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1 [2025重庆忠县期末]下列关于x的方程为一元二次方程的是（
A.$x+a^2 -1=0$
B.$ax^2 -2x -1=0$
C.$a^2x -a^2=0$
D.$x^2=1+x$
D
）A.$x+a^2 -1=0$
B.$ax^2 -2x -1=0$
C.$a^2x -a^2=0$
D.$x^2=1+x$
答案
1.D
解析
【分析】
解题前先明确一元二次方程的三个判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程，且二次项系数不能为0。解题时将每个选项对照上述标准逐一排查，即可得出正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，要求二次项系数不为0，现对各选项逐一分析：
A选项：方程$x+a^2-1=0$中未知数$x$的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求；
B选项：方程$ax^2-2x-1=0$未明确$a≠0$，若$a=0$，方程变为一元一次方程$-2x-1=0$，因此不一定是一元二次方程，不符合要求；
C选项：方程$a^2x -a^2=0$中未知数$x$的最高次数为1，$a≠0$时为一元一次方程，$a=0$时不是有效方程，不符合要求；
D选项：方程$x^2=1+x$整理后为$x^2 -x -1=0$，满足一元二次方程的所有判定条件，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题，解题关键是准确把握一元二次方程的判定条件，尤其要注意当二次项系数含参数时，必须保证参数不为0，避免误选。
【难度系数】
0.8
解题前先明确一元二次方程的三个判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程，且二次项系数不能为0。解题时将每个选项对照上述标准逐一排查，即可得出正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，要求二次项系数不为0，现对各选项逐一分析：
A选项：方程$x+a^2-1=0$中未知数$x$的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求；
B选项：方程$ax^2-2x-1=0$未明确$a≠0$，若$a=0$，方程变为一元一次方程$-2x-1=0$，因此不一定是一元二次方程，不符合要求；
C选项：方程$a^2x -a^2=0$中未知数$x$的最高次数为1，$a≠0$时为一元一次方程，$a=0$时不是有效方程，不符合要求；
D选项：方程$x^2=1+x$整理后为$x^2 -x -1=0$，满足一元二次方程的所有判定条件，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题，解题关键是准确把握一元二次方程的判定条件，尤其要注意当二次项系数含参数时，必须保证参数不为0，避免误选。
【难度系数】
0.8
2 [2025 成都郫都期末]用配方法解一元二次方程$x^2 -6x -1=0$，下列变形正确的是（
A.$(x-6)^2=1+36$
B.$(x-3)^2=1+9$
C.$(x-6)^2=-1+36$
D.$(x-3)^2=-1+9$
B
）A.$(x-6)^2=1+36$
B.$(x-3)^2=1+9$
C.$(x-6)^2=-1+36$
D.$(x-3)^2=-1+9$
答案
2.B
解析
【分析】
要解这道题，需回忆配方法解一元二次方程的固定步骤：第一步先将常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧凑成完全平方形式，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x -1=0$进行配方操作：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 -6x = 1$
2. 配方：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，等号两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = 1 + 9$
3. 左侧根据完全平方公式化简，得：$(x-3)^2=1+9$
对比选项，B选项变形正确。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，核心是掌握移项规则和配方时“两边同加一次项系数一半的平方”的要点，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解这道题，需回忆配方法解一元二次方程的固定步骤：第一步先将常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧凑成完全平方形式，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x -1=0$进行配方操作：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 -6x = 1$
2. 配方：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，等号两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = 1 + 9$
3. 左侧根据完全平方公式化简，得：$(x-3)^2=1+9$
对比选项，B选项变形正确。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，核心是掌握移项规则和配方时“两边同加一次项系数一半的平方”的要点，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
3 若$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，则$a+b+c$等于（
A.$-2$
B.$4$
C.$2$
D.$0$
D
）A.$-2$
B.$4$
C.$2$
D.$0$
答案
3.D
解析
【分析】
解题有两种思路：思路1：回忆一元二次方程的求根公式为$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，将题目给出的根的表达式和求根公式逐项对应，即可求出$a、b、c$的取值，再计算$a+b+c$；思路2：先化简题目给出的根的表达式，可得到其中一个根为$x=1$，根据一元二次方程根的定义，将$x=1$代入方程即可直接得到$a+b+c$的值，该方法更简便。
【解析】
方法1（利用根的定义快速求解）：
先化简题目给出的根的表达式：
根号内的部分：$4-4×3×(-1)=4+12=16$，$\sqrt{16}=4$
因此$x=\dfrac{2\pm4}{2×3}$，计算得两个根：
$x_1=\dfrac{2+4}{6}=1$，$x_2=\dfrac{2-4}{6}=-\dfrac{1}{3}$
因为$x=1$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，将$x=1$代入方程得：
$a×1^2 + b×1 + c=0$，即$a+b+c=0$。
方法2（对比求根公式求解）：
一元二次方程的求根公式为$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，和题目给出的$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$逐项对应：
分母：$2a=2×3$，得$a=3$；
分子的一次项部分：$-b=2$，得$b=-2$；
根号内的常数项部分：$-4ac=-4×3×(-1)$，代入$a=3$，得$-4×3× c=-4×3×(-1)$，解得$c=-1$；
因此$a+b+c=3+(-2)+(-1)=0$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题可以采用两种方法解答，其中先化简根得到特殊值$x=1$，再代入方程求解的方法更便捷，能减少计算量，体现了特殊值法在解题中的妙用。
【难度系数】
0.7
解题有两种思路：思路1：回忆一元二次方程的求根公式为$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，将题目给出的根的表达式和求根公式逐项对应，即可求出$a、b、c$的取值，再计算$a+b+c$；思路2：先化简题目给出的根的表达式，可得到其中一个根为$x=1$，根据一元二次方程根的定义，将$x=1$代入方程即可直接得到$a+b+c$的值，该方法更简便。
【解析】
方法1（利用根的定义快速求解）：
先化简题目给出的根的表达式：
根号内的部分：$4-4×3×(-1)=4+12=16$，$\sqrt{16}=4$
因此$x=\dfrac{2\pm4}{2×3}$，计算得两个根：
$x_1=\dfrac{2+4}{6}=1$，$x_2=\dfrac{2-4}{6}=-\dfrac{1}{3}$
因为$x=1$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，将$x=1$代入方程得：
$a×1^2 + b×1 + c=0$，即$a+b+c=0$。
方法2（对比求根公式求解）：
一元二次方程的求根公式为$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，和题目给出的$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$逐项对应：
分母：$2a=2×3$，得$a=3$；
分子的一次项部分：$-b=2$，得$b=-2$；
根号内的常数项部分：$-4ac=-4×3×(-1)$，代入$a=3$，得$-4×3× c=-4×3×(-1)$，解得$c=-1$；
因此$a+b+c=3+(-2)+(-1)=0$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题可以采用两种方法解答，其中先化简根得到特殊值$x=1$，再代入方程求解的方法更便捷，能减少计算量，体现了特殊值法在解题中的妙用。
【难度系数】
0.7
4 方程$(x+1)(x-3)=-4$的根是 （
A.$x_1=-1,x_2=3$
B.$x_1=1,x_2=0$
C.$x_1=1,x_2=-1$
D.$x_1=x_2=1$
D
）A.$x_1=-1,x_2=3$
B.$x_1=1,x_2=0$
C.$x_1=1,x_2=-1$
D.$x_1=x_2=1$
答案
4.D
解析
【分析】
求解本题首先要明确，因式分解法解一元二次方程的前提是方程右边为0，因此不能直接令两个因式分别等于-4求解。正确思路是先将方程左边展开，再移项整理为一元二次方程的一般形式，再选择合适的方法（如配方法、因式分解法）求解，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：展开方程左边的整式乘积：
$(x+1)(x-3)=x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$
第二步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
原方程可化为 $x^2 - 2x - 3 = -4$
移项得：$x^2 - 2x + 1 = 0$
第三步：利用完全平方公式因式分解求解：
方程左边可写为$(x-1)^2$，即$(x-1)^2=0$
开方得$x-1=0$，因此方程的根为$x_1=x_2=1$
对应选项，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法，完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是忽略因式分解法的适用条件，错误地直接令两个因式分别等于-4求解得到错误选项。熟练掌握一元二次方程的求解步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.75
求解本题首先要明确，因式分解法解一元二次方程的前提是方程右边为0，因此不能直接令两个因式分别等于-4求解。正确思路是先将方程左边展开，再移项整理为一元二次方程的一般形式，再选择合适的方法（如配方法、因式分解法）求解，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：展开方程左边的整式乘积：
$(x+1)(x-3)=x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$
第二步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
原方程可化为 $x^2 - 2x - 3 = -4$
移项得：$x^2 - 2x + 1 = 0$
第三步：利用完全平方公式因式分解求解：
方程左边可写为$(x-1)^2$，即$(x-1)^2=0$
开方得$x-1=0$，因此方程的根为$x_1=x_2=1$
对应选项，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法，完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是忽略因式分解法的适用条件，错误地直接令两个因式分别等于-4求解得到错误选项。熟练掌握一元二次方程的求解步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.75
5 已知关于x的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，若$1 - b + c = 0$，则该方程的根必有
$x=-1$
。答案
5.$x=-1$
解析
【分析】
解题的核心是运用一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。首先观察已知条件$1 - b + c = 0$的结构，将其与方程$x^2 + bx + c = 0$的左侧代数式对比，尝试代入合适的x值，判断代入后左侧的计算结果是否等于已知的0，即可确定方程必有的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，若某一x值代入方程后能使等式成立，则该值为方程的根。
将$x=-1$代入方程$x^2 + bx + c = 0$的左侧，得：
$(-1)^2 + b×(-1) + c = 1 - b + c$
已知$1 - b + c = 0$，即$x=-1$代入后方程左侧等于右侧0，满足方程成立的条件，因此$x=-1$是该方程的根。
【答案】
$x=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式代入求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，不需要复杂运算，重点考查对一元二次方程根的定义的灵活运用，只要能结合已知等式的结构特征匹配对应的x取值，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题的核心是运用一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。首先观察已知条件$1 - b + c = 0$的结构，将其与方程$x^2 + bx + c = 0$的左侧代数式对比，尝试代入合适的x值，判断代入后左侧的计算结果是否等于已知的0，即可确定方程必有的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，若某一x值代入方程后能使等式成立，则该值为方程的根。
将$x=-1$代入方程$x^2 + bx + c = 0$的左侧，得：
$(-1)^2 + b×(-1) + c = 1 - b + c$
已知$1 - b + c = 0$，即$x=-1$代入后方程左侧等于右侧0，满足方程成立的条件，因此$x=-1$是该方程的根。
【答案】
$x=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式代入求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，不需要复杂运算，重点考查对一元二次方程根的定义的灵活运用，只要能结合已知等式的结构特征匹配对应的x取值，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
6 用因式分解法解方程$x^2+bx+c=0$的两个实数根为-2和3，则$x^2+bx+c$可以分解为
$(x+2)(x-3)$
.答案
6.$(x+2)(x-3)$
解析
【分析】
本题可根据因式分解法解一元二次方程的逆向逻辑思考：因式分解法解方程时，我们将二次三项式分解为两个一次因式乘积，令每个因式为0得到方程的根；反过来，若已知方程的两个根x₁、x₂，二次项系数为1时，二次三项式可直接写成(x - x₁)(x - x₂)的形式，代入已知根计算即可，注意计算时的符号处理。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的对应关系：若二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$，则$x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)$。
已知方程的两个根为$x_1=-2$，$x_2=3$，代入得：
$x^2+bx+c=(x-(-2))(x-3)=(x+2)(x-3)$
【答案】
$(x+2)(x-3)$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 二次三项式因式分解
3. 一元二次方程根的应用
【点评】
本题是基础类题型，考查因式分解法解方程的逆向运用，只要掌握方程根与二次三项式分解形式的对应关系，注意代入根时的符号不要出错，就能轻松解答。
【难度系数】
0.85
本题可根据因式分解法解一元二次方程的逆向逻辑思考：因式分解法解方程时，我们将二次三项式分解为两个一次因式乘积，令每个因式为0得到方程的根；反过来，若已知方程的两个根x₁、x₂，二次项系数为1时，二次三项式可直接写成(x - x₁)(x - x₂)的形式，代入已知根计算即可，注意计算时的符号处理。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的对应关系：若二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$，则$x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)$。
已知方程的两个根为$x_1=-2$，$x_2=3$，代入得：
$x^2+bx+c=(x-(-2))(x-3)=(x+2)(x-3)$
【答案】
$(x+2)(x-3)$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 二次三项式因式分解
3. 一元二次方程根的应用
【点评】
本题是基础类题型，考查因式分解法解方程的逆向运用，只要掌握方程根与二次三项式分解形式的对应关系，注意代入根时的符号不要出错，就能轻松解答。
【难度系数】
0.85
7 当$x=$
$-\frac{2}{5}$或3
时，代数式$x^2 -13x +12$的值与代数式$-4x^2 +18$的值相等。答案
7.$-\frac{2}{5}$或3
解析
【分析】
解题时首先抓住“两个代数式的值相等”这一核心条件，先将两个代数式用等号连接建立方程；再通过移项、合并同类项把方程整理为一元二次方程的标准形式，最后选择十字相乘法等简便方法求解方程，得到的根就是所求的x的值。
【解析】
解：根据题意列方程：
$\begin{aligned}x^2 -13x +12 &= -4x^2 +18 \\x^2 +4x^2 -13x +12 -18 &=0 \\5x^2 -13x -6 &=0\end{aligned}$
用十字相乘法分解左边的二次三项式，得：
$(5x+2)(x-3)=0$
所以$5x+2=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=-\frac{2}{5}$，$x_2=3$。
【答案】
$-\frac{2}{5}$或3
【知识点】
列一元二次方程；因式分解法解方程；等式性质
【点评】
本题属于方程基础应用类题型，解题关键是准确根据等量关系列方程，求解过程注意符号运算，避免因计算粗心出错。
【难度系数】
0.75
解题时首先抓住“两个代数式的值相等”这一核心条件，先将两个代数式用等号连接建立方程；再通过移项、合并同类项把方程整理为一元二次方程的标准形式，最后选择十字相乘法等简便方法求解方程，得到的根就是所求的x的值。
【解析】
解：根据题意列方程：
$\begin{aligned}x^2 -13x +12 &= -4x^2 +18 \\x^2 +4x^2 -13x +12 -18 &=0 \\5x^2 -13x -6 &=0\end{aligned}$
用十字相乘法分解左边的二次三项式，得：
$(5x+2)(x-3)=0$
所以$5x+2=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=-\frac{2}{5}$，$x_2=3$。
【答案】
$-\frac{2}{5}$或3
【知识点】
列一元二次方程；因式分解法解方程；等式性质
【点评】
本题属于方程基础应用类题型，解题关键是准确根据等量关系列方程，求解过程注意符号运算，避免因计算粗心出错。
【难度系数】
0.75
8 已知关于x的一元二次方程$(k+1)x^2+3x+k^2-2k-3=0$的常数项为0，则k的值为
3
.答案
8.3
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程的隐含前提：二次项系数不为0，再结合题干给出的“常数项为0”的条件，分别列出关于k的不等式和方程，解方程后排除不符合二次项系数要求的解，即可得到正确的k值。注意不能忽略一元二次方程的限制条件，否则容易出现多解的错误。
【解析】
解：
∵ 方程$(k+1)x^2+3x+k^2-2k-3=0$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$k+1 ≠ 0$，解得$k ≠ -1$
又
∵ 方程的常数项为0
∴ $k^2 - 2k - 3 = 0$
对该方程因式分解得：$(k-3)(k+1)=0$
解得$k=3$或$k=-1$
结合$k ≠ -1$的限制，舍去$k=-1$
∴ $k=3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的项与系数，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是牢记一元二次方程二次项系数不为0的隐含限制，避免未排除不符合条件的解导致出错，求解时要先明确方程类型的限制条件，再结合题干已知条件计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确一元二次方程的隐含前提：二次项系数不为0，再结合题干给出的“常数项为0”的条件，分别列出关于k的不等式和方程，解方程后排除不符合二次项系数要求的解，即可得到正确的k值。注意不能忽略一元二次方程的限制条件，否则容易出现多解的错误。
【解析】
解：
∵ 方程$(k+1)x^2+3x+k^2-2k-3=0$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$k+1 ≠ 0$，解得$k ≠ -1$
又
∵ 方程的常数项为0
∴ $k^2 - 2k - 3 = 0$
对该方程因式分解得：$(k-3)(k+1)=0$
解得$k=3$或$k=-1$
结合$k ≠ -1$的限制，舍去$k=-1$
∴ $k=3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的项与系数，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是牢记一元二次方程二次项系数不为0的隐含限制，避免未排除不符合条件的解导致出错，求解时要先明确方程类型的限制条件，再结合题干已知条件计算。
【难度系数】
0.7
