11.(真题·绍兴越城)将3个相同的矩形按如图所示摆放在菱形ABCD中,根据拼图可得以下三个结论:①∠B=45°;②矩形的长是宽的$\sqrt{2}$倍;③当菱形面积为$4\sqrt{2}$时,则每个矩形的周长为6。上述结论中正确的有……（）

A.①
B.①②
C.②③
D.①②③

B
解析:如图,左侧的矩形为EFGH,则A,H,G三点共线,∠AHE=∠AGB=90°。因为3个矩形相同,所以AG=EH+HG,所以AH=AG-HG=EH+HG-HG=EH,所以∠HAE=∠HEA=45°,所以∠B=45°,故①正确,所以设FG=a,EF=b,AG=BG=a+b,BC=a+2b,所以AB=√2 AG=√2(a+b),因为ABCD为菱形,所以AB=BC,所以a+2b=√2(a+b),所以a=√2 b,故②正确,设BF=EF=CG=x,所以AG=(√2+1)x,BC=(2+√2)x,因为菱形面积为4√2,所以AG·BC=(√2+1)x×(2+√2)x=(3√2+4)x²=4√2,解得x=2√2-2(负值舍),每个矩形的周长=[(2√2-2)+(4-2√2)]×2=4≠6,故③错误,故选:B。

12.(真题·台州路桥)【基础巩固】如图1,在正方形ABCD中,点E在AB的延长线上,连结DE,过点D作DG⊥DE交BC的延长线于点G。求证:DE=DG。
【尝试应用】如图2,在菱形ABCD中,点E在AB的延长线上,连结DE,以点D为顶点作∠EDG=∠BAD,DG交BC的延长线于点G。求证:DE=DG。
【拓展提升】如图3,在矩形ABCD中,$\frac{AB}{AD}=\frac{5}{12}$,点E在边AD上,点F在AB的延长线上,连结BD,EF,BE,过点C作CG//BD,以点E为顶点作∠FEG=∠FBD,EG交CG于点G,过点E作EM⊥BD于点M。若DE=2,求EM的长。

【基础巩固】证明:因为四边形ABCD是正方形,所以AD=CD,∠DAE=∠DCG=∠ADC=90°,因为DG⊥DE,所以∠ADE=90°-∠CDE=∠CDG,在△DAE和△DCG中,
$\begin{cases}∠DAE=∠DCG,\\AD=CD,\\∠ADE=∠CDG,\end{cases}$
所以△DAE≌△DCG(ASA),所以DE=DG。
【尝试应用】证明:如图,以点D为圆心,CD为半径画圆弧交CG于点F,连结DF,则DF=CD,∠DCF=∠DFC,所以∠DCB=∠DFG,因为四边形ABCD是菱形,所以AD=CD=DF,∠A=∠DCB=∠DFG,所以AD//BC,∠ADF=∠DFG,所以AD=DF,因为∠EDG=∠BAD,所以∠EDG=∠ADF,所以∠ADE=∠FDG。在△DAE和△DFG中,
$\begin{cases}∠A=∠DFG,\\AD=DF,\\∠ADE=∠FDG,\end{cases}$
所以△DAE≌△DFG(ASA),所以DE=DG。
【拓展提升】因为$\frac{AB}{AD}=\frac{5}{12}$,所以设AB=5m,AD=12m,根据勾股定理,$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=13m$。根据题意可知,AB,EM分别是△BED底边DE,BD上的高,所以$S_{△BED}=\frac{1}{2}ED·AB=\frac{1}{2}BD·EM$,所以$EM=\frac{ED·AB}{BD}=\frac{2×5m}{13m}=\frac{10}{13}$。