7. 如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与大正方形的一边交于点A(1,2)，且经过小正方形的顶点B.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求图中阴影部分的面积.

7.【解】(1)$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$ A(1,2) $,
$\therefore 2=\frac{k}{1}$,解得$ k=2. \therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}.$
(2)$\because$小正方形的中心与平面直角坐标系的原点$ O $重合,边分别与坐标轴平行,$\therefore$可设$ B $点的坐标为$ (m,m) $.
$\because$反比例函数$ y=\frac{2}{x} $的图象经过$ B $点,
$\therefore m=\frac{2}{m}$,即$ m^2=2.$
$\therefore$小正方形的面积为$ 4m^2=8.$
$\because$大正方形的中心与平面直角坐标系的原点$ O $重合,边分别与坐标轴平行,且$ A(1,2) $,
$\therefore$大正方形在第一象限的顶点坐标为$ (2,2).$
$\therefore$大正方形的面积为$ 4×2^2=16.$
$\therefore$阴影部分的面积$=$大正方形的面积$-$小正方形的面积$=16-8=8.$

8. 情境题 生活应用 如图，这是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为$y=-\dfrac{6}{x},y=\dfrac{6}{x}$。现用四根钢条固定这四条曲线，这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，那么工人师傅所用钢条一共花了元。

8. 600 【点拨】由反比例函数图象的对称性可知,两条坐标轴将矩形$ ABCD $分成四个全等的小矩形.
$\because$点$ A $为反比例函数$ y=\frac{6}{x} $的图象上的一点,
$\therefore S_{矩形AEOH}=6.\therefore S_{矩形ABCD}=4×6=24.$
$\therefore$所用钢条一共花了$ 25×24=600 $(元).

9. [2025广元] 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=kx+2$的图象分别与$x$轴,$y$轴交于点$A$,点$C$,与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}(x＜0)$的图象交于点$B(-2,3)$.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)点$D(-6,n)$是反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$图象上一点,连接$BD$,$CD$,求$△ BCD$的面积;
(3)点$P$在$y$轴上,满足$△ PAB$是以$AB$为斜边的直角三角形,求出点$P$的坐标.

9.【解】(1)$\because$一次函数$ y=kx+2 $的图象与反比例函数$ y=\frac{m}{x}(x＜0) $的图象交于点$ B(-2,3) $,
$\therefore 3=-2k+2,3=\frac{m}{-2},\therefore k=-\frac{1}{2},m=-6,$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+2$,反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}.$
(2)$\because$一次函数$ y=-\frac{1}{2}x+2 $的图象分别与$ x $轴、$ y $轴交于点$ A $,点$ C $,
当$ y=0 $时,$ x=4 $,当$ x=0 $时,$ y=2 $,
$\therefore A(4,0),C(0,2).$
$\because$点$ D(-6,n) $是反比例函数$ y=-\frac{6}{x} $图象上一点,
$\therefore n=-\frac{6}{-6}=1,\therefore D(-6,1).$
过点$ B $作$ BF⊥ x $轴,交直线$ DC $于点$ E $,
设直线$ CD $的表达式为$ y=ax+b $,把$ D(-6,1),C(0,2) $的坐标代入得到,
$\begin{cases}b=2,\\-6a+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{6},\\b=2,\end{cases}$
$\therefore$直线$ CD $的表达式为$y=\frac{1}{6}x+2.$
$\because B(-2,3),BF⊥ x$轴,$\therefore$点$ E $的横坐标为$ -2 $.
当$ x=-2 $时,$ y=\frac{1}{6}×(-2)+2=\frac{5}{3} $,
$\therefore E(-2,\frac{5}{3}),\therefore BE=3-\frac{5}{3}=\frac{4}{3},$
$\therefore△ BCD$的面积$=\frac{1}{2}BE·[0-(-6)]=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×6=4.$

(3)设$ P(0,t) $,$\because A(4,0),B(-2,3),\therefore PA^2=t^2+16,PB^2=(t-3)^2+4,AB^2=(-2-4)^2+(3-0)^2=45.$
当$ ∠ APB=90° $时,$ PA^2+PB^2=AB^2 $,即$ t^2+16+(t-3)^2+4=45 $,得到$ t^2-3t-8=0 $,解得$ t=\frac{3+\sqrt{41}}{2} $或$ t=\frac{3-\sqrt{41}}{2} $,故点$ P $的坐标为$(0,\frac{3+\sqrt{41}}{2})$或$(0,\frac{3-\sqrt{41}}{2}).$