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1.计算$\frac{x}{y^3} ÷ \frac{2x}{y} - ( \frac{x}{2y} )^2 · \frac{y}{x}$的结果是（
A.$\frac{2-y}{4y}$
B.$\frac{1}{4y^2}$
C.$\frac{1}{4y}$
D.$\frac{2-xy}{4y^2}$
D
）A.$\frac{2-y}{4y}$
B.$\frac{1}{4y^2}$
C.$\frac{1}{4y}$
D.$\frac{2-xy}{4y^2}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查分式的混合运算，解题时遵循分式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。第一步先计算乘方项，再将除法转化为乘法计算乘除部分，最后对所得的两个结果通分计算减法，整理后即可得到最终结果。
【解析】
按照分式混合运算顺序逐步计算：
1. 计算乘方项：$( \frac{x}{2y} )^2 = \frac{x^2}{4y^2}$
2. 计算除法项：$\frac{x}{y^3} ÷ \frac{2x}{y} = \frac{x}{y^3} × \frac{y}{2x}$，约去分子分母的公因式$x$和$y$，可得$\frac{1}{2y^2}$
3. 计算乘法项：$\frac{x^2}{4y^2} · \frac{y}{x}$，约去分子分母的公因式$x$和$y$，可得$\frac{x}{4y}$
4. 计算减法：将两个结果通分，最简公分母为$4y^2$，则$\frac{1}{2y^2} = \frac{2}{4y^2}$，$\frac{x}{4y} = \frac{xy}{4y^2}$，因此原式$= \frac{2}{4y^2} - \frac{xy}{4y^2} = \frac{2-xy}{4y^2}$
【答案】
D
【知识点】
分式混合运算；分式约分；分式通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查运算顺序和分式的基本性质，计算时要注意约分和通分的正确性，避免因符号或公因式找错导致失分。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的混合运算，解题时遵循分式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。第一步先计算乘方项，再将除法转化为乘法计算乘除部分，最后对所得的两个结果通分计算减法，整理后即可得到最终结果。
【解析】
按照分式混合运算顺序逐步计算：
1. 计算乘方项：$( \frac{x}{2y} )^2 = \frac{x^2}{4y^2}$
2. 计算除法项：$\frac{x}{y^3} ÷ \frac{2x}{y} = \frac{x}{y^3} × \frac{y}{2x}$，约去分子分母的公因式$x$和$y$，可得$\frac{1}{2y^2}$
3. 计算乘法项：$\frac{x^2}{4y^2} · \frac{y}{x}$，约去分子分母的公因式$x$和$y$，可得$\frac{x}{4y}$
4. 计算减法：将两个结果通分，最简公分母为$4y^2$，则$\frac{1}{2y^2} = \frac{2}{4y^2}$，$\frac{x}{4y} = \frac{xy}{4y^2}$，因此原式$= \frac{2}{4y^2} - \frac{xy}{4y^2} = \frac{2-xy}{4y^2}$
【答案】
D
【知识点】
分式混合运算；分式约分；分式通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查运算顺序和分式的基本性质，计算时要注意约分和通分的正确性，避免因符号或公因式找错导致失分。
【难度系数】
0.7
2.试卷上一个正确的式子$(\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b}) ÷ \boldsymbol{[墨汁遮挡处]} = \frac{2}{a + b}$被莹莹不小心滴上了墨汁，被墨汁遮住部分的代数式是________。
答案
2.$\frac{b}{a-b}$
解析
【分析】
本题可根据除法运算中各部分的关系求解被遮挡的代数式：首先明确“被除数÷除数=商”，因此除数=被除数÷商。我们先将已知的被除数部分（括号内的分式减法）化简，再用化简后的被除数除以已知的商，即可求出被墨汁遮挡的代数式。
【解析】
设被墨汁遮住的代数式为$ A $，根据题意可得：
$ A = ( \frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b} ) ÷ \frac{2}{a+b} $
第一步：计算括号内的分式减法，通分（最简公分母为$(a-b)(a+b)$）：
$ \frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b} = \frac{a+b}{(a-b)(a+b)} - \frac{a-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)-(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{2b}{(a-b)(a+b)} $
第二步：计算分式除法，除以一个分式等于乘以它的倒数：
$ A = \frac{2b}{(a-b)(a+b)} × \frac{a+b}{2} $
第三步：约分计算：
分子的2和分母的2约去，分子的$a+b$和分母的$a+b$约去，最终得$ A = \frac{b}{a-b} $
【答案】
$\frac{b}{a-b}$
【知识点】
分式的混合运算；除法各部分关系
【点评】
本题是分式运算的基础应用题型，解题的核心是先通过除法运算的数量关系表示出未知代数式，再严格按照分式通分、约分的规则计算即可，计算时注意符号问题，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
本题可根据除法运算中各部分的关系求解被遮挡的代数式：首先明确“被除数÷除数=商”，因此除数=被除数÷商。我们先将已知的被除数部分（括号内的分式减法）化简，再用化简后的被除数除以已知的商，即可求出被墨汁遮挡的代数式。
【解析】
设被墨汁遮住的代数式为$ A $，根据题意可得：
$ A = ( \frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b} ) ÷ \frac{2}{a+b} $
第一步：计算括号内的分式减法，通分（最简公分母为$(a-b)(a+b)$）：
$ \frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b} = \frac{a+b}{(a-b)(a+b)} - \frac{a-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)-(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{2b}{(a-b)(a+b)} $
第二步：计算分式除法，除以一个分式等于乘以它的倒数：
$ A = \frac{2b}{(a-b)(a+b)} × \frac{a+b}{2} $
第三步：约分计算：
分子的2和分母的2约去，分子的$a+b$和分母的$a+b$约去，最终得$ A = \frac{b}{a-b} $
【答案】
$\frac{b}{a-b}$
【知识点】
分式的混合运算；除法各部分关系
【点评】
本题是分式运算的基础应用题型，解题的核心是先通过除法运算的数量关系表示出未知代数式，再严格按照分式通分、约分的规则计算即可，计算时注意符号问题，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
3.化简：$(1 - \frac{1}{x+1}) · \frac{x^2 -1}{x} =$
$x-1$
答案
3.$x-1$
解析
【分析】
这是分式混合运算的基础题，解题遵循“先算括号内，再算括号外”的运算顺序。第一步先将括号内的整数1通分，转化为与$\frac{1}{x+1}$同分母的分式，完成括号内的减法运算；第二步利用平方差公式对后一个分式的分子$x^2-1$因式分解，再将两个分式相乘，约去公因式后即可得到化简结果。
【解析】
解：原式$=( \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} ) · \frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=\frac{x+1-1}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=\frac{x}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=x-1$
【答案】
$x-1$
【知识点】
分式混合运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题侧重考查分式运算的基础规则，解题关键是正确处理括号内的通分运算，熟练运用因式分解完成分式约分，掌握运算顺序和基本规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是分式混合运算的基础题，解题遵循“先算括号内，再算括号外”的运算顺序。第一步先将括号内的整数1通分，转化为与$\frac{1}{x+1}$同分母的分式，完成括号内的减法运算；第二步利用平方差公式对后一个分式的分子$x^2-1$因式分解，再将两个分式相乘，约去公因式后即可得到化简结果。
【解析】
解：原式$=( \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} ) · \frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=\frac{x+1-1}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=\frac{x}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=x-1$
【答案】
$x-1$
【知识点】
分式混合运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题侧重考查分式运算的基础规则，解题关键是正确处理括号内的通分运算，熟练运用因式分解完成分式约分，掌握运算顺序和基本规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.化简：$\frac{a-3}{a^2+4a+4} · \frac{a^2-4}{a-3} + \frac{2}{a+2} =$
$\frac{a}{a+2}$
.答案
4.$\frac{a}{a+2}$
解析
【分析】
本题是分式的混合运算，解题思路如下：第一步先处理乘法运算，先对两个相乘分式的分子、分母进行因式分解，再约掉分子分母的公因式，简化乘法的结果；第二步将约分后的结果和后面的分式进行加法运算，因为是同分母分式相加，直接分母不变，分子相加后化简即可得到最终结果。
【解析】
解：先对分子分母因式分解：
$a^2+4a+4=(a+2)^2$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a-3}{(a+2)^2} · \frac{(a+2)(a-2)}{a-3} + \frac{2}{a+2}\\&=\frac{a-2}{a+2} + \frac{2}{a+2} \quad \mathrm{（约掉公因式}a-3\mathrm{和}a+2\mathrm{）}\\&=\frac{a-2+2}{a+2} \quad \mathrm{（同分母分式相加，分母不变，分子相加）}\\&=\frac{a}{a+2}\end{aligned}$
（注：原式有意义的条件为$a≠3$且$a≠-2$）
【答案】
$\frac{a}{a+2}$
【知识点】
1.分式的混合运算
2.因式分解
3.分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先通过因式分解、约分简化乘法运算，再进行加减运算，计算时要注意公因式的识别，避免约分出错，同时要牢记分式有意义的取值限制。
【难度系数】
0.8
本题是分式的混合运算，解题思路如下：第一步先处理乘法运算，先对两个相乘分式的分子、分母进行因式分解，再约掉分子分母的公因式，简化乘法的结果；第二步将约分后的结果和后面的分式进行加法运算，因为是同分母分式相加，直接分母不变，分子相加后化简即可得到最终结果。
【解析】
解：先对分子分母因式分解：
$a^2+4a+4=(a+2)^2$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a-3}{(a+2)^2} · \frac{(a+2)(a-2)}{a-3} + \frac{2}{a+2}\\&=\frac{a-2}{a+2} + \frac{2}{a+2} \quad \mathrm{（约掉公因式}a-3\mathrm{和}a+2\mathrm{）}\\&=\frac{a-2+2}{a+2} \quad \mathrm{（同分母分式相加，分母不变，分子相加）}\\&=\frac{a}{a+2}\end{aligned}$
（注：原式有意义的条件为$a≠3$且$a≠-2$）
【答案】
$\frac{a}{a+2}$
【知识点】
1.分式的混合运算
2.因式分解
3.分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先通过因式分解、约分简化乘法运算，再进行加减运算，计算时要注意公因式的识别，避免约分出错，同时要牢记分式有意义的取值限制。
【难度系数】
0.8
5.(教材 P153 例 3 变式)计算：
(1)(河南中考)$\dfrac{x^2 - 1}{x} ÷ (1 - \dfrac{1}{x})$；
(2)$(\dfrac{a^2}{a - 1} - a - 1) ÷ \dfrac{a}{a^2 - 1}$；
(3)$(\dfrac{a + 4}{a + 2} + \dfrac{4}{a^2 + 2a}) · \dfrac{2a^2}{a^2 - 4}$。
(1)(河南中考)$\dfrac{x^2 - 1}{x} ÷ (1 - \dfrac{1}{x})$；
(2)$(\dfrac{a^2}{a - 1} - a - 1) ÷ \dfrac{a}{a^2 - 1}$；
(3)$(\dfrac{a + 4}{a + 2} + \dfrac{4}{a^2 + 2a}) · \dfrac{2a^2}{a^2 - 4}$。
答案
5.(1)原式=$x+1$
(2)原式=$\frac{a+1}{a}$
(3)原式=$\frac{2a}{a-2}$
(2)原式=$\frac{a+1}{a}$
(3)原式=$\frac{2a}{a-2}$
解析
【分析】
分式混合运算的顺序与整数混合运算一致：先算括号内的运算，再算乘除，最后算加减；计算时遇到除法先转化为乘法，分子、分母能因式分解的优先因式分解，再通过约分简化计算，最终结果要化为最简分式或整式。
(1) 先计算括号内的分式减法，通分合并后，将除法转化为乘法，对分子因式分解后约分即可；
(2) 先将括号内的整式部分通分，与前面的分式做减法运算，再将除法转化为乘法，因式分解后约分计算；
(3) 先找括号内两个分式的最简公分母，通分求和化简后，再与括号外的分式相乘，因式分解后约分得到结果。
【解析】
(1) 先计算括号内的减法：
$1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$
将除法转化为乘法，同时因式分解$x^2-1=(x+1)(x-1)$：
原式$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x} ÷ \dfrac{x-1}{x}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x} × \dfrac{x}{x-1}$
约去公因式$x$和$x-1$，得：原式$=x+1$
(2) 先计算括号内的减法，将$-a-1$变形为$-\dfrac{(a+1)(a-1)}{a-1}$通分：
$\dfrac{a^2}{a-1}-a-1=\dfrac{a^2}{a-1}-\dfrac{(a+1)(a-1)}{a-1}=\dfrac{a^2-(a^2-1)}{a-1}=\dfrac{1}{a-1}$
将除法转化为乘法，因式分解$a^2-1=(a+1)(a-1)$：
原式$=\dfrac{1}{a-1} ÷ \dfrac{a}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{1}{a-1} × \dfrac{(a+1)(a-1)}{a}$
约去公因式$a-1$，得：原式$=\dfrac{a+1}{a}$
(3) 先对括号内的分式通分，最简公分母为$a(a+2)$，同时因式分解$a^2+2a=a(a+2)$：
$\dfrac{a+4}{a+2}+\dfrac{4}{a^2+2a}=\dfrac{a(a+4)}{a(a+2)}+\dfrac{4}{a(a+2)}=\dfrac{a^2+4a+4}{a(a+2)}=\dfrac{(a+2)^2}{a(a+2)}=\dfrac{a+2}{a}$
再计算乘法，因式分解$a^2-4=(a+2)(a-2)$：
原式$=\dfrac{a+2}{a} × \dfrac{2a^2}{(a+2)(a-2)}$
约去公因式$a+2$和$a$，得：原式$=\dfrac{2a}{a-2}$
【答案】
(1)$x+1$；(2)$\dfrac{a+1}{a}$；(3)$\dfrac{2a}{a-2}$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式的通分与约分
【点评】
这是分式混合运算的典型基础题，重点考察运算顺序和通分、约分、因式分解的综合运用能力，计算时先处理括号内的运算，将除法转化为乘法后再约分，可有效简化计算过程，减少出错概率。
【难度系数】
0.75
分式混合运算的顺序与整数混合运算一致：先算括号内的运算，再算乘除，最后算加减；计算时遇到除法先转化为乘法，分子、分母能因式分解的优先因式分解，再通过约分简化计算，最终结果要化为最简分式或整式。
(1) 先计算括号内的分式减法，通分合并后，将除法转化为乘法，对分子因式分解后约分即可；
(2) 先将括号内的整式部分通分，与前面的分式做减法运算，再将除法转化为乘法，因式分解后约分计算；
(3) 先找括号内两个分式的最简公分母，通分求和化简后，再与括号外的分式相乘，因式分解后约分得到结果。
【解析】
(1) 先计算括号内的减法：
$1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$
将除法转化为乘法，同时因式分解$x^2-1=(x+1)(x-1)$：
原式$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x} ÷ \dfrac{x-1}{x}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x} × \dfrac{x}{x-1}$
约去公因式$x$和$x-1$，得：原式$=x+1$
(2) 先计算括号内的减法，将$-a-1$变形为$-\dfrac{(a+1)(a-1)}{a-1}$通分：
$\dfrac{a^2}{a-1}-a-1=\dfrac{a^2}{a-1}-\dfrac{(a+1)(a-1)}{a-1}=\dfrac{a^2-(a^2-1)}{a-1}=\dfrac{1}{a-1}$
将除法转化为乘法，因式分解$a^2-1=(a+1)(a-1)$：
原式$=\dfrac{1}{a-1} ÷ \dfrac{a}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{1}{a-1} × \dfrac{(a+1)(a-1)}{a}$
约去公因式$a-1$，得：原式$=\dfrac{a+1}{a}$
(3) 先对括号内的分式通分，最简公分母为$a(a+2)$，同时因式分解$a^2+2a=a(a+2)$：
$\dfrac{a+4}{a+2}+\dfrac{4}{a^2+2a}=\dfrac{a(a+4)}{a(a+2)}+\dfrac{4}{a(a+2)}=\dfrac{a^2+4a+4}{a(a+2)}=\dfrac{(a+2)^2}{a(a+2)}=\dfrac{a+2}{a}$
再计算乘法，因式分解$a^2-4=(a+2)(a-2)$：
原式$=\dfrac{a+2}{a} × \dfrac{2a^2}{(a+2)(a-2)}$
约去公因式$a+2$和$a$，得：原式$=\dfrac{2a}{a-2}$
【答案】
(1)$x+1$；(2)$\dfrac{a+1}{a}$；(3)$\dfrac{2a}{a-2}$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式的通分与约分
【点评】
这是分式混合运算的典型基础题，重点考察运算顺序和通分、约分、因式分解的综合运用能力，计算时先处理括号内的运算，将除法转化为乘法后再约分，可有效简化计算过程，减少出错概率。
【难度系数】
0.75
6.(广安中考)先化简：$(\frac{a^2}{a+1} - a + 1) ÷ \frac{a^2 - 1}{a^2 + 2a + 1}$，再从不等式$-2 ＜ a ＜ 3$中选择一个适当的整数代入求值。
答案
6.原式=$\frac{a^2 -a^2 +1}{a+1} · \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)} = \frac{1}{a-1}$，$\because -2＜a＜3$且$a≠±1$，$\therefore a=0,2$符合题意，当$a=0$时，原式=$\frac{1}{0-1}=-1$；当$a=2$时，原式=$\frac{1}{2-1}=1$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：①先计算括号内的运算：将括号内的整式$-a+1$变形为$-(a-1)$，和分式$\frac{a^2}{a+1}$通分，转化为同分母分式的减法计算；②再计算除法：将分式除法转化为乘法，对分子、分母分别因式分解后约分，得到最简化简结果；③最后选值代入：先根据分式有意义的条件（所有分母不为0、除数不为0）排除不符合要求的a值，再从$-2＜a＜3$的整数解中选取合适的a代入最简式计算结果。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算括号内部分：
$\frac{a^2}{a+1} - a + 1 = \frac{a^2}{a+1} - (a - 1) = \frac{a^2 - (a-1)(a+1)}{a+1} = \frac{a^2 - (a^2 -1)}{a+1} = \frac{1}{a+1}$
2. 将除法转化为乘法并约分：
$(\frac{1}{a+1}) ÷ \frac{a^2 - 1}{a^2 + 2a +1} = \frac{1}{a+1} · \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$
约去分子分母的公因式$(a+1)^2$，得化简结果：$\frac{1}{a-1}$
3. 确定a的可取值：
要使所有分式有意义，则分母不为0，除数不为0：
$a+1 ≠ 0$，$a^2 -1 ≠ 0$，$a^2 +2a +1 ≠ 0$，解得$a ≠ \pm 1$
结合$-2 ＜ a ＜ 3$，范围内的整数有$-1,0,1,2$，排除$\pm 1$，可选$a=0$或$a=2$
4. 代入求值：
若选$a=0$，则原式$=\frac{1}{0-1}=-1$；若选$a=2$，则原式$=\frac{1}{2-1}=1$（任选其一即可）
【答案】
化简结果为$\frac{1}{a-1}$，当$a=0$时，值为$-1$（或当$a=2$时，值为$1$）
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；不等式的整数解
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，重点考查分式化简的运算能力，易错点是选取代入值时忽略分式有意义的条件，误选$a=\pm1$导致错误，解题时需先确定合法取值范围再代入计算。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：①先计算括号内的运算：将括号内的整式$-a+1$变形为$-(a-1)$，和分式$\frac{a^2}{a+1}$通分，转化为同分母分式的减法计算；②再计算除法：将分式除法转化为乘法，对分子、分母分别因式分解后约分，得到最简化简结果；③最后选值代入：先根据分式有意义的条件（所有分母不为0、除数不为0）排除不符合要求的a值，再从$-2＜a＜3$的整数解中选取合适的a代入最简式计算结果。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算括号内部分：
$\frac{a^2}{a+1} - a + 1 = \frac{a^2}{a+1} - (a - 1) = \frac{a^2 - (a-1)(a+1)}{a+1} = \frac{a^2 - (a^2 -1)}{a+1} = \frac{1}{a+1}$
2. 将除法转化为乘法并约分：
$(\frac{1}{a+1}) ÷ \frac{a^2 - 1}{a^2 + 2a +1} = \frac{1}{a+1} · \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$
约去分子分母的公因式$(a+1)^2$，得化简结果：$\frac{1}{a-1}$
3. 确定a的可取值：
要使所有分式有意义，则分母不为0，除数不为0：
$a+1 ≠ 0$，$a^2 -1 ≠ 0$，$a^2 +2a +1 ≠ 0$，解得$a ≠ \pm 1$
结合$-2 ＜ a ＜ 3$，范围内的整数有$-1,0,1,2$，排除$\pm 1$，可选$a=0$或$a=2$
4. 代入求值：
若选$a=0$，则原式$=\frac{1}{0-1}=-1$；若选$a=2$，则原式$=\frac{1}{2-1}=1$（任选其一即可）
【答案】
化简结果为$\frac{1}{a-1}$，当$a=0$时，值为$-1$（或当$a=2$时，值为$1$）
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；不等式的整数解
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，重点考查分式化简的运算能力，易错点是选取代入值时忽略分式有意义的条件，误选$a=\pm1$导致错误，解题时需先确定合法取值范围再代入计算。
【难度系数】
0.7
7.(教材P154例4变式)(2024·埇桥区期末)
甲、乙两个工程队分别承担一条20 km公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路x km，另一半时间每天维修y km；乙队维修前10 km公路时，每天维修x km，维修后10 km公路时，每天维修y km，(x≠y)，那么先完成任务的是 (
A.甲队
B.乙队
C.两队同时完成
D.不能确定
甲、乙两个工程队分别承担一条20 km公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路x km，另一半时间每天维修y km；乙队维修前10 km公路时，每天维修x km，维修后10 km公路时，每天维修y km，(x≠y)，那么先完成任务的是 (
A
)A.甲队
B.乙队
C.两队同时完成
D.不能确定
答案
7.A
解析
【分析】
要判断哪个队先完成任务，本质是比较甲、乙两队完成20km维修任务的总工作时间，用时更短的队伍先完成。解题思路如下：第一步，分别根据两队的维修方式，用含x、y的代数式表示出两队的总工作时间；第二步，利用作差法比较两个时间的大小，根据差的正负判断时间的长短关系，注意x、y均为正数（工作效率大于0）且x≠y的条件。
【解析】
设甲队完成任务的总时间为$ t_1 $天，乙队完成任务的总时间为$ t_2 $天。
1. 求甲队的工作时间$ t_1 $：
甲队一半时间每天修$ x $km，另一半时间每天修$ y $km，总工作量为20km，因此：
$ \frac{t_1}{2} · x + \frac{t_1}{2} · y = 20 $
整理得：$ \frac{t_1(x+y)}{2} = 20 $，解得$ t_1 = \frac{40}{x+y} $。
2. 求乙队的工作时间$ t_2 $：
乙队前10km每天修$ x $km，后10km每天修$ y $km，因此总时间为两段时间之和：
$ t_2 = \frac{10}{x} + \frac{10}{y} = \frac{10(x+y)}{xy} $。
3. 比较$ t_1 $和$ t_2 $的大小，用作差法：
$ t_1 - t_2 = \frac{40}{x+y} - \frac{10(x+y)}{xy} $
通分（公分母为$ xy(x+y) $，$ x＞0,y＞0 $，因此公分母为正）：
$ t_1 - t_2 = \frac{40xy - 10(x+y)^2}{xy(x+y)} $
化简分子：
$ 40xy -10(x+y)^2 = 40xy -10(x^2 + 2xy + y^2) = 10(-x^2 + 2xy - y^2) = -10(x-y)^2 $
因为$ x ≠ y $，所以$ (x-y)^2 ＞ 0 $，因此分子$ -10(x-y)^2 ＜ 0 $，可得：
$ t_1 - t_2 = \frac{-10(x-y)^2}{xy(x+y)} ＜ 0 $，即$ t_1 ＜ t_2 $。
因此甲队用时更短，先完成任务。
【答案】
A
【知识点】
列代数式，分式的混合运算，作差法比较大小
【点评】
本题属于工程类实际应用题，解题核心是准确根据不同的工作方式对应表示出总工作时间，再通过分式的运算结合作差法比较大小即可得出结论，解题时要注意工作效率为正数这个隐含条件。
【难度系数】
0.6
要判断哪个队先完成任务，本质是比较甲、乙两队完成20km维修任务的总工作时间，用时更短的队伍先完成。解题思路如下：第一步，分别根据两队的维修方式，用含x、y的代数式表示出两队的总工作时间；第二步，利用作差法比较两个时间的大小，根据差的正负判断时间的长短关系，注意x、y均为正数（工作效率大于0）且x≠y的条件。
【解析】
设甲队完成任务的总时间为$ t_1 $天，乙队完成任务的总时间为$ t_2 $天。
1. 求甲队的工作时间$ t_1 $：
甲队一半时间每天修$ x $km，另一半时间每天修$ y $km，总工作量为20km，因此：
$ \frac{t_1}{2} · x + \frac{t_1}{2} · y = 20 $
整理得：$ \frac{t_1(x+y)}{2} = 20 $，解得$ t_1 = \frac{40}{x+y} $。
2. 求乙队的工作时间$ t_2 $：
乙队前10km每天修$ x $km，后10km每天修$ y $km，因此总时间为两段时间之和：
$ t_2 = \frac{10}{x} + \frac{10}{y} = \frac{10(x+y)}{xy} $。
3. 比较$ t_1 $和$ t_2 $的大小，用作差法：
$ t_1 - t_2 = \frac{40}{x+y} - \frac{10(x+y)}{xy} $
通分（公分母为$ xy(x+y) $，$ x＞0,y＞0 $，因此公分母为正）：
$ t_1 - t_2 = \frac{40xy - 10(x+y)^2}{xy(x+y)} $
化简分子：
$ 40xy -10(x+y)^2 = 40xy -10(x^2 + 2xy + y^2) = 10(-x^2 + 2xy - y^2) = -10(x-y)^2 $
因为$ x ≠ y $，所以$ (x-y)^2 ＞ 0 $，因此分子$ -10(x-y)^2 ＜ 0 $，可得：
$ t_1 - t_2 = \frac{-10(x-y)^2}{xy(x+y)} ＜ 0 $，即$ t_1 ＜ t_2 $。
因此甲队用时更短，先完成任务。
【答案】
A
【知识点】
列代数式，分式的混合运算，作差法比较大小
【点评】
本题属于工程类实际应用题，解题核心是准确根据不同的工作方式对应表示出总工作时间，再通过分式的运算结合作差法比较大小即可得出结论，解题时要注意工作效率为正数这个隐含条件。
【难度系数】
0.6
8.若代数式$(A - \frac{3}{a - 1}) · \frac{2a - 2}{a + 2}$化简的结果为$2a - 4$，则整式A为
$a+1$
。答案
8.$a+1$
解析
【分析】
本题要求整式A，可根据乘法运算的逆运算推导：首先将括号内的$(A - \frac{3}{a-1})$看作一个整体，根据“因数=积÷另一个因数”先求出这个整体的值，再通过移项、分式运算化简即可得到A的表达式，计算过程中可先对多项式因式分解再约分，简化计算步骤。
【解析】
根据题意可列等式：
$(A - \frac{3}{a - 1}) · \frac{2a - 2}{a + 2} = 2a - 4$
1. 先求括号内整体的值：
$A - \frac{3}{a - 1} = (2a - 4) ÷ \frac{2a - 2}{a + 2}$
对多项式因式分解，将除法转为乘法：
$2a-4=2(a-2)$，$2a-2=2(a-1)$，代入得：
$A - \frac{3}{a - 1} = 2(a-2) × \frac{a + 2}{2(a - 1)}$
约掉分子分母的公因式2，利用平方差公式计算分子：
$A - \frac{3}{a - 1} = \frac{(a-2)(a+2)}{a - 1} = \frac{a^2 - 4}{a - 1}$
2. 移项求A：
$A = \frac{a^2 - 4}{a - 1} + \frac{3}{a - 1}$
同分母分式相加，分子合并后因式分解：
$A = \frac{a^2 - 4 + 3}{a - 1} = \frac{a^2 - 1}{a - 1} = \frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1}$
约掉公因式$a-1$（$a≠1$且$a≠-2$，保证原式有意义），得$A=a+1$。
【答案】
$a+1$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题属于分式混合运算的逆向应用题型，解题核心是先将括号内的式子看作整体，利用乘除互逆关系逐步推导，计算时优先对多项式因式分解再约分，能有效降低计算出错率，解题时需注意分式有意义的隐含限制。
【难度系数】
0.7
本题要求整式A，可根据乘法运算的逆运算推导：首先将括号内的$(A - \frac{3}{a-1})$看作一个整体，根据“因数=积÷另一个因数”先求出这个整体的值，再通过移项、分式运算化简即可得到A的表达式，计算过程中可先对多项式因式分解再约分，简化计算步骤。
【解析】
根据题意可列等式：
$(A - \frac{3}{a - 1}) · \frac{2a - 2}{a + 2} = 2a - 4$
1. 先求括号内整体的值：
$A - \frac{3}{a - 1} = (2a - 4) ÷ \frac{2a - 2}{a + 2}$
对多项式因式分解，将除法转为乘法：
$2a-4=2(a-2)$，$2a-2=2(a-1)$，代入得：
$A - \frac{3}{a - 1} = 2(a-2) × \frac{a + 2}{2(a - 1)}$
约掉分子分母的公因式2，利用平方差公式计算分子：
$A - \frac{3}{a - 1} = \frac{(a-2)(a+2)}{a - 1} = \frac{a^2 - 4}{a - 1}$
2. 移项求A：
$A = \frac{a^2 - 4}{a - 1} + \frac{3}{a - 1}$
同分母分式相加，分子合并后因式分解：
$A = \frac{a^2 - 4 + 3}{a - 1} = \frac{a^2 - 1}{a - 1} = \frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1}$
约掉公因式$a-1$（$a≠1$且$a≠-2$，保证原式有意义），得$A=a+1$。
【答案】
$a+1$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题属于分式混合运算的逆向应用题型，解题核心是先将括号内的式子看作整体，利用乘除互逆关系逐步推导，计算时优先对多项式因式分解再约分，能有效降低计算出错率，解题时需注意分式有意义的隐含限制。
【难度系数】
0.7
9.若$m+n=1$，则$( \dfrac{2m+n}{m^2 - mn} + \dfrac{1}{m} )(m^2 - n^2)$的值为
$3$
。答案
9.3
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，无需单独求解m、n的具体值，采用先化简再整体代入的思路解题即可：①先处理括号内的分式加法，先对第一个分式的分母因式分解，找到最简公分母通分，计算出括号内的化简结果；②再对括号外的多项式因式分解，将括号内结果与括号外因式做乘法运算，约分得到最简代数式；③最后代入已知条件m+n=1计算即可。
【解析】
先对原式逐步化简：
1. 因式分解各部分：
括号内第一个分式的分母$m^2 - mn = m(m-n)$，括号外的$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$。
2. 计算括号内的分式加法：
通分，最简公分母为m(m-n)：
$ \dfrac{2m+n}{m(m-n)} + \dfrac{1}{m} = \dfrac{2m+n}{m(m-n)} + \dfrac{m-n}{m(m-n)} $分子相加后约分：$ \dfrac{2m+n + m -n}{m(m-n)} = \dfrac{3m}{m(m-n)} = \dfrac{3}{m-n} \quad (m≠0)$
3. 计算乘法并约分：
$ \dfrac{3}{m-n} × (m+n)(m-n) = 3(m+n) \quad (m≠ n)4. $代入已知条件m+n=1： 原式=3×1=3【答案】3【知识点】分式混合运算、因式分解、整体代入求值【点评】本题核心考查分式的化简求值，解题关键是先通过通分、因式分解、约分将原式化简为含m+n的代数式，再用整体代入法计算，大幅简化运算过程，避免了单独求解未知数的繁琐。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，无需单独求解m、n的具体值，采用先化简再整体代入的思路解题即可：①先处理括号内的分式加法，先对第一个分式的分母因式分解，找到最简公分母通分，计算出括号内的化简结果；②再对括号外的多项式因式分解，将括号内结果与括号外因式做乘法运算，约分得到最简代数式；③最后代入已知条件m+n=1计算即可。
【解析】
先对原式逐步化简：
1. 因式分解各部分：
括号内第一个分式的分母$m^2 - mn = m(m-n)$，括号外的$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$。
2. 计算括号内的分式加法：
通分，最简公分母为m(m-n)：
$ \dfrac{2m+n}{m(m-n)} + \dfrac{1}{m} = \dfrac{2m+n}{m(m-n)} + \dfrac{m-n}{m(m-n)} $分子相加后约分：$ \dfrac{2m+n + m -n}{m(m-n)} = \dfrac{3m}{m(m-n)} = \dfrac{3}{m-n} \quad (m≠0)$
3. 计算乘法并约分：
$ \dfrac{3}{m-n} × (m+n)(m-n) = 3(m+n) \quad (m≠ n)4. $代入已知条件m+n=1： 原式=3×1=3【答案】3【知识点】分式混合运算、因式分解、整体代入求值【点评】本题核心考查分式的化简求值，解题关键是先通过通分、因式分解、约分将原式化简为含m+n的代数式，再用整体代入法计算，大幅简化运算过程，避免了单独求解未知数的繁琐。
【难度系数】
0.7
