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1 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$2:3$。若$△ ABC$的周长为6，则$△ DEF$的周长为（
A.6
B.8
C.9
D.12
C
）A.6
B.8
C.9
D.12
答案
1. C
解析
【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：两个三角形相似，相似比为2:3，已知△ABC的周长为6，要求△DEF的周长。首先回忆相似三角形的周长相关性质：相似三角形的周长比等于相似比。解题时要注意相似比的对应关系，本题相似比是△ABC:△DEF=2:3，因此二者的周长比也为2:3，代入已知周长列比例式即可求解，注意不要颠倒两个三角形的顺序导致计算错误。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △DEF，相似比为2:3
∴△ABC与△DEF的周长比等于相似比，即$C_{△ABC}:C_{△DEF}=2:3$
已知$C_{△ABC}=6$，设$C_{△DEF}=x$，代入比例式得：
$6:x=2:3$
根据比例的基本性质，内项积等于外项积，得：
$2x=6×3$
解得$x=9$
因此△DEF的周长为9。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形周长比性质、比例的基本性质
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题核心是掌握相似三角形周长比等于相似比的性质，做题时注意对应好相似比的前后两个三角形的顺序，避免因顺序混淆出错。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先梳理已知条件：两个三角形相似，相似比为2:3，已知△ABC的周长为6，要求△DEF的周长。首先回忆相似三角形的周长相关性质：相似三角形的周长比等于相似比。解题时要注意相似比的对应关系，本题相似比是△ABC:△DEF=2:3，因此二者的周长比也为2:3，代入已知周长列比例式即可求解，注意不要颠倒两个三角形的顺序导致计算错误。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △DEF，相似比为2:3
∴△ABC与△DEF的周长比等于相似比，即$C_{△ABC}:C_{△DEF}=2:3$
已知$C_{△ABC}=6$，设$C_{△DEF}=x$，代入比例式得：
$6:x=2:3$
根据比例的基本性质，内项积等于外项积，得：
$2x=6×3$
解得$x=9$
因此△DEF的周长为9。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形周长比性质、比例的基本性质
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题核心是掌握相似三角形周长比等于相似比的性质，做题时注意对应好相似比的前后两个三角形的顺序，避免因顺序混淆出错。
【难度系数】
0.9
2 [2025绥化]如果两个相似三角形的最长边的长分别是10 cm和6 cm，且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是（
A.14 cm
B.18 cm
C.30 cm
D.34 cm
B
）A.14 cm
B.18 cm
C.30 cm
D.34 cm
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查相似三角形周长性质的应用，解题思路如下：第一步，回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于对应边的相似比；第二步，用已知的两个三角形对应最长边的长度计算出相似比；第三步，根据周长比设未知数，结合周长之和的已知条件列方程求解，即可得到较小三角形的周长。
【解析】
解：
∵相似三角形的周长比等于相似比（即对应边的比值），两个相似三角形的最长边分别为10cm和6cm，
∴大三角形与小三角形的相似比为$10:6=5:3$，则两者的周长比也为$5:3$。
设较小三角形的周长为$3x\ \mathrm{cm}$，较大三角形的周长为$5x\ \mathrm{cm}$，
根据周长之和为48cm列方程得：
$3x+5x=48$
解得$x=6$
∴较小三角形的周长为$3x=3×6=18\ \mathrm{cm}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形周长性质
2.一元一次方程应用
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是牢记相似三角形周长比等于相似比，注意不要混淆大小三角形的相似比，结合题干给出的周长和条件列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形周长性质的应用，解题思路如下：第一步，回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于对应边的相似比；第二步，用已知的两个三角形对应最长边的长度计算出相似比；第三步，根据周长比设未知数，结合周长之和的已知条件列方程求解，即可得到较小三角形的周长。
【解析】
解：
∵相似三角形的周长比等于相似比（即对应边的比值），两个相似三角形的最长边分别为10cm和6cm，
∴大三角形与小三角形的相似比为$10:6=5:3$，则两者的周长比也为$5:3$。
设较小三角形的周长为$3x\ \mathrm{cm}$，较大三角形的周长为$5x\ \mathrm{cm}$，
根据周长之和为48cm列方程得：
$3x+5x=48$
解得$x=6$
∴较小三角形的周长为$3x=3×6=18\ \mathrm{cm}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形周长性质
2.一元一次方程应用
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是牢记相似三角形周长比等于相似比，注意不要混淆大小三角形的相似比，结合题干给出的周长和条件列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3 如图所示为一块直角三角尺，$∠ C = 90°$，$∠ B = 30°$，$AC = 7\ \mathrm{cm}$，$DF = 5\ \mathrm{cm}$，且$△ ABC ∽ △ DFE$，则$△ ABC$与$△ DFE$的周长比为
14:5
。答案
3. 14 : 5
解析
【分析】
要求两个相似三角形的周长比，首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比（即对应边的比值），因此只需先求出两个三角形的一组对应边的比值即可。首先在Rt△ABC中，利用30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，求出斜边AB的长度，再根据相似三角形的顶点对应关系，确定AB的对应边为DF，代入已知边长即可算出相似比，也就是周长比。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，AC是$∠ B$所对的直角边，根据含30°角的直角三角形的性质可得：
$AC=\frac{1}{2}AB$
已知$AC=7\ \mathrm{cm}$，代入得$AB=2AC=2×7=14\ \mathrm{cm}$。
因为$△ ABC ∽ △ DFE$，根据相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，即对应边的比值，其中AB和DF为对应边，已知$DF=5\ \mathrm{cm}$，因此：
周长比$=AB:DF=14:5$
【答案】
$14:5$
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形性质
2. 相似三角形周长比性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确找到相似三角形的对应边，结合特殊直角三角形的边长性质求出相似比，计算过程比较简单，注意不要混淆相似三角形的对应顶点顺序即可。
【难度系数】
0.7
要求两个相似三角形的周长比，首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比（即对应边的比值），因此只需先求出两个三角形的一组对应边的比值即可。首先在Rt△ABC中，利用30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，求出斜边AB的长度，再根据相似三角形的顶点对应关系，确定AB的对应边为DF，代入已知边长即可算出相似比，也就是周长比。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，AC是$∠ B$所对的直角边，根据含30°角的直角三角形的性质可得：
$AC=\frac{1}{2}AB$
已知$AC=7\ \mathrm{cm}$，代入得$AB=2AC=2×7=14\ \mathrm{cm}$。
因为$△ ABC ∽ △ DFE$，根据相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，即对应边的比值，其中AB和DF为对应边，已知$DF=5\ \mathrm{cm}$，因此：
周长比$=AB:DF=14:5$
【答案】
$14:5$
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形性质
2. 相似三角形周长比性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确找到相似三角形的对应边，结合特殊直角三角形的边长性质求出相似比，计算过程比较简单，注意不要混淆相似三角形的对应顶点顺序即可。
【难度系数】
0.7
4 教材变式题 如图,在$△ ABC$中,D是边AB上的点,$∠ B = ∠ ACD,AC:AB = 1:2$,则$△ ADC$与$△ ACB$的周长比是
1:2
.答案
4. 1 : 2
解析
【分析】
首先观察$△ ADC$和$△ ACB$，两个三角形有公共角$∠ A$，结合题目给出的$∠ B=∠ ACD$，可根据两角分别相等的判定定理证明两个三角形相似；再利用相似三角形的周长比等于相似比的性质，结合已知的对应边比例$AC:AB=1:2$，即可求出两个三角形的周长比。
【解析】
在$△ ADC$和$△ ACB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ A\quad(\mathrm{公共角})\\∠ ACD=∠ B\quad(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ADC ∽ △ ACB\ (\mathrm{两角分别相等的两个三角形相似})$
$\because$ 相似三角形的周长比等于相似比，且两个三角形的相似比为对应边的比$AC:AB=1:2$
$\therefore △ ADC$与$△ ACB$的周长比为$1:2$
【答案】
$1:2$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形周长的性质
【点评】
本题是基础类题型，解题关键是先通过角的关系判定三角形相似，再结合相似三角形周长比等于相似比的性质计算结果，解题时要注意找准相似三角形的对应边。
【难度系数】
0.8
首先观察$△ ADC$和$△ ACB$，两个三角形有公共角$∠ A$，结合题目给出的$∠ B=∠ ACD$，可根据两角分别相等的判定定理证明两个三角形相似；再利用相似三角形的周长比等于相似比的性质，结合已知的对应边比例$AC:AB=1:2$，即可求出两个三角形的周长比。
【解析】
在$△ ADC$和$△ ACB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ A\quad(\mathrm{公共角})\\∠ ACD=∠ B\quad(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ADC ∽ △ ACB\ (\mathrm{两角分别相等的两个三角形相似})$
$\because$ 相似三角形的周长比等于相似比，且两个三角形的相似比为对应边的比$AC:AB=1:2$
$\therefore △ ADC$与$△ ACB$的周长比为$1:2$
【答案】
$1:2$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形周长的性质
【点评】
本题是基础类题型，解题关键是先通过角的关系判定三角形相似，再结合相似三角形周长比等于相似比的性质计算结果，解题时要注意找准相似三角形的对应边。
【难度系数】
0.8
5 [2025 承德期末]两个相似三角形的对应边上的中线比为$1:\sqrt{2}$，则它们的面积比为（
A.$2:1$
B.$1:2$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}:1$
B
）A.$2:1$
B.$1:2$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}:1$
答案
5. B
解析
【分析】
解题时先回忆相似三角形的相关性质，第一步：相似三角形的对应中线、对应高、对应角平分线等对应线段的比都等于相似比，因此题目给出的对应中线比就是两个三角形的相似比；第二步：相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入已知的相似比计算即可得到面积比，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵相似三角形对应边上的中线比等于相似比，已知两个相似三角形对应边上的中线比为$1:\sqrt{2}$，
∴这两个相似三角形的相似比为$1:\sqrt{2}$，
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴它们的面积比为$1^2:(\sqrt{2})^2=1:2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形对应线段性质
2.相似三角形面积比性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形的相似比与对应中线比、面积比的关系，解题时要注意区分面积比是相似比的平方，不要和对应线段比的规律混淆，牢记相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆相似三角形的相关性质，第一步：相似三角形的对应中线、对应高、对应角平分线等对应线段的比都等于相似比，因此题目给出的对应中线比就是两个三角形的相似比；第二步：相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入已知的相似比计算即可得到面积比，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵相似三角形对应边上的中线比等于相似比，已知两个相似三角形对应边上的中线比为$1:\sqrt{2}$，
∴这两个相似三角形的相似比为$1:\sqrt{2}$，
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴它们的面积比为$1^2:(\sqrt{2})^2=1:2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形对应线段性质
2.相似三角形面积比性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形的相似比与对应中线比、面积比的关系，解题时要注意区分面积比是相似比的平方，不要和对应线段比的规律混淆，牢记相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6 [2024辽宁]如图，AB//CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1:4.若AB=6，则CD的长为（
A.8
B.10
C.12
D.14
C
）A.8
B.10
C.12
D.14
答案
6. C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，由已知AB//CD，结合平行线的内错角相等、对顶角相等的性质，可判定△AOB与△DOC相似；第二步，回忆相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合已知两个三角形的面积比为1:4，可算出两个三角形的相似比；第三步，根据相似三角形对应边成比例，AB和CD是一组对应边，代入AB=6即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴△AOB∽△DOC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且$S_{△ AOB}:S_{△ DOC}=1:4$，
∴△AOB与△DOC的相似比为$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}$，
将AB=6代入得：$\frac{6}{CD}=\frac{1}{2}$，解得CD=12。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形面积比性质；相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形判定与性质的基础应用题，解题核心是先由平行关系得到三角形相似，再结合面积比求出相似比，进而求解对应边长度，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，由已知AB//CD，结合平行线的内错角相等、对顶角相等的性质，可判定△AOB与△DOC相似；第二步，回忆相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合已知两个三角形的面积比为1:4，可算出两个三角形的相似比；第三步，根据相似三角形对应边成比例，AB和CD是一组对应边，代入AB=6即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴△AOB∽△DOC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且$S_{△ AOB}:S_{△ DOC}=1:4$，
∴△AOB与△DOC的相似比为$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}$，
将AB=6代入得：$\frac{6}{CD}=\frac{1}{2}$，解得CD=12。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形面积比性质；相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形判定与性质的基础应用题，解题核心是先由平行关系得到三角形相似，再结合面积比求出相似比，进而求解对应边长度，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
7 如图，在菱形ABCD中，E为CD上一点，AE，BD相交于点O。若$S_{△ AOB}:S_{△ DOE}=25:9$，则$CE:BC=$
2:5
。答案
7. 2 : 5
解析
【分析】
首先根据菱形对边平行的性质，可证得△AOB与△DOE相似；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，由已知的面积比求出AB与DE的长度比；最后利用菱形四边相等的性质，计算CE与BC的比值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AB=BC=CD，
∴∠OAB=∠OED，∠OBA=∠ODE，
∴△AOB∽△EOD。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且$S_{△ AOB}:S_{△ DOE}=25:9$，
∴$\frac{AB}{DE}=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}$。
设AB=5k（k＞0），则DE=3k，CD=AB=5k，
∴CE=CD-DE=5k-3k=2k，
又
∵BC=AB=5k，
∴$CE:BC=2k:5k=2:5$。
【答案】
$2:5$
【知识点】
菱形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的突破口是利用菱形的对边平行得到相似三角形，再结合相似三角形面积比与相似比的关系推导线段比例，需要熟练掌握特殊四边形和相似三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
首先根据菱形对边平行的性质，可证得△AOB与△DOE相似；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，由已知的面积比求出AB与DE的长度比；最后利用菱形四边相等的性质，计算CE与BC的比值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AB=BC=CD，
∴∠OAB=∠OED，∠OBA=∠ODE，
∴△AOB∽△EOD。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且$S_{△ AOB}:S_{△ DOE}=25:9$，
∴$\frac{AB}{DE}=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}$。
设AB=5k（k＞0），则DE=3k，CD=AB=5k，
∴CE=CD-DE=5k-3k=2k，
又
∵BC=AB=5k，
∴$CE:BC=2k:5k=2:5$。
【答案】
$2:5$
【知识点】
菱形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的突破口是利用菱形的对边平行得到相似三角形，再结合相似三角形面积比与相似比的关系推导线段比例，需要熟练掌握特殊四边形和相似三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
8 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$D$是$AB$上一点,$DE// BC$,$BE⊥ AB$.
(1)求证:$△ DEB ∽ △ BAC$;
(2)若$BE=2$,$CA=3$,$△ DEB$的面积为$1$,求$△ BAC$的面积.
(1)求证:$△ DEB ∽ △ BAC$;
(2)若$BE=2$,$CA=3$,$△ DEB$的面积为$1$,求$△ BAC$的面积.
答案
8. (1) $\because DE // BC, \therefore ∠ EDB = ∠ ABC. \because BE ⊥ AB,$
$\therefore ∠ EBD=∠ C=90°. \therefore △ DEB ∽ △ BAC$
(2) 由(1),可得$△ DEB ∽ △ BAC, \therefore \frac{S_{△ DEB}}{S_{△ BAC}} = (\frac{BE}{CA})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}.$
$\because S_{△ DEB}=1,\therefore \frac{1}{S_{△ BAC}}=\frac{4}{9}.\therefore S_{△ BAC}=\frac{9}{4}$
$\therefore ∠ EBD=∠ C=90°. \therefore △ DEB ∽ △ BAC$
(2) 由(1),可得$△ DEB ∽ △ BAC, \therefore \frac{S_{△ DEB}}{S_{△ BAC}} = (\frac{BE}{CA})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}.$
$\because S_{△ DEB}=1,\therefore \frac{1}{S_{△ BAC}}=\frac{4}{9}.\therefore S_{△ BAC}=\frac{9}{4}$
解析
【分析】
(1) 要证明两个三角形相似，可通过两组对应角相等的判定定理推导。首先由$DE// BC$，根据平行线的性质可得一组同位角相等；再结合$BE⊥ AB$和$∠ C=90°$，可得一组直角相等，满足相似判定条件即可得证。
(2) 已知两个三角形相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出对应边的相似比，再结合已知小三角形的面积，代入比例式即可求出大三角形的面积。
【解析】
(1) 证明：$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ EDB=∠ ABC$（两直线平行，同位角相等），
$\because BE⊥ AB$，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ EBD=∠ C=90°$，
$\therefore △ DEB ∽ △ BAC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：由(1)可得$△ DEB ∽ △ BAC$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ DEB}}{S_{△ BAC}} = (\frac{BE}{CA})^2$，
将$BE=2$，$CA=3$，$S_{△ DEB}=1$代入得：
$\frac{1}{S_{△ BAC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
解得$S_{△ BAC}=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\frac{9}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形面积比性质，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，核心是先通过角的等量关系判定三角形相似，再利用相似的面积比性质求解，解题时要注意找准相似三角形的对应边。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明两个三角形相似，可通过两组对应角相等的判定定理推导。首先由$DE// BC$，根据平行线的性质可得一组同位角相等；再结合$BE⊥ AB$和$∠ C=90°$，可得一组直角相等，满足相似判定条件即可得证。
(2) 已知两个三角形相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出对应边的相似比，再结合已知小三角形的面积，代入比例式即可求出大三角形的面积。
【解析】
(1) 证明：$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ EDB=∠ ABC$（两直线平行，同位角相等），
$\because BE⊥ AB$，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ EBD=∠ C=90°$，
$\therefore △ DEB ∽ △ BAC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：由(1)可得$△ DEB ∽ △ BAC$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ DEB}}{S_{△ BAC}} = (\frac{BE}{CA})^2$，
将$BE=2$，$CA=3$，$S_{△ DEB}=1$代入得：
$\frac{1}{S_{△ BAC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
解得$S_{△ BAC}=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\frac{9}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形面积比性质，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，核心是先通过角的等量关系判定三角形相似，再利用相似的面积比性质求解，解题时要注意找准相似三角形的对应边。
【难度系数】
0.8
9 如图,在$△ ABC$和$△ DBE$中,$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BE}=\frac{AC}{DE}=\frac{5}{3}.$
(1) 若$△ ABC$与$△ DBE$的周长之差为10 cm,求$△ ABC$的周长;
(2) 若$△ ABC$与$△ DBE$的面积之和为170 cm²,求$△ DBE$和$△ ABC$的面积.
(1) 若$△ ABC$与$△ DBE$的周长之差为10 cm,求$△ ABC$的周长;
(2) 若$△ ABC$与$△ DBE$的面积之和为170 cm²,求$△ DBE$和$△ ABC$的面积.
答案
9. (1) $\because \frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BE}=\frac{AC}{DE}=\frac{5}{3},\therefore △ ABC ∽ △ DBE,$且$△ ABC$的周长 : $△ DBE$ 的周长 = 5 : 3. 设$△ ABC$ 的周长为 $5x$ cm,$△ DBE$ 的周长为 $3x$ cm. $\because △ ABC$ 与 $△ DBE$ 的周长之差为10 cm,$\therefore 5x-3x=10,$解得 $x=5.$ $\therefore △ ABC$ 的周长为 $5× 5=25(\mathrm{cm})$
(2) 设$△ DBE$ 的面积为 $S\ \mathrm{cm^2}$,则$△ ABC$ 的面积为$(170-S)\mathrm{cm^2}.$根据题意,得 $S:(170-S)=3^2:5^2,$解得 $S=45.$ $\therefore △ DBE$ 的面积为 $45\ \mathrm{cm^2},△ ABC$ 的面积为 $170-45=125(\mathrm{cm^2})$
(2) 设$△ DBE$ 的面积为 $S\ \mathrm{cm^2}$,则$△ ABC$ 的面积为$(170-S)\mathrm{cm^2}.$根据题意,得 $S:(170-S)=3^2:5^2,$解得 $S=45.$ $\therefore △ DBE$ 的面积为 $45\ \mathrm{cm^2},△ ABC$ 的面积为 $170-45=125(\mathrm{cm^2})$
解析
【分析】
首先根据已知条件中两个三角形三边对应成比例，可判定$△ ABC$与$△ DBE$相似，相似比为$\frac{5}{3}$。再结合相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解：(1)已知两三角形周长差，可按周长比设参数，列方程求解$△ ABC$的周长；(2)已知两三角形面积和，按面积比为相似比的平方列方程，即可分别求出两个三角形的面积。
【解析】
(1) $\because \frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BE}=\frac{AC}{DE}=\frac{5}{3}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ DBE$，且相似比为$\frac{5}{3}$。
根据相似三角形的周长比等于相似比，得$△ ABC$的周长$:△ DBE$的周长$=5:3$。
设$△ ABC$的周长为$5x\ \mathrm{cm}$，$△ DBE$的周长为$3x\ \mathrm{cm}$。
$\because △ ABC$与$△ DBE$的周长之差为$10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 5x-3x=10$，解得$x=5$。
$\therefore △ ABC$的周长为$5× 5=25(\mathrm{cm})$。
(2) 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得$△ DBE$的面积$:△ ABC$的面积$=3^2:5^2=9:25$。
设$△ DBE$的面积为$S\ \mathrm{cm^2}$，则$△ ABC$的面积为$(170-S)\ \mathrm{cm^2}$。
由题意得$S:(170-S)=9:25$，交叉相乘得$25S=9×(170-S)$，解得$S=45$。
$\therefore △ DBE$的面积为$45\ \mathrm{cm^2}$，$△ ABC$的面积为$170-45=125(\mathrm{cm^2})$。
【答案】
(1) $△ ABC$的周长为$\boldsymbol{25\ \mathrm{cm}}$；
(2) $△ DBE$的面积为$\boldsymbol{45\ \mathrm{cm^2}}$，$△ ABC$的面积为$\boldsymbol{125\ \mathrm{cm^2}}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形周长性质；相似三角形面积性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，核心是结合方程思想，利用相似比和周长比、面积比的对应关系求解，解题时注意不要混淆面积比与相似比的关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.75
首先根据已知条件中两个三角形三边对应成比例，可判定$△ ABC$与$△ DBE$相似，相似比为$\frac{5}{3}$。再结合相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解：(1)已知两三角形周长差，可按周长比设参数，列方程求解$△ ABC$的周长；(2)已知两三角形面积和，按面积比为相似比的平方列方程，即可分别求出两个三角形的面积。
【解析】
(1) $\because \frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BE}=\frac{AC}{DE}=\frac{5}{3}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ DBE$，且相似比为$\frac{5}{3}$。
根据相似三角形的周长比等于相似比，得$△ ABC$的周长$:△ DBE$的周长$=5:3$。
设$△ ABC$的周长为$5x\ \mathrm{cm}$，$△ DBE$的周长为$3x\ \mathrm{cm}$。
$\because △ ABC$与$△ DBE$的周长之差为$10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 5x-3x=10$，解得$x=5$。
$\therefore △ ABC$的周长为$5× 5=25(\mathrm{cm})$。
(2) 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得$△ DBE$的面积$:△ ABC$的面积$=3^2:5^2=9:25$。
设$△ DBE$的面积为$S\ \mathrm{cm^2}$，则$△ ABC$的面积为$(170-S)\ \mathrm{cm^2}$。
由题意得$S:(170-S)=9:25$，交叉相乘得$25S=9×(170-S)$，解得$S=45$。
$\therefore △ DBE$的面积为$45\ \mathrm{cm^2}$，$△ ABC$的面积为$170-45=125(\mathrm{cm^2})$。
【答案】
(1) $△ ABC$的周长为$\boldsymbol{25\ \mathrm{cm}}$；
(2) $△ DBE$的面积为$\boldsymbol{45\ \mathrm{cm^2}}$，$△ ABC$的面积为$\boldsymbol{125\ \mathrm{cm^2}}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形周长性质；相似三角形面积性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，核心是结合方程思想，利用相似比和周长比、面积比的对应关系求解，解题时注意不要混淆面积比与相似比的关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.75
