1.某水库大坝的横断面是梯形，坝内一斜坡的坡度$i=1:\sqrt{3}$，则这个斜坡的坡角为（）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$

1.A

2.[跨学科·物理]一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下（OG⊥AD），支持力N的方向与斜面垂直（ON⊥AB），摩擦力f的方向与斜面平行（OC//AB）。若摩擦力f与重力G方向的夹角∠1=120°，则斜面的坡角∠2的度数是（）

A.30°
B.35°
C.40°
D.45°

第2题图 第3题图

2.A

3.如图,斜坡AB长为100 m,坡角∠ABC=30°,现因“改小坡度”工程的需要,将斜坡AB改造成坡度i=1:5的斜坡BD(A,D,C三点在地面的同一条垂线上),那么由点A到点D下降了m.(结果保留根号)

3.$(50-10\sqrt{3})$ [解析]在$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ABC=30°$，$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=50\ \mathrm{m}$，$BC=AB·\cos∠ ABC=50\sqrt{3}\ \mathrm{m}$.$\because$ 斜坡 BD 的坡度 $i=1:5$，$\therefore DC:BC=1:5$，$\therefore DC=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，则 $AD=(50-10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$.

4.速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知$CD// EG$，滑台的高DG为6 m，且坡面BC的坡度为1：1，为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面的坡角$∠ CAG=37°$.(参考数据：$\sin 37°\approx\frac{3}{5}$，$\cos 37°\approx\frac{4}{5}$，$\tan 37°\approx\frac{3}{4}$)
(1)求新坡面AC的长；
(2)原坡面底部BG的正前方10 m处($EB=10$ m)是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7 m，请问
新的设计方案是否符合规定，试说明理由.

4.解:(1)如图,过点 C 作 $CH ⊥ BG$,垂足为 H.$\because$ 新坡面 AC 的坡角 $∠ CAG=37°$,$\therefore \tan∠ CAH=\frac{3}{4}=\frac{CH}{AH}$.$\because CH=DG=6\ \mathrm{m}$,$\therefore AH=\frac{6}{\frac{3}{4}}=8\ (\mathrm{m})$,$\therefore AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ (\mathrm{m})$,$\therefore$ 新坡面 AC 的长为 10 m.
(2)新的设计方案符合规定.理由如下:$\because$坡面 BC 的坡度为$1:1$,$\therefore BH=CH=6\ \mathrm{m}$,$\therefore AB=AH-BH=8-6=2\ (\mathrm{m})$,$\therefore AE=EB-AB=10-2=8\ (\mathrm{m})＞7\ \mathrm{m}$,$\therefore$新的设计方案符合规定.

5.若正比例函数 $ y = kx $ 与x轴正半轴的夹角为 $ 45° $，则k的值为。

5.1

6.[跨学科·物理]如图，一束光线从点A(m,5)出发，经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(p,q)，入射光线与y轴正方向的夹角为α，且$\tanα=\frac{1}{2}$，则$p+\frac{1}{2}q$的值是。

6.$\frac{1}{2}$ [解析]如图,过点 A 作 $AD⊥ y$ 轴于点 D,则 $AD=m$,$DO=5$.$\because B(0,1)$,$\therefore OB=1$,$\therefore DB=4$.$\because \tanα=\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$,$\therefore AD=m=2$,$\therefore$ 点 A 的坐标为 $(2,5)$,$\therefore$点A 关于直线 $y=1$ 对称的点的坐标为$(2,-3)$,$\therefore$ 点 $(2,-3)$,$(0,1)$ 在直线 BC 上.设直线 BC 的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$,$\therefore \begin{cases}2k+b=-3,\\b=1,\end{cases}$$\therefore \begin{cases}k=-2,\\b=1,\end{cases}$ $\therefore$ 直线 BC 的表达式为 $y=-2x+1$.$\because$ 点 $C(p,q)$ 在直线 BC 上,$\therefore -2p+1=q$,$\therefore 2p+q=1$,$\therefore p+\frac{q}{2}=\frac{1}{2}$.故答案为 $\frac{1}{2}$.

7.如图,一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时,AB=2 m,木箱高BE=1 m,斜面坡角为α,则木箱端点E距地面AC的高度表示为 ()

A.$(\dfrac{1}{\cosα}+2\sinα)\mathrm{m}$
B.$(2\cosα+\sinα)\mathrm{m}$
C.$(\cosα+2\sinα)\mathrm{m}$
D.$(\tanα+2\sinα)\mathrm{m}$

第7题图 第8题图

7.C [解析]过 E 作 $EN⊥ AC$ 于 N,交 AB 于M,过 B 作 $BG⊥ AC$ 于 G,$BH⊥ EN$ 于H,如图所示,则四边形 BHNG 是矩形,$\therefore HN=BG$.在 $\mathrm{Rt}△ ABG$ 中,$∠ BAG=α$,$\sin∠ BAG=\frac{BG}{AB}$,$\therefore BG=AB·\sin∠ BAG=2\sinα\ (\mathrm{m})$,$\therefore HN=2\sinα\ (\mathrm{m})$.$\because ∠ EBM=∠ ANM=90°$,$∠ BME=∠ AMN$,$\therefore ∠ BEM=∠ MAN=α$. 在 $\mathrm{Rt}△ EHB$ 中,$∠ BEM=α$,$BE=1\ \mathrm{m}$,$\because \cos∠ BEM=\frac{EH}{BE}$,$\therefore EH=BE·\cos∠ BEM=1×\cosα=\cosα(\mathrm{m})$,$\therefore EN=EH+HN=(\cosα+2\sinα)\mathrm{m}$,即木箱端点 E 距地面 AC 的高度为 $(\cosα+2\sinα)\mathrm{m}$.

8.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1:2,坡顶有一旗杆BC,顶端B点与A点有一条彩带相连,已知$CD=3\ \mathrm{m},AB=10\ \mathrm{m}$,则旗杆BC的高度为 m.

8.5