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9 [2025 九江期末]如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，过AC上一点D作直线DE，交$△ ABC$的直角边于点E，使所得的三角形与原三角形相似，则这样的直线可以作 （
A.1条
B.2条
C.3条
D.无数条
C
）A.1条
B.2条
C.3条
D.无数条
答案
9.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合相似三角形的判定定理（两角对应相等的两个三角形相似）分析：已知△ABC是直角三角形，∠B=90°，因此截得的新三角形也必须有一个直角，且与原三角形有公共的锐角才能相似。接下来我们分类讨论过D的直线与直角边AB、BC相交的所有可能情况，逐一判断是否符合相似要求即可。
【解析】
我们分3种情况构造符合要求的直线：
1. 过点D作DE⊥AB，交AB于点E：此时∠AED=∠ABC=90°，且∠A是△AED和△ABC的公共角，根据两角对应相等两三角形相似，可得△AED∽△ABC，符合要求；
2. 过点D作DE⊥BC，交BC于点E：此时∠DEC=∠ABC=90°，且∠C是△CED和△CBA的公共角，可得△CED∽△CBA，符合要求；
3. 过点D作DE⊥AC，交其中一条直角边于点E：此时∠EDC（或∠EDA）=∠ABC=90°，且∠C（或∠A）为公共角，可得△CDE∽△CBA（或△ADE∽△ABC），符合要求。
综上，符合条件的直线共有3条。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定的灵活应用，解题时要注意分类讨论所有可能的作图情况，避免遗漏过D作AC垂线的情况导致错选。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们需要结合相似三角形的判定定理（两角对应相等的两个三角形相似）分析：已知△ABC是直角三角形，∠B=90°，因此截得的新三角形也必须有一个直角，且与原三角形有公共的锐角才能相似。接下来我们分类讨论过D的直线与直角边AB、BC相交的所有可能情况，逐一判断是否符合相似要求即可。
【解析】
我们分3种情况构造符合要求的直线：
1. 过点D作DE⊥AB，交AB于点E：此时∠AED=∠ABC=90°，且∠A是△AED和△ABC的公共角，根据两角对应相等两三角形相似，可得△AED∽△ABC，符合要求；
2. 过点D作DE⊥BC，交BC于点E：此时∠DEC=∠ABC=90°，且∠C是△CED和△CBA的公共角，可得△CED∽△CBA，符合要求；
3. 过点D作DE⊥AC，交其中一条直角边于点E：此时∠EDC（或∠EDA）=∠ABC=90°，且∠C（或∠A）为公共角，可得△CDE∽△CBA（或△ADE∽△ABC），符合要求。
综上，符合条件的直线共有3条。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定的灵活应用，解题时要注意分类讨论所有可能的作图情况，避免遗漏过D作AC垂线的情况导致错选。
【难度系数】
0.6
10 [2025 河北]如图,在五边形ABCDE中,AE//BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是 (
A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
D
)A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
答案
10. D 【解析】
∵ AE//BC,
∴ ∠AEM=∠CND,∠MAE=∠B. 当添加∠B+∠4=180°时，
∵ ∠DCN + ∠4 = 180°,
∴ ∠DCN=∠B.
∴ ∠DCN=∠MAE.
∴ △MAE∽△DCN.
∴ A 选项不符合题意. 当添加 CD//AB 时,∠DCN = ∠B.
∴ ∠DCN=∠MAE.
∴ △MAE∽△DCN.
∴ B 选项不符合题意. 当添加∠1=∠4 时,
∵ ∠MAE + ∠1 = 180°,∠DCN + ∠4=180°,
∴ ∠DCN=∠MAE.
∴ △MAE∽△DCN.
∴ C选项不符合题意. 当添加∠2=∠3 时,
∵ ∠AEM + ∠2 = 180°,∠CDN+∠3=180°,
∴ ∠AEM=∠CDN=∠CND,此时无法判定△MAE∽△DCN.
∴ D选项符合题意.
∵ AE//BC,
∴ ∠AEM=∠CND,∠MAE=∠B. 当添加∠B+∠4=180°时，
∵ ∠DCN + ∠4 = 180°,
∴ ∠DCN=∠B.
∴ ∠DCN=∠MAE.
∴ △MAE∽△DCN.
∴ A 选项不符合题意. 当添加 CD//AB 时,∠DCN = ∠B.
∴ ∠DCN=∠MAE.
∴ △MAE∽△DCN.
∴ B 选项不符合题意. 当添加∠1=∠4 时,
∵ ∠MAE + ∠1 = 180°,∠DCN + ∠4=180°,
∴ ∠DCN=∠MAE.
∴ △MAE∽△DCN.
∴ C选项不符合题意. 当添加∠2=∠3 时,
∵ ∠AEM + ∠2 = 180°,∠CDN+∠3=180°,
∴ ∠AEM=∠CDN=∠CND,此时无法判定△MAE∽△DCN.
∴ D选项符合题意.
解析
【分析】
要判定△MAE∽△DCN，首先利用已知的AE//BC可推出一组对应角相等：∠AEM=∠CND，根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，只需再找到另一组对应角相等即可判定两个三角形相似。接下来逐一分析每个选项添加后能否推出第二组对应角相等，无法推出的即为符合题意的选项。
【解析】
∵ AE//BC，
∴ ∠AEM=∠CND，∠MAE=∠B。
若添加∠B+∠4=180°：
∵ ∠DCN + ∠4 = 180°（邻补角互补），
∴ ∠DCN=∠B，
∴ ∠DCN=∠MAE，结合∠AEM=∠CND，可判定△MAE∽△DCN，A不符合题意。
若添加CD//AB：
∴ ∠DCN = ∠B（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠DCN=∠MAE，结合∠AEM=∠CND，可判定△MAE∽△DCN，B不符合题意。
若添加∠1=∠4：
∵ ∠MAE + ∠1 = 180°，∠DCN + ∠4=180°（邻补角互补），
∴ ∠DCN=∠MAE，结合∠AEM=∠CND，可判定△MAE∽△DCN，C不符合题意。
若添加∠2=∠3：
∵ ∠AEM + ∠2 = 180°，∠CDN+∠3=180°（邻补角互补），
∴ ∠AEM=∠CDN，结合已知∠AEM=∠CND，仅能得到∠CDN=∠CND，判定△CDN为等腰三角形，无法得到△MAE和△DCN的另一组对应角相等，无法判定两三角形相似，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定，邻补角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的常规应用题目，解题核心是先从已知平行条件入手得到一组相等的对应角，再结合添加的条件推导是否能得到第二组相等的对应角，解题时要注意挖掘邻补角互补的隐含关系。
【难度系数】
0.7
要判定△MAE∽△DCN，首先利用已知的AE//BC可推出一组对应角相等：∠AEM=∠CND，根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，只需再找到另一组对应角相等即可判定两个三角形相似。接下来逐一分析每个选项添加后能否推出第二组对应角相等，无法推出的即为符合题意的选项。
【解析】
∵ AE//BC，
∴ ∠AEM=∠CND，∠MAE=∠B。
若添加∠B+∠4=180°：
∵ ∠DCN + ∠4 = 180°（邻补角互补），
∴ ∠DCN=∠B，
∴ ∠DCN=∠MAE，结合∠AEM=∠CND，可判定△MAE∽△DCN，A不符合题意。
若添加CD//AB：
∴ ∠DCN = ∠B（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠DCN=∠MAE，结合∠AEM=∠CND，可判定△MAE∽△DCN，B不符合题意。
若添加∠1=∠4：
∵ ∠MAE + ∠1 = 180°，∠DCN + ∠4=180°（邻补角互补），
∴ ∠DCN=∠MAE，结合∠AEM=∠CND，可判定△MAE∽△DCN，C不符合题意。
若添加∠2=∠3：
∵ ∠AEM + ∠2 = 180°，∠CDN+∠3=180°（邻补角互补），
∴ ∠AEM=∠CDN，结合已知∠AEM=∠CND，仅能得到∠CDN=∠CND，判定△CDN为等腰三角形，无法得到△MAE和△DCN的另一组对应角相等，无法判定两三角形相似，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定，邻补角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的常规应用题目，解题核心是先从已知平行条件入手得到一组相等的对应角，再结合添加的条件推导是否能得到第二组相等的对应角，解题时要注意挖掘邻补角互补的隐含关系。
【难度系数】
0.7
11 如图，$△ ABC$为等边三角形，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AB$上，$∠ ADE=60°$.若$BD=4DC$，$DE=2.4$，则$AD$的长为
3
.答案
11.3
解析
【分析】
首先根据等边三角形的性质可得各内角为60°、三边相等，再结合三角形外角性质推导角的相等关系，判定两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的线段比例关系求解AD的长度。
【解析】
解：
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ B=∠ C=60°$，$AC=BC$。
∵$∠ ADB$是$△ ADC$的外角，
∴$∠ ADB=∠ C+∠ DAC=60°+∠ DAC$，
又
∵$∠ ADB=∠ ADE+∠ EDB$，且$∠ ADE=60°$，
∴$∠ ADB=60°+∠ EDB$，
∴$∠ EDB=∠ DAC$。
在$△ BDE$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C=60° \\∠ EDB=∠ DAC\end{cases}$
∴$△ BDE ∽ △ CAD$（两角对应相等，两三角形相似）。
设$DC=x$，
∵$BD=4DC$，
∴$BD=4x$，$AC=BC=BD+DC=5x$。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{DE}{AD}=\frac{BD}{AC}$，
代入$DE=2.4$，$BD=4x$，$AC=5x$得：
$\frac{2.4}{AD}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$，
解得$AD=2.4×\frac{5}{4}=3$。
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是通过等边三角形的角度特征和外角定理推导相等的角，证明三角形相似，再结合比例线段求解未知边长，难度适中。
【难度系数】
0.7
首先根据等边三角形的性质可得各内角为60°、三边相等，再结合三角形外角性质推导角的相等关系，判定两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的线段比例关系求解AD的长度。
【解析】
解：
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ B=∠ C=60°$，$AC=BC$。
∵$∠ ADB$是$△ ADC$的外角，
∴$∠ ADB=∠ C+∠ DAC=60°+∠ DAC$，
又
∵$∠ ADB=∠ ADE+∠ EDB$，且$∠ ADE=60°$，
∴$∠ ADB=60°+∠ EDB$，
∴$∠ EDB=∠ DAC$。
在$△ BDE$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C=60° \\∠ EDB=∠ DAC\end{cases}$
∴$△ BDE ∽ △ CAD$（两角对应相等，两三角形相似）。
设$DC=x$，
∵$BD=4DC$，
∴$BD=4x$，$AC=BC=BD+DC=5x$。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{DE}{AD}=\frac{BD}{AC}$，
代入$DE=2.4$，$BD=4x$，$AC=5x$得：
$\frac{2.4}{AD}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$，
解得$AD=2.4×\frac{5}{4}=3$。
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是通过等边三角形的角度特征和外角定理推导相等的角，证明三角形相似，再结合比例线段求解未知边长，难度适中。
【难度系数】
0.7
12 新情境 数学文化 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，O在同一水平线上，$∠ ABC$和$∠ AOP$均为直角，AP与BC相交于点D，测得$AB=40\ \mathrm{cm}$，$BD=20\ \mathrm{cm}$，$AO=16\ \mathrm{m}$，则树高$PO=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$.
答案
12.8
13 如图,在$□ ABCD$中,E是线段AB上一点,连接AC,DE交于点F.
若$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$,则$\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AEF}}=$
若$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$,则$\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AEF}}=$
$\frac{5}{2}$
.答案
13.$\frac{5}{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知的$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$，推出AE与CD的比值；2. 由$AB// CD$可证$△ AEF$和$△ CDF$相似，利用相似三角形对应边成比例得到EF与FD的比值；3. 观察$△ ADF$和$△ AEF$共顶点A，底边都在DE上，属于同高三角形，面积比等于对应底的比值，代入即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
∵$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$，即$\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ FAE=∠ FCD$，$∠ FEA=∠ FDC$，
∴$△ AEF∽△ CDF$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{EF}{FD}=\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$，即$\frac{FD}{EF}=\frac{5}{2}$。
过点A作$AH⊥ DE$于点H，
则$S_{△ ADF}=\frac{1}{2}· DF· AH$，$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}· EF· AH$，
∴$\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AEF}}=\frac{DF}{EF}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；同高三角形面积规律
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题，解题的关键是通过平行四边形的性质得到相似三角形，进而得到线段比例关系，再结合同高三角形面积与底的正比关系求解，掌握基础性质和对应模型就能顺利解答。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知的$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$，推出AE与CD的比值；2. 由$AB// CD$可证$△ AEF$和$△ CDF$相似，利用相似三角形对应边成比例得到EF与FD的比值；3. 观察$△ ADF$和$△ AEF$共顶点A，底边都在DE上，属于同高三角形，面积比等于对应底的比值，代入即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
∵$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$，即$\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ FAE=∠ FCD$，$∠ FEA=∠ FDC$，
∴$△ AEF∽△ CDF$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{EF}{FD}=\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$，即$\frac{FD}{EF}=\frac{5}{2}$。
过点A作$AH⊥ DE$于点H，
则$S_{△ ADF}=\frac{1}{2}· DF· AH$，$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}· EF· AH$，
∴$\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AEF}}=\frac{DF}{EF}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；同高三角形面积规律
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题，解题的关键是通过平行四边形的性质得到相似三角形，进而得到线段比例关系，再结合同高三角形面积与底的正比关系求解，掌握基础性质和对应模型就能顺利解答。
【难度系数】
0.6
14 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为边AB的中点.
（1）求证：$AC^2=AB· AD$；
（2）连接CE,DE,且DE与AC交于点F,若CE//AD,AD=4,AB=6,求$\frac{AC}{AF}$的值.
（1）求证：$AC^2=AB· AD$；
（2）连接CE,DE,且DE与AC交于点F,若CE//AD,AD=4,AB=6,求$\frac{AC}{AF}$的值.
答案
(1)
∵ AC 平分∠DAB,
∴ ∠DAC=∠CAB.
∵ ∠ADC=∠ACB=90°,
∴ △ADC∽△ACB.
∴ AD : AC = AC : AB.
∴ AC²=AB · AD
(2)
∵ ∠ACB=90°,E 为边 AB 的中点，AB=6,
∴ CE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3.
∵ CE//AD,
∴ ∠ADF=∠CEF,∠DAF=∠ECF.
∴ △ADF∽△CEF.
∴ $\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$.
∵ AD=4,
∴ $\frac{AF}{CF}=\frac{4}{3}$.
∴ 易得$\frac{AC}{AF}=\frac{7}{4}$
∵ AC 平分∠DAB,
∴ ∠DAC=∠CAB.
∵ ∠ADC=∠ACB=90°,
∴ △ADC∽△ACB.
∴ AD : AC = AC : AB.
∴ AC²=AB · AD
(2)
∵ ∠ACB=90°,E 为边 AB 的中点，AB=6,
∴ CE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3.
∵ CE//AD,
∴ ∠ADF=∠CEF,∠DAF=∠ECF.
∴ △ADF∽△CEF.
∴ $\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$.
∵ AD=4,
∴ $\frac{AF}{CF}=\frac{4}{3}$.
∴ 易得$\frac{AC}{AF}=\frac{7}{4}$
解析
【分析】
（1）要证明等积式$AC^2=AB·AD$，可先将其转化为比例式$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，只需证明$△ ADC$与$△ ACB$相似即可。已知AC平分$∠ DAB$可得一组对应角相等，结合已知的两个直角相等，满足两角对应相等的三角形相似判定条件，证得相似后即可推导出等积式。
（2）首先根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出CE的长度；再由$CE// AD$可得$△ ADF$与$△ CEF$相似，利用相似三角形对应边成比例得到AF与CF的比值，最后结合$AC=AF+CF$，即可求出$\frac{AC}{AF}$的值。
【解析】
（1）证明：
∵ AC平分$∠ DAB$，
∴ $∠ DAC=∠ CAB$。
∵ $∠ ADC=∠ ACB=90°$，
∴ $△ ADC ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
交叉相乘得$AC^2=AB·AD$。
（2）解：
∵ $∠ ACB=90°$，E为AB的中点，AB=6，
∴ $CE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵ $CE// AD$，
∴ $∠ ADF=∠ CEF$，$∠ DAF=∠ ECF$（两直线平行，内错角相等），
∴ $△ ADF ∽ △ CEF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$。
∵ AD=4，CE=3，
∴ $\frac{AF}{CF}=\frac{4}{3}$，即$CF=\frac{3}{4}AF$。
又
∵ $AC=AF+CF=AF+\frac{3}{4}AF=\frac{7}{4}AF$，
∴ $\frac{AC}{AF}=\frac{7}{4}$。
【答案】
（1）$AC^2=AB·AD$得证；
（2）$\frac{7}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，将相似三角形的判定、性质与直角三角形的特殊性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，能将等积式与比例式灵活转化，同时合理利用平行线、直角三角形斜边中线的性质找到边角关系，对逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
（1）要证明等积式$AC^2=AB·AD$，可先将其转化为比例式$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，只需证明$△ ADC$与$△ ACB$相似即可。已知AC平分$∠ DAB$可得一组对应角相等，结合已知的两个直角相等，满足两角对应相等的三角形相似判定条件，证得相似后即可推导出等积式。
（2）首先根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出CE的长度；再由$CE// AD$可得$△ ADF$与$△ CEF$相似，利用相似三角形对应边成比例得到AF与CF的比值，最后结合$AC=AF+CF$，即可求出$\frac{AC}{AF}$的值。
【解析】
（1）证明：
∵ AC平分$∠ DAB$，
∴ $∠ DAC=∠ CAB$。
∵ $∠ ADC=∠ ACB=90°$，
∴ $△ ADC ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
交叉相乘得$AC^2=AB·AD$。
（2）解：
∵ $∠ ACB=90°$，E为AB的中点，AB=6，
∴ $CE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵ $CE// AD$，
∴ $∠ ADF=∠ CEF$，$∠ DAF=∠ ECF$（两直线平行，内错角相等），
∴ $△ ADF ∽ △ CEF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$。
∵ AD=4，CE=3，
∴ $\frac{AF}{CF}=\frac{4}{3}$，即$CF=\frac{3}{4}AF$。
又
∵ $AC=AF+CF=AF+\frac{3}{4}AF=\frac{7}{4}AF$，
∴ $\frac{AC}{AF}=\frac{7}{4}$。
【答案】
（1）$AC^2=AB·AD$得证；
（2）$\frac{7}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，将相似三角形的判定、性质与直角三角形的特殊性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，能将等积式与比例式灵活转化，同时合理利用平行线、直角三角形斜边中线的性质找到边角关系，对逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
15 如图,在$□ ABCD$中,延长 AB 至点 E,使$BE=AB$,连接 DE,分别交 BC,AC 于点 F,G.
(1) 求证:$BF=CF$;
(2) 若$BC=6,DG=4$,求 FG 的长.
(1) 求证:$BF=CF$;
(2) 若$BC=6,DG=4$,求 FG 的长.
答案
(1)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,AD = BC.
∴ ∠EBF = ∠EAD. 又
∵ ∠E = ∠E,
∴ △EBF ∽△EAD.
∵ BE = AB,
∴ $\frac{BF}{AD}=\frac{BE}{AE}=\frac{1}{2}$.
∴ BF = $\frac{1}{2}$ AD =$\frac{1}{2}$ BC.
∴ BF = CF
(2)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD//CF.
∴ ∠GFC = ∠GDA. 又
∵ ∠FGC = ∠DGA,
∴ △FGC∽△DGA.
∴ $\frac{FG}{DG}=\frac{CF}{AD}$.
∵ BC=6,
∴ CF=3,AD=6.
∵ DG=4,
∴ FG=2
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,AD = BC.
∴ ∠EBF = ∠EAD. 又
∵ ∠E = ∠E,
∴ △EBF ∽△EAD.
∵ BE = AB,
∴ $\frac{BF}{AD}=\frac{BE}{AE}=\frac{1}{2}$.
∴ BF = $\frac{1}{2}$ AD =$\frac{1}{2}$ BC.
∴ BF = CF
(2)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD//CF.
∴ ∠GFC = ∠GDA. 又
∵ ∠FGC = ∠DGA,
∴ △FGC∽△DGA.
∴ $\frac{FG}{DG}=\frac{CF}{AD}$.
∵ BC=6,
∴ CF=3,AD=6.
∵ DG=4,
∴ FG=2
解析
【分析】
(1) 要证BF=CF，首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，可得AD//BC、AD=BC，此时△EBF和△EAD有公共角∠E，且平行线可得同位角相等，可判定两三角形相似；再结合BE=AB，可知BE是AE的$\frac{1}{2}$，利用相似三角形对应边成比例推出BF是AD的$\frac{1}{2}$，也就是BC的$\frac{1}{2}$，即可证明BF=CF。
(2) 要求FG的长，仍借助平行四边形对边平行的性质，得AD//CF，进而得到△FGC和△DGA的两组对应角相等，判定两三角形相似；结合第一问得到的CF与AD的比例关系，代入已知DG的长度，利用相似三角形对应边成比例即可求出FG的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD = BC，
∴ ∠EBF = ∠EAD，
又
∵ ∠E = ∠E，
∴ △EBF ∽△EAD，
∵ BE = AB，
∴ $\frac{BF}{AD}=\frac{BE}{AE}=\frac{BE}{BE+AB}=\frac{1}{2}$，
∴ BF = $\frac{1}{2}$ AD =$\frac{1}{2}$ BC，
∴ BF = CF。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//CF，
∴ ∠GFC = ∠GDA，
又
∵ ∠FGC = ∠DGA，
∴ △FGC∽△DGA，
∴ $\frac{FG}{DG}=\frac{CF}{AD}$，
∵ BC=6，
∴ CF=$\frac{1}{2}$BC=3，AD=BC=6，
又
∵ DG=4，
∴ $\frac{FG}{4}=\frac{3}{6}$，解得FG=2。
【答案】
(1) BF=CF得证；
(2) FG的长为2。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的基础题型，解题核心是利用平行四边形对边平行的性质得到相等的角，进而判定三角形相似，再通过相似三角形对应边成比例的性质推导线段关系、求解线段长度，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要证BF=CF，首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，可得AD//BC、AD=BC，此时△EBF和△EAD有公共角∠E，且平行线可得同位角相等，可判定两三角形相似；再结合BE=AB，可知BE是AE的$\frac{1}{2}$，利用相似三角形对应边成比例推出BF是AD的$\frac{1}{2}$，也就是BC的$\frac{1}{2}$，即可证明BF=CF。
(2) 要求FG的长，仍借助平行四边形对边平行的性质，得AD//CF，进而得到△FGC和△DGA的两组对应角相等，判定两三角形相似；结合第一问得到的CF与AD的比例关系，代入已知DG的长度，利用相似三角形对应边成比例即可求出FG的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD = BC，
∴ ∠EBF = ∠EAD，
又
∵ ∠E = ∠E，
∴ △EBF ∽△EAD，
∵ BE = AB，
∴ $\frac{BF}{AD}=\frac{BE}{AE}=\frac{BE}{BE+AB}=\frac{1}{2}$，
∴ BF = $\frac{1}{2}$ AD =$\frac{1}{2}$ BC，
∴ BF = CF。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//CF，
∴ ∠GFC = ∠GDA，
又
∵ ∠FGC = ∠DGA，
∴ △FGC∽△DGA，
∴ $\frac{FG}{DG}=\frac{CF}{AD}$，
∵ BC=6，
∴ CF=$\frac{1}{2}$BC=3，AD=BC=6，
又
∵ DG=4，
∴ $\frac{FG}{4}=\frac{3}{6}$，解得FG=2。
【答案】
(1) BF=CF得证；
(2) FG的长为2。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的基础题型，解题核心是利用平行四边形对边平行的性质得到相等的角，进而判定三角形相似，再通过相似三角形对应边成比例的性质推导线段关系、求解线段长度，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
