1 在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm增加了4 cm，则该三角形的中线由原图中的3 cm变成了 （）

A.5 cm
B.6 cm
C.9 cm
D.12 cm

1. C

【分析】
复印前后的两个三角形是相似图形，相似三角形的对应线段（边、中线、高、角平分线等）的比等于相似比。解题时先计算复印后对应边的长度，求出两个三角形的相似比，再结合原中线长度，利用相似三角形对应中线的比等于相似比即可求解。
【解析】
∵ 复印得到的三角形与原三角形相似
首先计算复印后对应边的长度：原边长为2cm，增加了4cm，故复印后对应边长为$2+4=6\ \mathrm{cm}$
∴ 新三角形与原三角形的相似比为$6:2=3:1$
根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，已知原三角形中线长为3cm，设复印后中线长为$x$，则：
$\frac{x}{3}=\frac{3}{1}$
解得$x=9\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
1. 相似图形的性质
2. 相似三角形对应线段的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是明确复印前后图形为相似图形，同时注意审题，区分“增加了”和“增加到”的区别，避免算错对应边长度或搞反相似比。
【难度系数】
0.7

2 教材变式题 若两个相似三角形的对应高之比为2：5，其中小三角形的一条角平分线长是6 cm，则大三角形对应的角平分线长是 cm.

2. 15

【分析】
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线等对应线段的比都等于相似比。本题已知对应高的比为2:5，即可得到两个三角形的相似比（小三角形:大三角形=2:5），再结合相似三角形对应角平分线的比等于相似比，设大三角形对应角平分线长为未知数，列比例式求解即可，注意比的前后项要与相似比的前后项对应，避免颠倒出错。
【解析】
解：
∵相似三角形的对应高之比等于相似比，且两个相似三角形对应高之比为2:5
∴小三角形与大三角形的相似比为2:5
又
∵相似三角形对应角平分线的比等于相似比
设大三角形对应的角平分线长为$x$ cm，已知小三角形对应角平分线长为6 cm
∴可列比例式：$\frac{6}{x}=\frac{2}{5}$
交叉相乘得：$2x=6×5$
解得：$x=15$
【答案】
15
【知识点】
相似三角形对应线段的性质、比例计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形对应线段的性质，解题的关键是明确所有对应线段的比都等于相似比，做题时注意区分大小三角形对应的线段，避免比的前后项颠倒失分。
【难度系数】
0.8

3 教材变式题 如图所示为折叠晾衣架的侧面示意图，AD和CB相交于点O，点A，B之间的距离为1.2米，AB//CD。根据图中的数据可得，点C，D之间的距离是米。

3. 0.96

【分析】
首先根据AB//CD的条件，结合对顶角相等，可判定△OAB与△ODC相似；再根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于对应边的比，已知AB的长度、△OAB的高为1米、△ODC的高为0.8米，代入比例式即可求出CD的长度。
【解析】
∵ AB//CD，
∴ ∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴ △OAB∽△ODC。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比（即对应边的比），可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{1}{0.8}$
将AB=1.2米代入上式：
$\frac{1.2}{CD}=\frac{1}{0.8}$
解得：$CD=1.2×0.8=0.96$（米）
【答案】
0.96
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的晾衣架场景考查相似三角形的实际应用，解题的核心是通过平行线得到相似三角形，再利用相似三角形对应线段成比例列等式求解，属于基础应用题，贴合生活实际，能很好地考查学生对相似三角形性质的应用能力。
【难度系数】
0.75

4 新情境 生活实际 某板凳的示意图如图所示. 其中$BA=CD$,$BC=20\ \mathrm{cm}$,$BC$,$EF$平行于地面$AD$且到地面$AD$的距离分别为$40\ \mathrm{cm}$,$8\ \mathrm{cm}$,为使板凳两腿底端$A$,$D$之间的距离为$50\ \mathrm{cm}$,则横梁$EF$的长应为多少厘米(材质及其厚度等忽略不计)?

4. 如图,过点C作CM//AB,分别交EF,AD于点N,M,过点C作CP⊥AD,分别交EF,AD于点Q,P. 由题意,易得四边形ABCM、四边形EBCN都是平行四边形.
∴ EN=AM=BC=20 cm.
∴ MD=AD-AM=30 cm. 由题意,知CP=40 cm,PQ=8 cm.
∴ CQ=CP-PQ=32 cm.
∵ EF//AD,
∴ 易得△CNF∽△CMD.
∴ $\frac{NF}{MD}=\frac{CQ}{CP}$.
∴ NF=24 cm.
∴ EF=EN+NF=44 cm.
∴ 横梁EF的长应为44 cm.

【分析】
要求横梁EF的长度，可将梯形问题转化为平行四边形和相似三角形问题求解。首先利用BC、EF均平行于AD的条件，过点C作AB的平行线构造平行四边形，将已知BC的长度转化为EN、AM的长度，得到MD的长度；再作AD的垂线得到三角形对应高，由EF//AD可证△CNF∽△CMD，根据相似三角形对应高的比等于相似比求出NF的长度，最终EF为EN与NF之和。
【解析】
解：如图，过点C作CM//AB，分别交EF、AD于点N、M，过点C作CP⊥AD，分别交EF、AD于点Q、P。
∵ BC//AD，CM//AB，
∴ 四边形ABCM是平行四边形，同理四边形EBCN是平行四边形，
∴ EN=AM=BC=20 cm，
∴ MD=AD - AM = 50 - 20 = 30 cm。
由题意可知CP=40 cm，PQ=8 cm，
∴ CQ=CP - PQ = 40 - 8 = 32 cm。
∵ EF//AD，
∴ ∠CNF=∠CMD，∠CFN=∠CDM，
∴ △CNF∽△CMD，
∴ $\frac{NF}{MD}=\frac{CQ}{CP}$，
代入数据得$\frac{NF}{30}=\frac{32}{40}$，解得NF=24 cm，
∴ EF=EN + NF = 20 + 24 = 44 cm。
【答案】
横梁EF的长应为44 cm。

【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的性质，梯形辅助线构造
【点评】
本题结合板凳的生活实际情境命题，将几何知识与生活应用相结合，核心考查学生的几何转化思想，解题关键是正确构造辅助线，将梯形问题转化为熟悉的平行四边形和相似三角形问题求解，需注意相似三角形对应线段的比例关系要对应准确。
【难度系数】
0.7

5 如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5米有一棵树,在河的北岸边每隔50米有一根电线杆,小丽站在离南岸15米的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有四棵树,则河的宽度为米.

(第5题) (第6题)

5. 15

【分析】
首先河的两岸互相平行，可得点P和北岸两根电线杆组成的三角形，与点P和南岸两棵遮挡的树组成的三角形是相似三角形。解题时先算出南岸两棵遮挡树之间的距离，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，列出比例方程求解河宽即可。第一步先确定间隔数计算南岸线段长度，第二步设河宽为未知数，找到两个三角形的对应高，第三步列比例式解方程。
【解析】
解：由题意可知，南岸被遮挡的两棵树之间有4棵树，相邻树间距为5米，因此两棵树的距离为：
$ 5×(4+1)=25\ \mathrm{米} $
设河的宽度为$ x $米，已知点P离南岸15米，则点P离北岸的距离为$ (15+x) $米。
因为河的两岸平行，所以两个三角形相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$ \frac{25}{50}=\frac{15}{15+x} $
交叉相乘得：$ 25(15+x)=50×15 $
化简得：$ 15+x=30 $
解得：$ x=15 $
【答案】
15
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的应用类题目，解题的核心是结合平行线的性质找到相似三角形，明确相似三角形对应线段的比例关系，结合已知条件列方程求解即可，易错点是容易搞错点P到北岸的距离的表达式。
【难度系数】
0.7

6 分类讨论思想 如图,在$△ ABC$中,$AB=8$,$BC=7$,$AC=6$,点$D$,$E$分别在$AB$,$AC$上.若以$A$,$D$,$E$为顶点的三角形和$△ ABC$相似,且对应角平分线的比为$1:4$,则$AD$的长为.

6. 2或1.5
【解析】当$△ ADE ∽ △ ABC$时,由对应角平分线的比等于相似比,可得相似比为$\frac{1}{4}$. $\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$. $\therefore AD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4} × 8=2$. 当$△ AED ∽ △ ABC$时,易得$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{4}$.
$\therefore AD=\frac{1}{4}AC=\frac{1}{4} × 6=1.5$. 综上所述,$AD$的长为2或1.5.

【分析】
本题没有明确两个相似三角形的对应顶点，因此首先要分类讨论两种不同的相似对应情况；再根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，得到相似比为$\frac{1}{4}$，最后结合两种对应情况分别列出边的比例式，代入已知边长求解AD的长度即可。
【解析】
∵以A，D，E为顶点的三角形和$△ ABC$相似，且对应角平分线的比为$1:4$，
∴两个三角形的相似比为$\frac{1}{4}$，分两种情况讨论：
① 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$，
已知$AB=8$，代入计算得$AD=\frac{1}{4} × 8=2$；
② 当$△ AED ∽ △ ABC$时，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{4}$，
已知$AC=6$，代入计算得$AD=\frac{1}{4} × 6=1.5$。
综上所述，AD的长为2或1.5。
【答案】
2或1.5
【知识点】
相似三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略相似三角形对应关系不唯一的情况，仅考虑一种相似情形导致漏解，解题时要结合图形分析所有可能的对应情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

7 教材变式题 如图,在$△ ABC$中,$BC=8$,$AD$是边$BC$上的高,$AD=12$,点$E,F$分别在$AB,AC$上滑动(不与点$B,C$重合),且$EF// BC$,以$EF$为一边作$△ ABC$的内接矩形$EFGH$.
(1)当$EF$在什么位置时,矩形$EFGH$的邻边之比是$1:2$?
(2)当$EF$在什么位置时,矩形$EFGH$是正方形?

7. (1) 设AD和EF交于点P,EF=x,EH=y,则AP=AD-DP=AD-EH=12-y. $\because EF // BC$, $\therefore$ 易得$△ AEF ∽ △ ABC$. $\therefore \frac{AP}{AD}=\frac{EF}{BC}$,即$\frac{12-y}{12}=\frac{x}{8}$,整理,得$3x+2y=24$. 当$x:y=1:2$,即$y=2x$时,代入上式可得$y=\frac{48}{7}$;当$x:y=2:1$,即$x=2y$时,代入上式可得$y=3$. $\therefore$ 当EF与BC之间的距离为3或$\frac{48}{7}$时,矩形EFGH的邻边之比为$1:2$ (2) 当矩形EFGH为正方形时,由(1)可知$x=y$,代入$3x+2y=24$,解得$y=4.8$,即当EF与BC之间的距离为4.8时,矩形EFGH为正方形

【分析】
本题可通过相似三角形的性质求解，解题思路如下：
1. 由$EF// BC$可判定$△ AEF ∽ △ ABC$，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得到$EF$、矩形的高$EH$与已知$BC$、$AD$的数量关系；
2. 第(1)问矩形邻边比为$1:2$，需分$EF:EH=1:2$和$EF:EH=2:1$两种情况，代入上述数量关系求解$EH$的值，$EH$的长度就是$EF$到$BC$的距离；
3. 第(2)问正方形的邻边相等，即$EF=EH$，代入数量关系求解即可。
【解析】
设$AD$与$EF$交于点$P$，设$EF=x$，矩形的边$EH=y$，则$DP=EH=y$，因此$△ AEF$的高$AP=AD-DP=12-y$。
$\because EF// BC$，$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{AP}{AD}=\frac{EF}{BC}$，
代入$BC=8$，$AD=12$，得$\frac{12-y}{12}=\frac{x}{8}$，
整理得：$3x+2y=24$。
(1) 矩形邻边比为$1:2$，分两种情况：
① 当$EF:EH=1:2$，即$y=2x$，代入$3x+2y=24$，解得$y=\frac{48}{7}$，即$EF$到$BC$的距离为$\frac{48}{7}$；
② 当$EF:EH=2:1$，即$x=2y$，代入$3x+2y=24$，解得$y=3$，即$EF$到$BC$的距离为$3$。
(2) 当矩形$EFGH$为正方形时，$EF=EH$，即$x=y$，代入$3x+2y=24$，解得$y=4.8$，即$EF$到$BC$的距离为$4.8$。
【答案】
(1) 当$EF$与$BC$之间的距离为$3$或$\frac{48}{7}$时，矩形$EFGH$的邻边之比为$1:2$；
(2) 当$EF$与$BC$之间的距离为$4.8$时，矩形$EFGH$为正方形。
【知识点】
相似三角形的性质，矩形的性质，正方形的性质
【点评】
本题是相似三角形的几何应用问题，解题核心是利用相似三角形对应高的比等于相似比建立边长的等量关系，需注意邻边比为$1:2$时存在两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6