登录
三、解答题(共60分)
11. (32分)解下列方程组：
(1) [淄博中考] $\begin{cases} x - \dfrac{y}{2} = 2, \\ 2x + 3y = 12; \end{cases}$
(2) [浙江中考] $\begin{cases} 2x - y = 5, \\ 4x + 3y = -10; \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 2(3x +7) = y +1, \\7x +2y =7; \end{cases}$
(4) $\begin{cases} 2x - y =110, \\10\% · x +20\% · y =30\% ×60. \end{cases}$
11. (32分)解下列方程组：
(1) [淄博中考] $\begin{cases} x - \dfrac{y}{2} = 2, \\ 2x + 3y = 12; \end{cases}$
(2) [浙江中考] $\begin{cases} 2x - y = 5, \\ 4x + 3y = -10; \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 2(3x +7) = y +1, \\7x +2y =7; \end{cases}$
(4) $\begin{cases} 2x - y =110, \\10\% · x +20\% · y =30\% ×60. \end{cases}$
答案
11. (1) $\begin{cases} x=3, \\ y=2 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}, \\ y=-4 \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x=-1, \\ y=7 \end{cases}$
(4) $\begin{cases} x=80, \\ y=50 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}, \\ y=-4 \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x=-1, \\ y=7 \end{cases}$
(4) $\begin{cases} x=80, \\ y=50 \end{cases}$
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心思想是消元，将二元转化为一元求解，常用方法为代入消元法和加减消元法。解题时先观察方程组的形式：若方程含分母、括号，先通过去分母、去括号、移项合并整理成标准形式；若某个未知数系数为±1，优先选代入消元法；若同一个未知数的系数相等或成倍数关系，优先选加减消元法，求出解后代入原方程检验即可。
【解析】
(1) 原方程组为 $\begin{cases} x - \dfrac{y}{2} = 2 \ \ \ ①, \\ 2x + 3y = 12 \ \ \ ②; \end{cases}$
将①两边同乘2去分母，得 $2x - y = 4 \ \ \ ③$，
用②$-$③消去$x$：$(2x+3y)-(2x-y)=12-4$，
化简得$4y=8$，解得$y=2$，
把$y=2$代入③，得$2x - 2 = 4$，解得$x=3$。
(2) 原方程组为 $\begin{cases} 2x - y = 5 \ \ \ ①, \\ 4x + 3y = -10 \ \ \ ②; \end{cases}$
将①两边同乘3，得$6x - 3y = 15 \ \ \ ③$，
用③$+$②消去$y$：$(6x-3y)+(4x+3y)=15+(-10)$，
化简得$10x=5$，解得$x=\dfrac{1}{2}$，
把$x=\dfrac{1}{2}$代入①，得$2×\dfrac{1}{2} - y =5$，解得$y=-4$。
(3) 原方程组为 $\begin{cases} 2(3x +7) = y +1 \ \ \ ①, \\7x +2y =7 \ \ \ ②; \end{cases}$
整理①：去括号得$6x +14 = y +1$，移项得$y=6x +13 \ \ \ ③$，
把③代入②，得$7x + 2(6x +13)=7$，
去括号、合并同类项得$19x +26 =7$，解得$x=-1$，
把$x=-1$代入③，得$y=6×(-1)+13=7$。
(4) 原方程组为 $\begin{cases} 2x - y =110 \ \ \ ①, \\10\% · x +20\% · y =30\% ×60 \ \ \ ②; \end{cases}$
整理②：两边同乘100消去百分号，得$10x +20y = 1800$，化简得$x + 2y =180 \ \ \ ③$，
由①移项得$y=2x -110 \ \ \ ④$，
把④代入③，得$x + 2(2x -110)=180$，
去括号、合并同类项得$5x -220 =180$，解得$x=80$，
把$x=80$代入④，得$y=2×80 -110=50$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=3, \\ y=2 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}, \\ y=-4 \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x=-1, \\ y=7 \end{cases}$
(4) $\begin{cases} x=80, \\ y=50 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、代入消元法、加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组解法的基础训练题，需要熟练掌握方程整理的步骤和两种消元方法的应用，计算时注意去括号、移项的符号变化，避免因计算粗心出错。
【难度系数】
0.8
解二元一次方程组的核心思想是消元，将二元转化为一元求解，常用方法为代入消元法和加减消元法。解题时先观察方程组的形式：若方程含分母、括号，先通过去分母、去括号、移项合并整理成标准形式；若某个未知数系数为±1，优先选代入消元法；若同一个未知数的系数相等或成倍数关系，优先选加减消元法，求出解后代入原方程检验即可。
【解析】
(1) 原方程组为 $\begin{cases} x - \dfrac{y}{2} = 2 \ \ \ ①, \\ 2x + 3y = 12 \ \ \ ②; \end{cases}$
将①两边同乘2去分母，得 $2x - y = 4 \ \ \ ③$，
用②$-$③消去$x$：$(2x+3y)-(2x-y)=12-4$，
化简得$4y=8$，解得$y=2$，
把$y=2$代入③，得$2x - 2 = 4$，解得$x=3$。
(2) 原方程组为 $\begin{cases} 2x - y = 5 \ \ \ ①, \\ 4x + 3y = -10 \ \ \ ②; \end{cases}$
将①两边同乘3，得$6x - 3y = 15 \ \ \ ③$，
用③$+$②消去$y$：$(6x-3y)+(4x+3y)=15+(-10)$，
化简得$10x=5$，解得$x=\dfrac{1}{2}$，
把$x=\dfrac{1}{2}$代入①，得$2×\dfrac{1}{2} - y =5$，解得$y=-4$。
(3) 原方程组为 $\begin{cases} 2(3x +7) = y +1 \ \ \ ①, \\7x +2y =7 \ \ \ ②; \end{cases}$
整理①：去括号得$6x +14 = y +1$，移项得$y=6x +13 \ \ \ ③$，
把③代入②，得$7x + 2(6x +13)=7$，
去括号、合并同类项得$19x +26 =7$，解得$x=-1$，
把$x=-1$代入③，得$y=6×(-1)+13=7$。
(4) 原方程组为 $\begin{cases} 2x - y =110 \ \ \ ①, \\10\% · x +20\% · y =30\% ×60 \ \ \ ②; \end{cases}$
整理②：两边同乘100消去百分号，得$10x +20y = 1800$，化简得$x + 2y =180 \ \ \ ③$，
由①移项得$y=2x -110 \ \ \ ④$，
把④代入③，得$x + 2(2x -110)=180$，
去括号、合并同类项得$5x -220 =180$，解得$x=80$，
把$x=80$代入④，得$y=2×80 -110=50$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=3, \\ y=2 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}, \\ y=-4 \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x=-1, \\ y=7 \end{cases}$
(4) $\begin{cases} x=80, \\ y=50 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、代入消元法、加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组解法的基础训练题，需要熟练掌握方程整理的步骤和两种消元方法的应用，计算时注意去括号、移项的符号变化，避免因计算粗心出错。
【难度系数】
0.8
12. (12分)已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+5y=-6, \\ax-by=-4\end{cases}$和$\begin{cases}3x-5y=16, \\bx+ay=-8\end{cases}$的解相同,求代数式$3a+7b$的值.
答案
12. 因为两个方程组的解相同,所以方程组$\begin{cases}2x+5y=-6, \\3x-5y=16\end{cases}$的解即是它们的公共解,解得$\begin{cases} x=2, \\ y=-2. \end{cases}$把这组解分别代入另两个方程,组成方程组$\begin{cases}2a+2b=-4, \\-2a+2b=-8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1, \\b=-3.\end{cases}$所以$3a+7b=3×1+7×(-3)=-18$
解析
【分析】
本题的核心条件是两个方程组的解相同，即该解同时满足四个方程。解题思路可分三步：第一步，先将不含参数a、b的两个二元一次方程联立，求出x和y的公共解；第二步，把求得的x、y的值代入剩余的两个含a、b的方程，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；第三步，将a、b的值代入代数式$3a+7b$计算即可得到结果。
【解析】
因为两个方程组的解相同，所以先联立不含a、b的方程，得到：
$\begin{cases}2x+5y=-6, \\3x-5y=16\end{cases}$
将两个方程左右两边相加消去y，可得：
$2x+3x=-6+16$
$5x=10$
解得$x=2$
把$x=2$代入$2x+5y=-6$，得：
$2×2 +5y=-6$
$4+5y=-6$
$5y=-10$
解得$y=-2$
所以公共解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-2. \end{cases}$
把$\begin{cases} x=2, \\ y=-2 \end{cases}$代入$\begin{cases}ax-by=-4, \\bx+ay=-8\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a - b×(-2)=-4, \\2b + a×(-2)=-8\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}2a+2b=-4 \quad①, \\-2a+2b=-8 \quad②\end{cases}$
将①+②，得：
$4b=-12$
解得$b=-3$
把$b=-3$代入①，得：
$2a + 2×(-3) = -4$
$2a -6 = -4$
$2a=2$
解得$a=1$
将$a=1$，$b=-3$代入$3a+7b$，得：
$3×1 +7×(-3) = 3 -21 = -18$
【答案】
$-18$
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题解题的关键是抓住“解相同”的性质，先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含参数的方程求解参数，最后计算代数式的值，重点考查对二元一次方程组解的概念的理解和基本运算能力。
【难度系数】
0.7
本题的核心条件是两个方程组的解相同，即该解同时满足四个方程。解题思路可分三步：第一步，先将不含参数a、b的两个二元一次方程联立，求出x和y的公共解；第二步，把求得的x、y的值代入剩余的两个含a、b的方程，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；第三步，将a、b的值代入代数式$3a+7b$计算即可得到结果。
【解析】
因为两个方程组的解相同，所以先联立不含a、b的方程，得到：
$\begin{cases}2x+5y=-6, \\3x-5y=16\end{cases}$
将两个方程左右两边相加消去y，可得：
$2x+3x=-6+16$
$5x=10$
解得$x=2$
把$x=2$代入$2x+5y=-6$，得：
$2×2 +5y=-6$
$4+5y=-6$
$5y=-10$
解得$y=-2$
所以公共解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-2. \end{cases}$
把$\begin{cases} x=2, \\ y=-2 \end{cases}$代入$\begin{cases}ax-by=-4, \\bx+ay=-8\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a - b×(-2)=-4, \\2b + a×(-2)=-8\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}2a+2b=-4 \quad①, \\-2a+2b=-8 \quad②\end{cases}$
将①+②，得：
$4b=-12$
解得$b=-3$
把$b=-3$代入①，得：
$2a + 2×(-3) = -4$
$2a -6 = -4$
$2a=2$
解得$a=1$
将$a=1$，$b=-3$代入$3a+7b$，得：
$3×1 +7×(-3) = 3 -21 = -18$
【答案】
$-18$
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题解题的关键是抓住“解相同”的性质，先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含参数的方程求解参数，最后计算代数式的值，重点考查对二元一次方程组解的概念的理解和基本运算能力。
【难度系数】
0.7
13.（16分）为加强和改进新时代学校体育工作，全面推动青少年篮球运动的发展，某县举办了“奔跑吧·少年”中小学生夏季篮球赛。本次篮球比赛积分榜的部分信息如下表：
球 队 比赛场次 胜 场 负 场 积 分
A队 10 17
B队 10
1 19
C队 10 10 0 20
D队 10 4 6 14
（1）由积分榜可知，胜一场得
（2）请问A队胜了几场比赛？
球 队 比赛场次 胜 场 负 场 积 分
A队 10 17
B队 10
1 19C队 10 10 0 20
D队 10 4 6 14
（1）由积分榜可知，胜一场得
2
分，负一场得1
分；（2）请问A队胜了几场比赛？
答案
13. (1) 2 1
(2) 设A队胜了$m$场比赛,负了$n$场比赛. 根据题意,得$\begin{cases} m+n=10, \\ 2m+n=17, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=7, \\ n=3. \end{cases}$所以A队胜了7场比赛
(2) 设A队胜了$m$场比赛,负了$n$场比赛. 根据题意,得$\begin{cases} m+n=10, \\ 2m+n=17, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=7, \\ n=3. \end{cases}$所以A队胜了7场比赛
解析
【分析】
（1）要计算胜、负一场的得分，可先选取信息完整的队伍推导：C队10场全胜积20分，可直接算出胜一场的得分；再结合B队或D队的积分、胜负场次数据，就能算出负一场的得分，还可代入另一队数据验证结果是否正确。
（2）求A队胜场数，首先明确两个等量关系：A队胜场数+负场数=总比赛场次10场；A队胜场总得分+负场总得分=总积分17分。设胜场、负场数为未知数，根据等量关系列方程组求解即可。
【解析】
（1）观察C队数据：10场全胜，积20分，因此胜一场得分为：$20÷10=2$（分）。
代入B队数据计算负场得分：B队胜9场，负1场，积19分，9场胜场总得分是$9×2=18$分，因此负一场得分为$19-18=1$（分）。
代入D队数据验证：$4×2+6×1=14$，和D队积分一致，结果正确。
（2）设A队胜了$m$场比赛，负了$n$场比赛。
根据总场次为10场，列方程：$m+n=10$；
根据总积分为17分，列方程：$2m+n=17$。
联立得方程组$\begin{cases} m+n=10 \\ 2m+n=17 \end{cases}$，用第二个方程减去第一个方程，得$m=7$，将$m=7$代入$m+n=10$，解得$n=3$。
【答案】
（1）2；1
（2）A队胜了7场比赛。
【知识点】
统计表信息提取，二元一次方程组的应用，比赛积分问题
【点评】
本题结合篮球比赛积分的实际场景，考查学生从表格中提取有效信息的能力，以及利用方程模型解决实际应用问题的能力，解题关键是找准胜负场次和积分之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
（1）要计算胜、负一场的得分，可先选取信息完整的队伍推导：C队10场全胜积20分，可直接算出胜一场的得分；再结合B队或D队的积分、胜负场次数据，就能算出负一场的得分，还可代入另一队数据验证结果是否正确。
（2）求A队胜场数，首先明确两个等量关系：A队胜场数+负场数=总比赛场次10场；A队胜场总得分+负场总得分=总积分17分。设胜场、负场数为未知数，根据等量关系列方程组求解即可。
【解析】
（1）观察C队数据：10场全胜，积20分，因此胜一场得分为：$20÷10=2$（分）。
代入B队数据计算负场得分：B队胜9场，负1场，积19分，9场胜场总得分是$9×2=18$分，因此负一场得分为$19-18=1$（分）。
代入D队数据验证：$4×2+6×1=14$，和D队积分一致，结果正确。
（2）设A队胜了$m$场比赛，负了$n$场比赛。
根据总场次为10场，列方程：$m+n=10$；
根据总积分为17分，列方程：$2m+n=17$。
联立得方程组$\begin{cases} m+n=10 \\ 2m+n=17 \end{cases}$，用第二个方程减去第一个方程，得$m=7$，将$m=7$代入$m+n=10$，解得$n=3$。
【答案】
（1）2；1
（2）A队胜了7场比赛。
【知识点】
统计表信息提取，二元一次方程组的应用，比赛积分问题
【点评】
本题结合篮球比赛积分的实际场景，考查学生从表格中提取有效信息的能力，以及利用方程模型解决实际应用问题的能力，解题关键是找准胜负场次和积分之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
