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三、解答题
11 [2025 阜阳界首期末]如图,点 C,D 在线段 AB 上,△CDP 是等边三角形,且 AC=2, CD=3, BD=$\frac{9}{2}$. 求证:△ACP∽△PDB.
11 [2025 阜阳界首期末]如图,点 C,D 在线段 AB 上,△CDP 是等边三角形,且 AC=2, CD=3, BD=$\frac{9}{2}$. 求证:△ACP∽△PDB.
答案
11. $\because △ CDP$ 是等边三角形, $\therefore PC = PD = CD = 3$,
$∠ PCD = ∠ PDC = 60°. \therefore ∠ ACP = 180° - ∠ PCD = 120°$,
$∠ PDB = 180° - ∠ PDC = 120°. \therefore ∠ ACP = ∠ PDB. \because \frac{AC}{PD} = \frac{2}{3},\frac{PC}{BD} = \frac{3}{\frac{9}{2}} = \frac{2}{3}, \therefore \frac{AC}{PD} = \frac{PC}{BD}. \therefore △ ACP ∽ △ PDB$
$∠ PCD = ∠ PDC = 60°. \therefore ∠ ACP = 180° - ∠ PCD = 120°$,
$∠ PDB = 180° - ∠ PDC = 120°. \therefore ∠ ACP = ∠ PDB. \because \frac{AC}{PD} = \frac{2}{3},\frac{PC}{BD} = \frac{3}{\frac{9}{2}} = \frac{2}{3}, \therefore \frac{AC}{PD} = \frac{PC}{BD}. \therefore △ ACP ∽ △ PDB$
解析
【分析】
要证明△ACP∽△PDB，可选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先结合等边三角形的性质，得到相等的角和对应边的长度：等边三角形三边相等，内角均为60°，由此可推出∠ACP和∠PDB这组夹角相等，同时得到PC、PD的长度；接下来计算两组对应边的比值，验证AC与PD的比、PC与BD的比是否相等；若比值相等，结合已得到的等角，即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ △CDP是等边三角形，
∴ PC = PD = CD = 3，∠PCD = ∠PDC = 60°，
∴ ∠ACP = 180° - ∠PCD = 120°，∠PDB = 180° - ∠PDC = 120°，
∴ ∠ACP = ∠PDB，
∵ $\frac{AC}{PD}=\frac{2}{3}$，$\frac{PC}{BD}=\frac{3}{\frac{9}{2}}=\frac{2}{3}$，
∴ $\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$，
∴ △ACP ∽ △PDB。
【答案】
$\because △ CDP$ 是等边三角形, $\therefore PC = PD = CD = 3$,
$∠ PCD = ∠ PDC = 60°. \therefore ∠ ACP = 180° - ∠ PCD = 120°$,
$∠ PDB = 180° - ∠ PDC = 120°. \therefore ∠ ACP = ∠ PDB. \because \frac{AC}{PD} = \frac{2}{3},\frac{PC}{BD} = \frac{3}{\frac{9}{2}} = \frac{2}{3}, \therefore \frac{AC}{PD} = \frac{PC}{BD}. \therefore △ ACP ∽ △ PDB$
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 相似三角形的判定
3. 邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是先通过等边三角形的性质得到相等的夹角和对应边长度，再验证对应边成比例，结合相似三角形的判定定理即可得证，解题时要注意找准相似三角形的对应边和对应夹角，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.8
要证明△ACP∽△PDB，可选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先结合等边三角形的性质，得到相等的角和对应边的长度：等边三角形三边相等，内角均为60°，由此可推出∠ACP和∠PDB这组夹角相等，同时得到PC、PD的长度；接下来计算两组对应边的比值，验证AC与PD的比、PC与BD的比是否相等；若比值相等，结合已得到的等角，即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ △CDP是等边三角形，
∴ PC = PD = CD = 3，∠PCD = ∠PDC = 60°，
∴ ∠ACP = 180° - ∠PCD = 120°，∠PDB = 180° - ∠PDC = 120°，
∴ ∠ACP = ∠PDB，
∵ $\frac{AC}{PD}=\frac{2}{3}$，$\frac{PC}{BD}=\frac{3}{\frac{9}{2}}=\frac{2}{3}$，
∴ $\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$，
∴ △ACP ∽ △PDB。
【答案】
$\because △ CDP$ 是等边三角形, $\therefore PC = PD = CD = 3$,
$∠ PCD = ∠ PDC = 60°. \therefore ∠ ACP = 180° - ∠ PCD = 120°$,
$∠ PDB = 180° - ∠ PDC = 120°. \therefore ∠ ACP = ∠ PDB. \because \frac{AC}{PD} = \frac{2}{3},\frac{PC}{BD} = \frac{3}{\frac{9}{2}} = \frac{2}{3}, \therefore \frac{AC}{PD} = \frac{PC}{BD}. \therefore △ ACP ∽ △ PDB$
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 相似三角形的判定
3. 邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是先通过等边三角形的性质得到相等的夹角和对应边长度，再验证对应边成比例，结合相似三角形的判定定理即可得证，解题时要注意找准相似三角形的对应边和对应夹角，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.8
12 如图①,在边长为1的$5×5$的正方形网格上有两个格点三角形(顶点都在格点上).
(1) $△ ABC$与$△ DEF$ 是否相似?
(2) 请在图②③④中画出与$△ ABC$相似的格点三角形.
(1) $△ ABC$与$△ DEF$ 是否相似?
(2) 请在图②③④中画出与$△ ABC$相似的格点三角形.
答案
12. (1) 易得 $DE = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$, $DF = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$,
$EF=5, AB=\sqrt{2}, AC=2, BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}, \therefore \frac{DE}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2},\frac{DF}{AC} = \frac{\sqrt{10}}{2},\frac{EF}{BC} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}. \therefore \frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = \frac{EF}{BC}.$
$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$
(2)
解析
【分析】
(1) 判断两个格点三角形是否相似，可依据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解：先利用勾股定理分别计算两个三角形所有边的长度，再验证三组对应边的比值是否相等，若相等则两三角形相似。
(2) 画相似格点三角形时，先明确△ABC的三边长度比，再选择合适的相似比，结合网格特点用勾股定理确定新三角形的顶点位置，保证新三角形三边与△ABC三边比值相等即可。
【解析】
(1) 利用勾股定理计算两个三角形的各边长：
对于$△ DEF$：$DE = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$，$DF = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$，$EF=5$；
对于$△ ABC$：$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=2$，$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
计算对应边的比值：
$\frac{DE}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{DF}{AC} = \frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{EF}{BC} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$，
因此$\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = \frac{EF}{BC}$，根据相似三角形的判定定理，可得$△ ABC ∽ △ DEF$。
(2) $△ ABC$的三边比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，选择合适的相似比，结合网格绘制符合比例的格点三角形即可，示例如下：
【答案】
(1) $△ ABC$与$△ DEF$相似；
(2)
【知识点】
勾股定理，相似三角形判定，格点作图
【点评】
本题结合网格考查相似三角形的判定与作图，核心是掌握用勾股定理计算格点线段长度的方法，以及三边成比例判定相似的规则，作图时只需保证新三角形与原三角形三边比值相等即可，对学生的计算能力和作图能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
(1) 判断两个格点三角形是否相似，可依据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解：先利用勾股定理分别计算两个三角形所有边的长度，再验证三组对应边的比值是否相等，若相等则两三角形相似。
(2) 画相似格点三角形时，先明确△ABC的三边长度比，再选择合适的相似比，结合网格特点用勾股定理确定新三角形的顶点位置，保证新三角形三边与△ABC三边比值相等即可。
【解析】
(1) 利用勾股定理计算两个三角形的各边长：
对于$△ DEF$：$DE = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$，$DF = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$，$EF=5$；
对于$△ ABC$：$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=2$，$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
计算对应边的比值：
$\frac{DE}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{DF}{AC} = \frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{EF}{BC} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$，
因此$\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = \frac{EF}{BC}$，根据相似三角形的判定定理，可得$△ ABC ∽ △ DEF$。
(2) $△ ABC$的三边比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，选择合适的相似比，结合网格绘制符合比例的格点三角形即可，示例如下：
【答案】
(1) $△ ABC$与$△ DEF$相似；
(2)
【知识点】
勾股定理，相似三角形判定，格点作图
【点评】
本题结合网格考查相似三角形的判定与作图，核心是掌握用勾股定理计算格点线段长度的方法，以及三边成比例判定相似的规则，作图时只需保证新三角形与原三角形三边比值相等即可，对学生的计算能力和作图能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
13 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是△ABC 的中线,AE⊥CD,EF//CB.
(1) 求证:△ACE∽△BAC;
(2) 若 AC=√5,CE=1,求 BD 及 EF 的长.
(1) 求证:△ACE∽△BAC;
(2) 若 AC=√5,CE=1,求 BD 及 EF 的长.
答案
13. (1) $\because ∠ ACB=90°$,CD 是$△ ABC$ 的中线, $\therefore$ 易得 $BD=AD=CD. \therefore ∠ CAD = ∠ ACD. \because AE ⊥ CD, \therefore ∠ AEC = ∠ ACB = 90°. \therefore ∠ ACD + ∠ CAE = 90° = ∠ CAD + ∠ B. \therefore ∠ CAE = ∠ B. \therefore △ ACE ∽ △ BAC$
(2) $\because △ ACE ∽ △ BAC, \therefore \frac{AC}{BA} = \frac{CE}{AC}$,即$\frac{\sqrt{5}}{BA} = \frac{1}{\sqrt{5}}. \therefore AB=5. \because CD$ 是$△ ABC$的中线, $\therefore BD=AD=CD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}. \therefore DE=DC-EC=\frac{3}{2}.$ 在 $Rt△ ABC$ 中,由勾股定理,得 $BC=\sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}.$
$\because EF // BC, \therefore$ 易得$△ DEF ∽ △ DCB. \therefore \frac{DE}{DC} = \frac{EF}{CB}$,即$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{EF}{2\sqrt{5}}. \therefore EF=\frac{6\sqrt{5}}{5}$
(2) $\because △ ACE ∽ △ BAC, \therefore \frac{AC}{BA} = \frac{CE}{AC}$,即$\frac{\sqrt{5}}{BA} = \frac{1}{\sqrt{5}}. \therefore AB=5. \because CD$ 是$△ ABC$的中线, $\therefore BD=AD=CD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}. \therefore DE=DC-EC=\frac{3}{2}.$ 在 $Rt△ ABC$ 中,由勾股定理,得 $BC=\sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}.$
$\because EF // BC, \therefore$ 易得$△ DEF ∽ △ DCB. \therefore \frac{DE}{DC} = \frac{EF}{CB}$,即$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{EF}{2\sqrt{5}}. \therefore EF=\frac{6\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
(1) 要证明△ACE∽△BAC，优先用“两角对应相等的两个三角形相似”判定：两个三角形均有直角，已有一组等角，只需再证一组锐角相等即可。结合直角三角形斜边中线的性质可得等角，再利用同角的余角相等推出另一组对应角相等，即可完成证明。
(2) 先借助(1)的相似结论，通过对应边成比例求出AB的长度，再根据直角三角形斜边中线的性质求出BD的长；随后用勾股定理求出BC的长度，结合EF//BC得到新的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例即可求出EF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，
∴BD=AD=CD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴∠CAD = ∠ACD。
∵AE⊥CD，
∴∠AEC = ∠ACB = 90°，
∴∠ACD + ∠CAE = 90°，∠CAD + ∠B = 90°，
∴∠CAE = ∠B，
∴△ACE∽△BAC（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) 解：
∵△ACE∽△BAC，
∴$\frac{AC}{BA} = \frac{CE}{AC}$，代入$AC=\sqrt{5}$，$CE=1$得：
$\frac{\sqrt{5}}{BA} = \frac{1}{\sqrt{5}}$，解得$AB=5$。
∵CD是△ABC的中线，
∴$BD=AD=CD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，
∴$DE=DC-EC=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}$。
∵EF//BC，
∴△DEF∽△DCB（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∴$\frac{DE}{DC} = \frac{EF}{CB}$，代入数值：
$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{EF}{2\sqrt{5}}$，解得$EF=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $BD=\frac{5}{2}$，$EF=\frac{6\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将直角三角形的性质和相似三角形的判定、性质结合考查，解题的关键是灵活运用已证的相似结论推导后续线段关系，掌握相似三角形对应边成比例是求解线段长度的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ACE∽△BAC，优先用“两角对应相等的两个三角形相似”判定：两个三角形均有直角，已有一组等角，只需再证一组锐角相等即可。结合直角三角形斜边中线的性质可得等角，再利用同角的余角相等推出另一组对应角相等，即可完成证明。
(2) 先借助(1)的相似结论，通过对应边成比例求出AB的长度，再根据直角三角形斜边中线的性质求出BD的长；随后用勾股定理求出BC的长度，结合EF//BC得到新的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例即可求出EF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，
∴BD=AD=CD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴∠CAD = ∠ACD。
∵AE⊥CD，
∴∠AEC = ∠ACB = 90°，
∴∠ACD + ∠CAE = 90°，∠CAD + ∠B = 90°，
∴∠CAE = ∠B，
∴△ACE∽△BAC（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) 解：
∵△ACE∽△BAC，
∴$\frac{AC}{BA} = \frac{CE}{AC}$，代入$AC=\sqrt{5}$，$CE=1$得：
$\frac{\sqrt{5}}{BA} = \frac{1}{\sqrt{5}}$，解得$AB=5$。
∵CD是△ABC的中线，
∴$BD=AD=CD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，
∴$DE=DC-EC=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}$。
∵EF//BC，
∴△DEF∽△DCB（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∴$\frac{DE}{DC} = \frac{EF}{CB}$，代入数值：
$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{EF}{2\sqrt{5}}$，解得$EF=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $BD=\frac{5}{2}$，$EF=\frac{6\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将直角三角形的性质和相似三角形的判定、性质结合考查，解题的关键是灵活运用已证的相似结论推导后续线段关系，掌握相似三角形对应边成比例是求解线段长度的核心。
【难度系数】
0.7
14 如图,在三角形纸片$ABC$中,$∠ BAC = 90°$,D是斜边BC上一点,将$△ ACD$沿AD折叠,使点C落在点F处,$DF ⊥ AB$于点E.
(1) 求证:$△ DEB ∽ △ FEA$;
(2) 若$AC = 6$,$AB = 8$,$BD = 4$,求BE的长.
(1) 求证:$△ DEB ∽ △ FEA$;
(2) 若$AC = 6$,$AB = 8$,$BD = 4$,求BE的长.
答案
14. (1) $\because ∠ BAC=90°, \therefore ∠ B + ∠ C = 90°. \because DF ⊥ AB, \therefore ∠ B + ∠ EDB = 90°. \therefore ∠ C = ∠ EDB.$ 由折叠的性质可知, $∠ C = ∠ F, \therefore ∠ EDB = ∠ F.$ 又 $\because ∠ DEB = ∠ FEA, \therefore △ DEB ∽ △ FEA$
(2) 由(1)知, $∠ F = ∠ EDB, ∠ C = ∠ EDB, \therefore AF // CD, AC // DF. \therefore$ 四边形 ACDF 是平行四边形.由折叠的性质,得 $AC = AF, \therefore$ 四边形 ACDF 是菱形.
$\therefore AF=CD=AC=6.$ 由(1)知, $△ DEB ∽ △ FEA, \therefore \frac{AF}{BD} = \frac{AE}{BE}. \because BD=4, AB=8, \therefore \frac{6}{4} = \frac{8-BE}{BE}. \therefore BE=\frac{16}{5}$
(2) 由(1)知, $∠ F = ∠ EDB, ∠ C = ∠ EDB, \therefore AF // CD, AC // DF. \therefore$ 四边形 ACDF 是平行四边形.由折叠的性质,得 $AC = AF, \therefore$ 四边形 ACDF 是菱形.
$\therefore AF=CD=AC=6.$ 由(1)知, $△ DEB ∽ △ FEA, \therefore \frac{AF}{BD} = \frac{AE}{BE}. \because BD=4, AB=8, \therefore \frac{6}{4} = \frac{8-BE}{BE}. \therefore BE=\frac{16}{5}$
解析
【分析】
(1) 要证明△DEB∽△FEA，需找两组对应角相等：首先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合DF⊥AB的条件，推导得到∠C=∠EDB，再根据折叠的性质得∠C=∠F，可得∠EDB=∠F，最后结合对顶角∠DEB=∠FEA，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”完成证明。
(2) 先由角的等量关系推导AC//DF、AF//CD，得四边形ACDF是平行四边形，再结合折叠性质AC=AF，判定四边形ACDF是菱形，得AF=CD=AC=6，再利用(1)中相似三角形的对应边成比例，代入已知边长列方程即可求解BE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ BAC=90°$，
∴ $∠ B + ∠ C = 90°$。
∵ $DF⊥ AB$，
∴ $∠ BED=90°$，
∴ $∠ B + ∠ EDB = 90°$，
∴ $∠ C = ∠ EDB$。
由折叠的性质可知，$∠ C = ∠ F$，
∴ $∠ EDB = ∠ F$。
又
∵ $∠ DEB = ∠ FEA$（对顶角相等），
∴ $△ DEB ∽ △ FEA$。
(2) 解：由(1)知$∠ C = ∠ EDB$，
∴ $AC// DF$（同位角相等，两直线平行），
$∠ F = ∠ EDB$，
∴ $AF// BC$（内错角相等，两直线平行），
∴ 四边形ACDF是平行四边形。
由折叠的性质得$AC = AF$，
∴ 平行四边形ACDF是菱形，
∴ $AF=CD=AC=6$。
∵ $△ DEB ∽ △ FEA$，
∴ $\frac{AF}{BD} = \frac{AE}{BE}$。
已知$BD=4$，$AB=8$，$AE = AB - BE = 8 - BE$，代入得：
$\frac{6}{4} = \frac{8 - BE}{BE}$，
交叉相乘得：$6BE = 4(8 - BE)$，
整理得$10BE=32$，
解得$BE=\frac{16}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $BE=\frac{16}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，折叠的性质，菱形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，将折叠变换、相似三角形、特殊四边形的判定结合考查，解题的核心是抓住折叠前后对应角、对应边相等的性质，通过角的等量关系推导平行关系、相似关系，再结合比例式列方程求解，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△DEB∽△FEA，需找两组对应角相等：首先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合DF⊥AB的条件，推导得到∠C=∠EDB，再根据折叠的性质得∠C=∠F，可得∠EDB=∠F，最后结合对顶角∠DEB=∠FEA，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”完成证明。
(2) 先由角的等量关系推导AC//DF、AF//CD，得四边形ACDF是平行四边形，再结合折叠性质AC=AF，判定四边形ACDF是菱形，得AF=CD=AC=6，再利用(1)中相似三角形的对应边成比例，代入已知边长列方程即可求解BE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ BAC=90°$，
∴ $∠ B + ∠ C = 90°$。
∵ $DF⊥ AB$，
∴ $∠ BED=90°$，
∴ $∠ B + ∠ EDB = 90°$，
∴ $∠ C = ∠ EDB$。
由折叠的性质可知，$∠ C = ∠ F$，
∴ $∠ EDB = ∠ F$。
又
∵ $∠ DEB = ∠ FEA$（对顶角相等），
∴ $△ DEB ∽ △ FEA$。
(2) 解：由(1)知$∠ C = ∠ EDB$，
∴ $AC// DF$（同位角相等，两直线平行），
$∠ F = ∠ EDB$，
∴ $AF// BC$（内错角相等，两直线平行），
∴ 四边形ACDF是平行四边形。
由折叠的性质得$AC = AF$，
∴ 平行四边形ACDF是菱形，
∴ $AF=CD=AC=6$。
∵ $△ DEB ∽ △ FEA$，
∴ $\frac{AF}{BD} = \frac{AE}{BE}$。
已知$BD=4$，$AB=8$，$AE = AB - BE = 8 - BE$，代入得：
$\frac{6}{4} = \frac{8 - BE}{BE}$，
交叉相乘得：$6BE = 4(8 - BE)$，
整理得$10BE=32$，
解得$BE=\frac{16}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $BE=\frac{16}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，折叠的性质，菱形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，将折叠变换、相似三角形、特殊四边形的判定结合考查，解题的核心是抓住折叠前后对应角、对应边相等的性质，通过角的等量关系推导平行关系、相似关系，再结合比例式列方程求解，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
