5[2025四川内江中考]阿基米德曾说过:"给我一个支点,我能撬动整个地球."这句话生动体现了杠杆原理:通过调整支点位置和力臂长度,用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图(1),这是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,另一端就会撬动石头.如图(2)所示,动力臂$OA=150\ \mathrm{cm}$,阻力臂$OB=50\ \mathrm{cm}$,$BD=20\ \mathrm{cm}$,则$AC$的长度是 ()


A.80 cm
B.60 cm
C.50 cm
D.40 cm

5. B 【解析】由题意得,$AC ⊥ AB, BD ⊥ AB, \therefore AC // BD$,
$\therefore △ AOC ∽ △ BOD, \therefore \frac{AC}{BD}=\frac{AO}{OB}. \because OA = 150 \mathrm{ cm}, OB = 50 \mathrm{ cm},BD=20 \mathrm{ cm},\therefore \frac{AC}{20}=\frac{150}{50},\therefore AC=60 \mathrm{ cm}$,即 $AC$ 的长度为 60 cm. 故选 B.

6[2025四川攀枝花中考]跨学科主题学习活动中,某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究.先设计方案,再进行实验,利用所学知识对实验数据进行分析,并进一步应用.
【设计实验方案】如图(1)所示,设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置,将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放.从弹珠运动到A点处开始,用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t(s)、运动快慢v(cm/s)、运动路程y(cm)的数据.

【收集整理数据】

【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图(2)、图(3)的平面直角坐标系中描点、连线,观察图象并猜想:v与t之间的关系可以近似地用函数表示,y与t之间的关系可以近似地用函数表示.(选填:一次、二次、反比例)


【检验】根据猜想求出v与t,y与t之间的函数关系式,并代入一组数据进行验证.
【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时,前方B点处有一辆电动小车以3 cm/s的速度在匀速向前直线运动,若弹珠能追上小车,那么AB的最大值是多少?

6.【解】【猜想】描点、连线,画出图象如图(1)、图(2)所示.
猜想:$v$与$t$之间的关系可以近似地用一次函数表示,$y$与$t$之间的关系可以近似地用二次函数表示. 故答案为一次,二次.
【检验】设 $v$ 与 $t$ 之间的函数关系式为 $v=kt+m$. 将点$(0,12)$,$(4,10)$代入,得$\begin{cases} m=12,\\4k+m=10, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-\dfrac{1}{2},\\m=12, \end{cases}$ $\therefore v = -\frac{1}{2}t+12$. 验证:当 $t=20$ 时,$v=-\frac{1}{2}× 20+12=2$,符合题意.
设 $y$ 与 $t$ 之间的函数关系式为 $y=at^2+bt+c$. 将点$(0,0)$,$(4,44)$,$(8,80)$代入,得$\begin{cases} c=0,\\16a+4b+c=44,\\64a+8b+c=80, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=-\dfrac{1}{4},\\b=12,\\c=0, \end{cases}$
$\therefore y=-\frac{1}{4}t^2+12t$. 验证:当 $t=20$ 时,$y=-\frac{1}{4}× 20^2+12× 20=140$,符合题意.(均代入一组数据验证即可)
【应用】设运动时间为 $n$ s 时弹珠追上小车,$AB=d$ cm,则$-\frac{1}{4}n^2+12n=d+3n$,$\therefore d=-\frac{1}{4}n^2+9n$,$\therefore$ 当 $n=-\frac{9}{2× (-\dfrac{1}{4})}=18$ 时,$d$ 有最大值,最大值为$-\frac{1}{4}× 18^2+9× 18=81$. 故 $AB$ 的最大值为 81 cm.

7[2025陕西中考副卷]如图,将正五边形绕着它的中心O旋转$n°(0＜n＜360)$后,能够与原来的图形完全重合,则n的值可以是.(写出一个符合题意的数即可)

7. 72(答案不唯一) 【解析】$\because \frac{360°}{5}=72°$,$\therefore$ 正五边形绕着它的中心 $O$ 旋转 $72°$ 能够与原来的图形完全重合,$\therefore n$ 的值可以是 72. 故答案为 72(答案不唯一).

8[2025广东中考]已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是.(写出一个即可)

8. $y=-x^2+x+2$(答案不唯一) 【解析】$\because$ 二次函数 $y=-x^2+bx+c$ 的图象经过点 $(c,0)$,$\therefore 0=-c^2+bc+c$. $\because$ 二次函数 $y=-x^2+bx+c$ 的图象不经过原点,$\therefore c≠ 0$,则 $c-b=1$. 若取 $b=1$,则 $c=2$,$\therefore$ 该二次函数的表达式可以是 $y=-x^2+x+2$,故答案为 $y=-x^2+x+2$(答案不唯一).