13.（真题·温州）设 $ S = \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}} + \dots + \sqrt{1+\frac{1}{2024^2}+\frac{1}{2025^2}} $，则与 $ S $ 最接近的整数是 ______。

2025
解析:因为n为任意正整数,所以$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2(n+1)^2}{n^2(n+1)^2}+\frac{(n+1)^2}{n^2(n+1)^2}+\frac{n^2}{n^2(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2}+\frac{n^2}{n^2(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+2n(n+1)×1+1^2}{n^2(n+1)^2}}=\sqrt{[\frac{n^2+n+1}{n(n+1)}]^2}=1+\frac{1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。所以$S=1+1-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+1+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}=2025-\frac{1}{2025}=2024\frac{2024}{2025}$。所以与S最接近的整数是2025。故答案为:2025。

14.阅读下面材料:
我们在学习二次根式时,熟悉的是分母有理化以及应用,其实,还有一个方法叫作“分子有理化”,与分母有理化类似,分母和分子都乘分子的有理化因式,从而消掉分子中的根式。比如:
,分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题。例如:比较$\sqrt{7}-\sqrt{6}$和$\sqrt{6}-\sqrt{5}$的大小可以先将它们分子有理化如下:$\sqrt{7}-\sqrt{6}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}},\sqrt{6}-\sqrt{5}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$,因为$\sqrt{7}+\sqrt{6}＞\sqrt{6}+\sqrt{5}$,所以$\sqrt{7}-\sqrt{6}＜\sqrt{6}-\sqrt{5}$。再例如:求$y=\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}$的最大值。做法如下:解:由$x+2≥0,x-2≥0$可知$x≥2$,而$y=\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}=\frac{4}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}$,当$x=2$时,分母$\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}$有最小值2,所以$y$的最大值是2。
解决下述问题:
(1)由材料可知，$\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$。
(2)比较$3\sqrt{2}-4$和$2\sqrt{3}-\sqrt{10}$的大小。
(3)式子$y=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-\sqrt{x}$的最小值是________。

(1)$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
(2)$3\sqrt{2}-4=\frac{(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)}{3\sqrt{2}+4}=\frac{2}{3\sqrt{2}+4}$,$2\sqrt{3}-\sqrt{10}=\frac{(2\sqrt{3}+\sqrt{10})(2\sqrt{3}-\sqrt{10})}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}=\frac{2}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}$,而$3\sqrt{2}＞2\sqrt{3},4＞\sqrt{10}$,所以$3\sqrt{2}+4＞2\sqrt{3}+\sqrt{10}$,所以$3\sqrt{2}-4＜2\sqrt{3}-\sqrt{10}$。
(3)$\sqrt{2}-1$ 解析:由$1-x≥0,1+x≥0,x≥0$得$0≤x≤1$,$y=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-\sqrt{x}=\sqrt{1-x}+\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}$,当$x=1$时,$\sqrt{1+x}+\sqrt{x}$有最大值,$\sqrt{1-x}$有最小值0,则$\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}$有最小值$\sqrt{2}-1$,所以y的最小值为$\sqrt{2}-1$。