×\frac{4}{7}\approx102.9°$
3. 判断三角形类型：因为$102.9°＞90°$，属于钝角，因此该三角形为钝角三角形。
【答案】
钝角
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用三角形内角和求出最大内角的度数进而判断三角形类别，解题时也可通过最大角占比是否超过总份数的一半快速判断，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内角和为180°，已知三个内角度数比，我们可以通过按比例分配的方法先求出最大内角的度数，因为三角形按角分类由最大的内角决定：最大角小于90°是锐角三角形，等于90°是直角三角形，大于90°是钝角三角形，因此只需要计算最大角的度数即可判断三角形类型。
【解析】
解：已知三角形三个内角的度数比为1:2:4，三角形内角和为180°。
1. 计算内角总份数：$1+2+4=7$（份）
2. 计算占比最大的内角的度数：$180°×\frac{4}{7}\approx102.9°$
3. 判断三角形类型：因为$102.9°＞90°$，属于钝角，因此该三角形为钝角三角形。
【答案】
钝角
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用三角形内角和求出最大内角的度数进而判断三角形类别，解题时也可通过最大角占比是否超过总份数的一半快速判断，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
4 教材P16习题T1变式
（1）如图①，x的值为
（2）如图②，x的值为
（1）如图①，x的值为
32
；（2）如图②，x的值为
63
。答案
4. (1) 32 (2) 63
解析
【分析】
本题利用三角形内角和定理（三角形三个内角的和等于180°）求解未知量x。对于图①，将三个内角的度数相加等于180°，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值；对于图②，同理把三个内角的度数相加等于180°，列方程求解即可。
【解析】
（1）根据三角形内角和为180°，可得：
$\begin{aligned}x + 2x + 84 &= 180\\3x &= 180 - 84\\3x &= 96\\x &= 32\end{aligned}$
（2）根据三角形内角和为180°，可得：
$\begin{aligned}108 + (x - 36) + (x - 18) &= 180\\2x + 108 - 36 - 18 &= 180\\2x + 54 &= 180\\2x &= 180 - 54\\2x &= 126\\x &= 63\end{aligned}$
【答案】
（1）32；（2）63
【知识点】
三角形内角和定理；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，通过建立方程求解未知角度，是三角形角度计算类问题的常规考法，熟练掌握内角和定理即可轻松解决。
【难度系数】
0.85
本题利用三角形内角和定理（三角形三个内角的和等于180°）求解未知量x。对于图①，将三个内角的度数相加等于180°，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值；对于图②，同理把三个内角的度数相加等于180°，列方程求解即可。
【解析】
（1）根据三角形内角和为180°，可得：
$\begin{aligned}x + 2x + 84 &= 180\\3x &= 180 - 84\\3x &= 96\\x &= 32\end{aligned}$
（2）根据三角形内角和为180°，可得：
$\begin{aligned}108 + (x - 36) + (x - 18) &= 180\\2x + 108 - 36 - 18 &= 180\\2x + 54 &= 180\\2x &= 180 - 54\\2x &= 126\\x &= 63\end{aligned}$
【答案】
（1）32；（2）63
【知识点】
三角形内角和定理；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，通过建立方程求解未知角度，是三角形角度计算类问题的常规考法，熟练掌握内角和定理即可轻松解决。
【难度系数】
0.85
5 已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角。
(1)若∠A = 20°，∠B = 4∠C，则∠C =
(2)若∠B - ∠A = ∠C - ∠B，则∠B =
(3)若∠A = 45°，∠B = ∠C，则∠C =
(1)若∠A = 20°，∠B = 4∠C，则∠C =
32°
；(2)若∠B - ∠A = ∠C - ∠B，则∠B =
60°
；(3)若∠A = 45°，∠B = ∠C，则∠C =
67.5°
。答案
5. (1) 32° (2) 60° (3) 67.5°
解析
【分析】
本题三道小题均围绕三角形内角和定理展开，解题核心是利用“三角形三个内角的和为180°”，结合题目给出的角之间的数量关系，通过等量代换或列方程求解未知角的度数：
(1) 已知∠A的度数和∠B与∠C的倍数关系，将∠B用含∠C的式子替换后，代入内角和公式即可列方程求∠C；
(2) 先对给出的角的差的等式变形，得到∠A+∠C与∠B的关系，再代入内角和公式即可求出∠B；
(3) 已知∠A的度数和∠B=∠C，将∠B替换为∠C后代入内角和公式计算即可。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°，即$∠ A+∠ B+∠ C=180°$。
(1) 把$∠ A=20°$，$∠ B=4∠ C$代入内角和公式，得：
$20° + 4∠ C + ∠ C = 180°$
合并同类项得：$5∠ C = 160°$
解得：$∠ C = 32°$
(2) 对$∠ B - ∠ A = ∠ C - ∠ B$移项整理，得：
$2∠ B = ∠ A + ∠ C$
将上式代入$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，得：
$2∠ B + ∠ B = 180°$
即$3∠ B = 180°$
解得：$∠ B = 60°$
(3) 把$∠ A=45°$，$∠ B=∠ C$代入内角和公式，得：
$45° + ∠ C + ∠ C = 180°$
合并同类项得：$2∠ C = 135°$
解得：$∠ C = 67.5°$
【答案】
(1) $32°$；(2) $60°$；(3) $67.5°$
【知识点】
三角形内角和定理，角度等量代换，列方程求角
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题关键是熟练掌握内角和定理，结合已知的角的数量关系进行代换或列方程计算，是巩固三角形内角和基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
本题三道小题均围绕三角形内角和定理展开，解题核心是利用“三角形三个内角的和为180°”，结合题目给出的角之间的数量关系，通过等量代换或列方程求解未知角的度数：
(1) 已知∠A的度数和∠B与∠C的倍数关系，将∠B用含∠C的式子替换后，代入内角和公式即可列方程求∠C；
(2) 先对给出的角的差的等式变形，得到∠A+∠C与∠B的关系，再代入内角和公式即可求出∠B；
(3) 已知∠A的度数和∠B=∠C，将∠B替换为∠C后代入内角和公式计算即可。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°，即$∠ A+∠ B+∠ C=180°$。
(1) 把$∠ A=20°$，$∠ B=4∠ C$代入内角和公式，得：
$20° + 4∠ C + ∠ C = 180°$
合并同类项得：$5∠ C = 160°$
解得：$∠ C = 32°$
(2) 对$∠ B - ∠ A = ∠ C - ∠ B$移项整理，得：
$2∠ B = ∠ A + ∠ C$
将上式代入$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，得：
$2∠ B + ∠ B = 180°$
即$3∠ B = 180°$
解得：$∠ B = 60°$
(3) 把$∠ A=45°$，$∠ B=∠ C$代入内角和公式，得：
$45° + ∠ C + ∠ C = 180°$
合并同类项得：$2∠ C = 135°$
解得：$∠ C = 67.5°$
【答案】
(1) $32°$；(2) $60°$；(3) $67.5°$
【知识点】
三角形内角和定理，角度等量代换，列方程求角
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题关键是熟练掌握内角和定理，结合已知的角的数量关系进行代换或列方程计算，是巩固三角形内角和基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
6 教材P12例1变式 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=70°$,$CD$平分$∠ ACB$,交$AB$于点$D$,$∠ BCD=30°$,求:
(1)$∠ B$的度数;
(2)$∠ ADC$的度数.
(1)$∠ B$的度数;
(2)$∠ ADC$的度数.
答案
6. (1) $\because CD$平分$∠ ACB$，$∠ BCD = 30°$，$\therefore ∠ ACB = 2∠ BCD = 60°$. 又$\because ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，$∠ A = 70°$，$\therefore ∠ B = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 70° - 60° = 50°$
(2) $\because ∠ B = 50°$，$∠ BCD = 30°$，$\therefore ∠ BDC = 180° - ∠ B - ∠ BCD = 100°$. $\therefore ∠ ADC = 180° - ∠ BDC = 180° - 100° = 80°$
(2) $\because ∠ B = 50°$，$∠ BCD = 30°$，$\therefore ∠ BDC = 180° - ∠ B - ∠ BCD = 100°$. $\therefore ∠ ADC = 180° - ∠ BDC = 180° - 100° = 80°$
解析
【分析】
(1)要求$∠ B$的度数，已知$△ ABC$中$∠ A=70°$，根据三角形内角和为$180°$，只需先求出$∠ ACB$的度数即可。已知$CD$平分$∠ ACB$，且$∠ BCD=30°$，根据角平分线的定义，$∠ ACB$是$∠ BCD$的2倍，算出$∠ ACB$后代入内角和公式就能求出$∠ B$。
(2)要求$∠ ADC$的度数，可先在$△ BCD$中利用三角形内角和定理求出$∠ BDC$的度数，再根据$∠ ADC$与$∠ BDC$互为邻补角，和为$180°$，即可求出$∠ ADC$；也可直接在$△ ADC$中，结合已知的$∠ A$和$∠ ACD$的度数，用内角和定理直接计算。
【解析】
(1) $\because CD$平分$∠ ACB$，$∠ BCD = 30°$，
$\therefore ∠ ACB = 2∠ BCD = 60°$。
又$\because ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，$∠ A = 70°$，
$\therefore ∠ B = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 70° - 60° = 50°$。
(2) $\because ∠ B = 50°$，$∠ BCD = 30°$，
$\therefore ∠ BDC = 180° - ∠ B - ∠ BCD = 100°$。
$\therefore ∠ ADC = 180° - ∠ BDC = 180° - 100° = 80°$。
【答案】
(1) $\boxed{50°}$；(2) $\boxed{80°}$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 三角形内角和定理
3. 邻补角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题，结合角平分线性质和三角形内角和定理考察基础知识点的应用，解题的核心是先通过角平分线得到已知角和未知角的数量关系，再结合三角形内角和、邻补角的性质逐步推导所求角度。
【难度系数】
0.8
(1)要求$∠ B$的度数，已知$△ ABC$中$∠ A=70°$，根据三角形内角和为$180°$，只需先求出$∠ ACB$的度数即可。已知$CD$平分$∠ ACB$，且$∠ BCD=30°$，根据角平分线的定义，$∠ ACB$是$∠ BCD$的2倍，算出$∠ ACB$后代入内角和公式就能求出$∠ B$。
(2)要求$∠ ADC$的度数，可先在$△ BCD$中利用三角形内角和定理求出$∠ BDC$的度数，再根据$∠ ADC$与$∠ BDC$互为邻补角，和为$180°$，即可求出$∠ ADC$；也可直接在$△ ADC$中，结合已知的$∠ A$和$∠ ACD$的度数，用内角和定理直接计算。
【解析】
(1) $\because CD$平分$∠ ACB$，$∠ BCD = 30°$，
$\therefore ∠ ACB = 2∠ BCD = 60°$。
又$\because ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，$∠ A = 70°$，
$\therefore ∠ B = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 70° - 60° = 50°$。
(2) $\because ∠ B = 50°$，$∠ BCD = 30°$，
$\therefore ∠ BDC = 180° - ∠ B - ∠ BCD = 100°$。
$\therefore ∠ ADC = 180° - ∠ BDC = 180° - 100° = 80°$。
【答案】
(1) $\boxed{50°}$；(2) $\boxed{80°}$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 三角形内角和定理
3. 邻补角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题，结合角平分线性质和三角形内角和定理考察基础知识点的应用，解题的核心是先通过角平分线得到已知角和未知角的数量关系，再结合三角形内角和、邻补角的性质逐步推导所求角度。
【难度系数】
0.8
7 如图是一个建筑工地的三角形支撑架ABC，它的上部∠ACB被一个长方形钢架遮挡，测量得∠A=60°，∠B=80°，则被遮挡的∠ACB的度数为（
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
B
）A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
答案
7. B
解析
【分析】
要求被遮挡的∠ACB的度数，首先回忆三角形内角和的相关性质：任意三角形的三个内角之和为180°。本题已经给出△ABC中∠A和∠B的度数，直接利用三角形内角和定理，用180°减去两个已知角的度数，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$
已知$∠ A=60°$，$∠ B=80°$，代入公式计算：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 80° = 40°$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类习题，直接考查三角形内角和定理的简单应用，无需复杂推导，只要牢记定理内容代入计算即可得分，是巩固三角形内角相关基础知识的典型题目。
【难度系数】
0.9
要求被遮挡的∠ACB的度数，首先回忆三角形内角和的相关性质：任意三角形的三个内角之和为180°。本题已经给出△ABC中∠A和∠B的度数，直接利用三角形内角和定理，用180°减去两个已知角的度数，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$
已知$∠ A=60°$，$∠ B=80°$，代入公式计算：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 80° = 40°$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类习题，直接考查三角形内角和定理的简单应用，无需复杂推导，只要牢记定理内容代入计算即可得分，是巩固三角形内角相关基础知识的典型题目。
【难度系数】
0.9
8 新情境 生活实际 如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”字形通道。如果$∠ DBA=130°$，$∠ ECA=135°$，那么$∠ A$的度数是
85°
。答案
8. $85°$
解析
【分析】
解题时首先观察图形可知D、B、C、E在同一条直线上，我们可以先利用平角的定义，分别求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数，再结合三角形内角和为180°的定理，就能计算出∠A的度数。
【解析】
∵ 点D、B、C、E在同一直线上，
∴ ∠DBA + ∠ABC = 180°，∠ECA + ∠ACB = 180°（平角的定义），
已知∠DBA=130°，∠ECA=135°，
∴ ∠ABC = 180° - 130° = 50°，
∠ACB = 180° - 135° = 45°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°，
∴ ∠A = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 50° - 45° = 85°。
【答案】
$85°$
【知识点】
平角的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题结合考古挖掘的生活情境考查基础几何计算，解题的关键是从图形中提取出三角形和共线点的特征，熟练运用平角和三角形内角和的相关性质即可求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形可知D、B、C、E在同一条直线上，我们可以先利用平角的定义，分别求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数，再结合三角形内角和为180°的定理，就能计算出∠A的度数。
【解析】
∵ 点D、B、C、E在同一直线上，
∴ ∠DBA + ∠ABC = 180°，∠ECA + ∠ACB = 180°（平角的定义），
已知∠DBA=130°，∠ECA=135°，
∴ ∠ABC = 180° - 130° = 50°，
∠ACB = 180° - 135° = 45°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°，
∴ ∠A = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 50° - 45° = 85°。
【答案】
$85°$
【知识点】
平角的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题结合考古挖掘的生活情境考查基础几何计算，解题的关键是从图形中提取出三角形和共线点的特征，熟练运用平角和三角形内角和的相关性质即可求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
