1[2025河南中考]甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就. 正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同. 把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（）


A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$

1. B 【解析】由题意可列如下树状图：
由上图知,从中随机抽取两张卡片,共有12种等可能的结果,其中两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有2种,$\therefore P$(两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山” )=$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$. 故选 B.

3[2024湖北武汉中考]如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点E,F，记正方形ABCD的面积为$S_1$，正方形MNPQ的面积为$S_2$.若$BE=kAE(k＞1)$，则用含$k$的式子表示$\frac{S_1}{S_2}$的值是.

2. $\frac{k^2+1}{(k-1)^2}$ 【解析】如图,过A作$AG// BP$交 FE 延长线于点 G,
$\therefore ∠ GAE = ∠ PBE, ∠ AGE = ∠ BPE, \therefore △ AGE ∽ △ BPE,$
$\therefore \frac{AG}{BP}=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{k}$. 设 $AG = 1$, 则 $BP=k$. 由题意得 $∠ GAM = ∠ ANP = 90°, ∠ NMP = 45°$,
$\therefore ∠ AMG = 45°, \therefore AM = AG = 1. \because AN = MD = BP = k$,
$\therefore MN=k-1. \because S_1=AD^2=AM^2+MD^2=1+k^2,S_2=MN^2=(k-1)^2,\therefore \frac{S_1}{S_2}=\frac{k^2+1}{(k-1)^2}.$

3[2025广西中考]绣球是广西民族文化的特色载体.如图,设计某种绣球叶瓣时,可以先在图纸上建立平面直角坐标系,再分别以原点O,
O'(5,5)为圆心、以5为半径作圆,两圆相交于A,B两点,其公共部分构成叶瓣①(阴影部分),同理得到叶瓣②.
(1)写出A,B两点的坐标;
(2)求叶瓣①的周长;(结果保留π)
(3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到.

3.【解】(1)$\because$ 以原点 $O,O'(5,5)$ 为圆心、以 5 为半径作圆,两圆相交于 A, B 两点, $\therefore OA = OB = O'A = O' B = 5$, $∠ OBO' = 90°$,$\therefore$ 四边形 $OAO' B$ 是正方形, $\therefore ∠ AOB = ∠ BO'A = ∠ O'AO=90°$,$\therefore A(0,5),B(5,0)$.
(2)由(1)知,$∠ AOB = ∠ AO'B = 90°$,$OA=O'A=5$,
$\therefore$ 叶瓣①的周长为$\frac{90π × 5}{180}× 2=5π$.
(3)叶瓣②可以由叶瓣①绕点 B 逆时针旋转$90°$得到.(答案不唯一)

4[2025湖南中考]如图，北京市某处A位于北纬$40°$(即$∠ AOC=40°$)，东经$116°$，三沙市海域某处B位于北纬$15°$(即$∠ BOC=15°$)，东经$116°$.设地球的半径约为$R$千米，则在东经$116°$所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（）


A.$\frac{5}{72}π R$千米
B.$\frac{1}{12}π R$千米
C.$\frac{5}{36}π R$千米
D.$\frac{2}{9}π R$千米

4. C 【解析】由题意得,$∠ AOB = ∠ AOC- ∠ BOC = 25°$,$\therefore$ 劣弧 AB 的长为$\frac{25π × R}{180}=\frac{5π}{36}R$(千米). 故选 C.