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9 核心素养几何直观[2026河北唐山期中,较难]如图,在矩形ABCD中,BE是∠ABC的平分线,过点D作DF⊥BE,交BE的延长线于F,连接AF,CF.
(1)求证:AE=AB;
(2)求证:AF⊥CF;
(3)若AB=6,BC=8,求CF的长.
(1)求证:AE=AB;
(2)求证:AF⊥CF;
(3)若AB=6,BC=8,求CF的长.
答案
9.(1)【证明】
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠ABC = ∠BAD = 90°.
∵ BE 平分∠ABC,
∴ ∠ABE = $\frac{1}{2}$ ∠ABC = 45°,
∴ ∠AEB=45°,
∴ ∠ABE=∠AEB,
∴ AB=AE.
(2)【证明】如图,连接 AC,BD 交于点 O,连接 OF.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ OB=OC=OA=OD.
∵ ∠BFD=90°,
∴ OF = $\frac{1}{2}$ BD,
∴ OF=OB,
∴ OF = OA = OC,
∴ ∠OFA = ∠OAF, ∠OFC = ∠OCF,
∴ ∠OFA+∠OFC = ∠OAF+∠OCF.
∵ ∠OFA+∠OAF+∠OFC+∠OCF=180°,
∴ ∠AFC=90°,
∴ AF⊥CF.
(3)【解】如图,
∵ ∠DEF = ∠AEB = 45°, ∠EFD = 90°,
∴ ∠EDF = ∠DEF = 45°,
∴ FE=FD.
∵ ∠AEF = 180° - ∠DEF = 135°, ∠CDF = ∠ADC + ∠EDF = 135°,
∴ ∠AEF = ∠CDF.
∵ CD=AB,AB=AE,
∴ CD=AE,
∴ △CDF ≅ △AEF (SAS),
∴ FA=FC.
∵ AF ⊥ CF,
∴ △ACF 是等腰直角三角形,
∴ 易得 FC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AC.
∵ ∠ABC=90°,AB=6,BC=8,
∴ AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}$=10,
∴ CF=$5\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证AE=AB，可通过证明两角相等得到等腰三角形：先利用矩形内角为直角的性质，结合BE是∠ABC的角平分线求出∠ABE=45°，再推导∠AEB也为45°，根据等角对等边即可得证。
(2) 要证AF⊥CF，即证∠AFC=90°，可利用矩形对角线互相平分且相等的性质，连接AC、BD交于点O，再连接OF，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到OF=OA=OC，再通过三角形内角和推导∠AFC为直角。
(3) 求CF的长，先通过角度推导证明△CDF≌△AEF，得到FA=FC，结合第二问的垂直结论可知△ACF是等腰直角三角形，再用勾股定理算出矩形对角线AC的长度，即可求出CF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC = ∠BAD = 90°。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC = 45°，
∴ ∠AEB=90°-∠ABE=45°，
∴ ∠ABE=∠AEB，
∴ AB=AE。
(2) 证明：如图，连接AC，BD交于点O，连接OF。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OB=OC=OA=OD。
∵ DF⊥BE，即∠BFD=90°，
∴ OF是Rt△BFD斜边BD上的中线，故OF = $\frac{1}{2}$BD，
∴ OF=OB=OA=OC，
∴ ∠OFA = ∠OAF，∠OFC = ∠OCF，
∴ ∠OFA+∠OFC = ∠OAF+∠OCF。
在△AFC中，∠OFA+∠OAF+∠OFC+∠OCF=180°，
∴ 2(∠OFA+∠OFC)=180°，即∠AFC=90°，
∴ AF⊥CF。
(3) 解：
∵ ∠DEF = ∠AEB = 45°，∠EFD = 90°，
∴ ∠EDF = 90°-∠DEF=45°，
∴ ∠EDF=∠DEF，故FE=FD。
∵ ∠AEF = 180° - ∠DEF = 135°，∠CDF = ∠ADC + ∠EDF = 90°+45°=135°，
∴ ∠AEF = ∠CDF。
∵ 矩形中CD=AB，又由(1)知AB=AE，
∴ CD=AE。
在△CDF和△AEF中：
$\{\begin{array}{l}CD=AE\\ ∠ CDF=∠ AEF\\ DF=EF\end{array} $
∴ △CDF ≅ △AEF (SAS)，
∴ FA=FC。
由(2)知AF ⊥ CF，
∴ △ACF 是等腰直角三角形，
∴ FC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AC。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
由勾股定理得AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}$=$\sqrt{6^2+8^2}$=10，
∴ CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}×10=5\sqrt{2}$。
【答案】
9.(1)【证明】
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠ABC = ∠BAD = 90°.
∵ BE 平分∠ABC,
∴ ∠ABE = $\frac{1}{2}$ ∠ABC = 45°,
∴ ∠AEB=45°,
∴ ∠ABE=∠AEB,
∴ AB=AE.
(2)【证明】如图,连接 AC,BD 交于点 O,连接 OF.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ OB=OC=OA=OD.
∵ ∠BFD=90°,
∴ OF = $\frac{1}{2}$ BD,
∴ OF=OB,
∴ OF = OA = OC,
∴ ∠OFA = ∠OAF, ∠OFC = ∠OCF,
∴ ∠OFA+∠OFC = ∠OAF+∠OCF.
∵ ∠OFA+∠OAF+∠OFC+∠OCF=180°,
∴ ∠AFC=90°,
∴ AF⊥CF.
(3)【解】如图,
∵ ∠DEF = ∠AEB = 45°, ∠EFD = 90°,
∴ ∠EDF = ∠DEF = 45°,
∴ FE=FD.
∵ ∠AEF = 180° - ∠DEF = 135°, ∠CDF = ∠ADC + ∠EDF = 135°,
∴ ∠AEF = ∠CDF.
∵ CD=AB,AB=AE,
∴ CD=AE,
∴ △CDF ≅ △AEF (SAS),
∴ FA=FC.
∵ AF ⊥ CF,
∴ △ACF 是等腰直角三角形,
∴ 易得 FC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AC.
∵ ∠ABC=90°,AB=6,BC=8,
∴ AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}$=10,
∴ CF=$5\sqrt{2}$.
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合性较强，将矩形性质、角平分线性质、全等三角形判定与性质、直角三角形相关性质结合考查，第二问构造辅助线是解题的突破口，需要熟练掌握几何图形的基本性质并灵活运用。
【难度系数】
0.35
(1) 要证AE=AB，可通过证明两角相等得到等腰三角形：先利用矩形内角为直角的性质，结合BE是∠ABC的角平分线求出∠ABE=45°，再推导∠AEB也为45°，根据等角对等边即可得证。
(2) 要证AF⊥CF，即证∠AFC=90°，可利用矩形对角线互相平分且相等的性质，连接AC、BD交于点O，再连接OF，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到OF=OA=OC，再通过三角形内角和推导∠AFC为直角。
(3) 求CF的长，先通过角度推导证明△CDF≌△AEF，得到FA=FC，结合第二问的垂直结论可知△ACF是等腰直角三角形，再用勾股定理算出矩形对角线AC的长度，即可求出CF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC = ∠BAD = 90°。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC = 45°，
∴ ∠AEB=90°-∠ABE=45°，
∴ ∠ABE=∠AEB，
∴ AB=AE。
(2) 证明：如图，连接AC，BD交于点O，连接OF。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OB=OC=OA=OD。
∵ DF⊥BE，即∠BFD=90°，
∴ OF是Rt△BFD斜边BD上的中线，故OF = $\frac{1}{2}$BD，
∴ OF=OB=OA=OC，
∴ ∠OFA = ∠OAF，∠OFC = ∠OCF，
∴ ∠OFA+∠OFC = ∠OAF+∠OCF。
在△AFC中，∠OFA+∠OAF+∠OFC+∠OCF=180°，
∴ 2(∠OFA+∠OFC)=180°，即∠AFC=90°，
∴ AF⊥CF。
(3) 解：
∵ ∠DEF = ∠AEB = 45°，∠EFD = 90°，
∴ ∠EDF = 90°-∠DEF=45°，
∴ ∠EDF=∠DEF，故FE=FD。
∵ ∠AEF = 180° - ∠DEF = 135°，∠CDF = ∠ADC + ∠EDF = 90°+45°=135°，
∴ ∠AEF = ∠CDF。
∵ 矩形中CD=AB，又由(1)知AB=AE，
∴ CD=AE。
在△CDF和△AEF中：
$\{\begin{array}{l}CD=AE\\ ∠ CDF=∠ AEF\\ DF=EF\end{array} $
∴ △CDF ≅ △AEF (SAS)，
∴ FA=FC。
由(2)知AF ⊥ CF，
∴ △ACF 是等腰直角三角形，
∴ FC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AC。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
由勾股定理得AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}$=$\sqrt{6^2+8^2}$=10，
∴ CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}×10=5\sqrt{2}$。
【答案】
9.(1)【证明】
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠ABC = ∠BAD = 90°.
∵ BE 平分∠ABC,
∴ ∠ABE = $\frac{1}{2}$ ∠ABC = 45°,
∴ ∠AEB=45°,
∴ ∠ABE=∠AEB,
∴ AB=AE.
(2)【证明】如图,连接 AC,BD 交于点 O,连接 OF.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ OB=OC=OA=OD.
∵ ∠BFD=90°,
∴ OF = $\frac{1}{2}$ BD,
∴ OF=OB,
∴ OF = OA = OC,
∴ ∠OFA = ∠OAF, ∠OFC = ∠OCF,
∴ ∠OFA+∠OFC = ∠OAF+∠OCF.
∵ ∠OFA+∠OAF+∠OFC+∠OCF=180°,
∴ ∠AFC=90°,
∴ AF⊥CF.
(3)【解】如图,
∵ ∠DEF = ∠AEB = 45°, ∠EFD = 90°,
∴ ∠EDF = ∠DEF = 45°,
∴ FE=FD.
∵ ∠AEF = 180° - ∠DEF = 135°, ∠CDF = ∠ADC + ∠EDF = 135°,
∴ ∠AEF = ∠CDF.
∵ CD=AB,AB=AE,
∴ CD=AE,
∴ △CDF ≅ △AEF (SAS),
∴ FA=FC.
∵ AF ⊥ CF,
∴ △ACF 是等腰直角三角形,
∴ 易得 FC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AC.
∵ ∠ABC=90°,AB=6,BC=8,
∴ AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}$=10,
∴ CF=$5\sqrt{2}$.
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合性较强，将矩形性质、角平分线性质、全等三角形判定与性质、直角三角形相关性质结合考查，第二问构造辅助线是解题的突破口，需要熟练掌握几何图形的基本性质并灵活运用。
【难度系数】
0.35
方法指导 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,O是AD的中点,连接OB,OC,点E在线段BC上(点E不与点B,C重合),过点E作EM⊥OB于M,EN⊥OC于N,求EM+EN的值.
解:连接OE.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=3,AD=BC=2,∠A=∠D=90°.
∵O是AD的中点,∴AO=DO=1,∴OB=OC=$\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{10}$.
∵△OBE的面积+△OCE的面积=
∴ $\frac{1}{2}OB · EM + \frac{1}{2}OC · EN = \frac{1}{2}BC · AB$,
∴ $\frac{1}{2}(EM+EN) × \sqrt{10} = \frac{1}{2} × 2 × 3$,解得EM+EN=
解:连接OE.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=3,AD=BC=2,∠A=∠D=90°.
∵O是AD的中点,∴AO=DO=1,∴OB=OC=$\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{10}$.
∵△OBE的面积+△OCE的面积=
$S_{△ OBC}$
,∴ $\frac{1}{2}OB · EM + \frac{1}{2}OC · EN = \frac{1}{2}BC · AB$,
∴ $\frac{1}{2}(EM+EN) × \sqrt{10} = \frac{1}{2} × 2 × 3$,解得EM+EN=
$\frac{3\sqrt{10}}{5}$
.答案
△OBC的面积 $\frac{3\sqrt{10}}{5}$
解析
【分析】
本题要求两条垂线段的和，可采用面积法求解：首先观察到EM是△OBE中OB边上的高，EN是△OCE中OC边上的高，两个小三角形的面积之和恰好等于△OBC的面积；再结合矩形的性质求出OB、OC的长度以及△OBC的面积，将已知量代入面积和的等式中，即可求出EM+EN的值。
【解析】
连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，
∵O是AD的中点，
∴AO=DO=1，
由勾股定理得：$OB=OC=\sqrt{AB^2+AO^2}=\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{10}$，
∵△OBE的面积+△OCE的面积=△OBC的面积，
∴ $\frac{1}{2}OB · EM + \frac{1}{2}OC · EN = \frac{1}{2}BC · AB$，
将$OB=OC=\sqrt{10}$，$BC=2$，$AB=3$代入上式得：
$\frac{1}{2}×\sqrt{10}× EM + \frac{1}{2}×\sqrt{10}× EN = \frac{1}{2} × 2 × 3$，
提取公因式得：$\frac{1}{2}(EM+EN) × \sqrt{10} = 3$，
化简计算得：$EM+EN=\frac{6}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
△OBC的面积；$\frac{3\sqrt{10}}{5}$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；面积法求线段和
【点评】
本题是几何中典型的线段和求解问题，核心是巧用面积法将分散的垂线段关联到同一个面积等式中，避免了分别求解两条线段的繁琐，熟练掌握这种“面积拆分转化”的思路，能快速解决同类的垂线段和问题。
【难度系数】
0.7
本题要求两条垂线段的和，可采用面积法求解：首先观察到EM是△OBE中OB边上的高，EN是△OCE中OC边上的高，两个小三角形的面积之和恰好等于△OBC的面积；再结合矩形的性质求出OB、OC的长度以及△OBC的面积，将已知量代入面积和的等式中，即可求出EM+EN的值。
【解析】
连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，
∵O是AD的中点，
∴AO=DO=1，
由勾股定理得：$OB=OC=\sqrt{AB^2+AO^2}=\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{10}$，
∵△OBE的面积+△OCE的面积=△OBC的面积，
∴ $\frac{1}{2}OB · EM + \frac{1}{2}OC · EN = \frac{1}{2}BC · AB$，
将$OB=OC=\sqrt{10}$，$BC=2$，$AB=3$代入上式得：
$\frac{1}{2}×\sqrt{10}× EM + \frac{1}{2}×\sqrt{10}× EN = \frac{1}{2} × 2 × 3$，
提取公因式得：$\frac{1}{2}(EM+EN) × \sqrt{10} = 3$，
化简计算得：$EM+EN=\frac{6}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
△OBC的面积；$\frac{3\sqrt{10}}{5}$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；面积法求线段和
【点评】
本题是几何中典型的线段和求解问题，核心是巧用面积法将分散的垂线段关联到同一个面积等式中，避免了分别求解两条线段的繁琐，熟练掌握这种“面积拆分转化”的思路，能快速解决同类的垂线段和问题。
【难度系数】
0.7
1 [2026 广东佛山期中，中]如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE+PF的值为（
A.$\frac{5}{12}$
B.2.5
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{15}{4}$
C
）A.$\frac{5}{12}$
B.2.5
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{15}{4}$
答案
1.C 【解析】如图,设 AC 与 BD 交于点 O,连接 OP. 在矩形 ABCD 中,AB = 3,AD = 4, ∠BAD = 90°, AC = BD,
∴ BD = $\sqrt{3^2+4^2}$ = 5, S△AOD = $\frac{1}{4}$ S矩形ABCD = $\frac{1}{4}$ × 3 × 4 = 3,
∴ OA = OD = $\frac{1}{2}$ BD = $\frac{5}{2}$.
∵ PE ⊥ AC, PF ⊥ BD,
∴ S△AOD = S△APO + S△DPO = $\frac{1}{2}$ OA · PE + $\frac{1}{2}$ OD · PF = $\frac{1}{2}$ × $\frac{5}{2}$ (PE+PF) = 3,
∴ PE+PF=$\frac{12}{5}$. 故选 C.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用矩形的性质结合等面积法求解：首先矩形的对角线相等且互相平分，因此可以将对角线交点O与动点P连接，把△AOD拆分为△APO和△DPO两个小三角形；两个小三角形的面积之和等于△AOD的面积，而△AOD的面积是矩形面积的四分之一，据此列出等式即可直接求出PE+PF的定值，无需分析P点的运动位置，简化计算。
【解析】
解：如图，设AC与BD交于点O，连接OP。
∵ 四边形ABCD是矩形，∠BAD=90°，AC=BD，AB=3，AD=4，
∴ $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
矩形ABCD的面积为$AB×AD=3×4=12$，
∴ $S_{△ AOD}=\frac{1}{4}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{4}×12=3$，且$OA=OD=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}$。
∵ PE⊥AC，PF⊥BD，
∴ $S_{△ APO}=\frac{1}{2}·OA·PE$，$S_{△ DPO}=\frac{1}{2}·OD·PF$，
又
∵ $S_{△ AOD}=S_{△ APO}+S_{△ DPO}$，
∴ $\frac{1}{2}×\frac{5}{2}·PE + \frac{1}{2}×\frac{5}{2}·PF = 3$，
整理得 $\frac{5}{4}(PE+PF)=3$，
解得 $PE+PF=\frac{12}{5}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、等面积法
【点评】
本题是矩形性质应用的典型题型，核心是利用等面积法将动点到两条对角线的距离和转化为固定三角形的面积关系，从而快速求出定值，无需对动点的位置进行分类讨论，这种转化思想在几何定值问题中十分常用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以利用矩形的性质结合等面积法求解：首先矩形的对角线相等且互相平分，因此可以将对角线交点O与动点P连接，把△AOD拆分为△APO和△DPO两个小三角形；两个小三角形的面积之和等于△AOD的面积，而△AOD的面积是矩形面积的四分之一，据此列出等式即可直接求出PE+PF的定值，无需分析P点的运动位置，简化计算。
【解析】
解：如图，设AC与BD交于点O，连接OP。
∵ 四边形ABCD是矩形，∠BAD=90°，AC=BD，AB=3，AD=4，
∴ $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
矩形ABCD的面积为$AB×AD=3×4=12$，
∴ $S_{△ AOD}=\frac{1}{4}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{4}×12=3$，且$OA=OD=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}$。
∵ PE⊥AC，PF⊥BD，
∴ $S_{△ APO}=\frac{1}{2}·OA·PE$，$S_{△ DPO}=\frac{1}{2}·OD·PF$，
又
∵ $S_{△ AOD}=S_{△ APO}+S_{△ DPO}$，
∴ $\frac{1}{2}×\frac{5}{2}·PE + \frac{1}{2}×\frac{5}{2}·PF = 3$，
整理得 $\frac{5}{4}(PE+PF)=3$，
解得 $PE+PF=\frac{12}{5}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、等面积法
【点评】
本题是矩形性质应用的典型题型，核心是利用等面积法将动点到两条对角线的距离和转化为固定三角形的面积关系，从而快速求出定值，无需对动点的位置进行分类讨论，这种转化思想在几何定值问题中十分常用。
【难度系数】
0.6
2[较难]如图所示, 四边形ABCD中, AC⊥BD于点O, AO=CO=4, BO=DO=3, 点P为线段AC上的一个动点. 过点P分别作PM⊥AD于点M, PN⊥DC于点N. 连接PB, 在点P运动过程中, PM + PN + PB的最小值等于
7.8
.答案
2.7.8 【解析】
∵ AO=CO=4, BO=DO=3,
∴ AC=8, 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AC ⊥ BD 于点 O,
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形, AD = $\sqrt{AO^2+DO^2}$ = $\sqrt{4^2+3^2}$ = 5,
∴ CD=AD=5. 连接 PD, 如图所示.
∵ S△ADP + S△CDP = S△ADC,
∴ $\frac{1}{2}$ AD · PM + $\frac{1}{2}$ DC · PN = $\frac{1}{2}$ AC · OD, 即 $\frac{1}{2}$ × 5×PM + $\frac{1}{2}$ ×5×PN = $\frac{1}{2}$ ×8×3,
∴ 5×(PM+PN) = 8×3,
∴ PM+PN=4.8,
∴ 当 PB 最短时,PM+PN+PB 有最小值. 由垂线段最短可知,当 BP ⊥ AC 时,PB 最短,
∴ 当点 P 与点 O 重合时,PM+PN+PB 有最小值,最小值为 4.8+3=7.8,故答案为 7.8.
思路分析：证得四边形ABCD是菱形,得CD=AD=5,连接PD,由三角形面积关系求出PM+PN=4.8,则当PB最短时,PM+PN+PB有最小值,即当BP⊥AC时,PB最短,即可得出答案.
解析
【分析】
解题时首先根据已知对角线互相平分且垂直判断四边形ABCD是菱形，得到各边长度相等；接下来要求PM+PN+PB的最小值，可先分析PM+PN是否为定值：连接PD，通过△ADP与△CDP的面积和等于△ADC的面积，利用面积法推导得出PM+PN是固定值，此时只需找到PB的最小值即可；根据垂线段最短，当PB⊥AC时PB最短，即点P与O重合时PB取最小值，最后将定值与PB最小值相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵ AO=CO=4，BO=DO=3，
∴ 对角线AC、BD互相平分，四边形ABCD是平行四边形，
又
∵ AC⊥BD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形，
∴ AD=CD，在Rt△AOD中，$AD=\sqrt{AO^2+DO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，故CD=AD=5，AC=AO+CO=8。
连接PD，
∵ $S_{△ ADP} + S_{△ CDP} = S_{△ ADC}$，
∴ $\frac{1}{2} · AD · PM + \frac{1}{2} · CD · PN = \frac{1}{2} · AC · OD$，
代入数值：$\frac{1}{2} × 5 × PM + \frac{1}{2} × 5 × PN = \frac{1}{2} × 8 × 3$，
化简得：$5(PM+PN)=24$，解得$PM+PN=4.8$。
∵ PM+PN为定值，
∴ 要使$PM+PN+PB$最小，只需PB最小，
根据垂线段最短，当$BP ⊥ AC$时，PB最短，此时点P与点O重合，PB=BO=3，
∴ $PM+PN+PB$的最小值为$4.8+3=7.8$。
【答案】
7.8
【知识点】
菱形的判定与性质；面积法求线段和；垂线段最短
【点评】
本题属于几何最值综合题，解题核心是运用转化思想，先通过面积法将两个动态线段的和转化为定值，再将三线段和的最小值问题转化为单线段PB的最小值问题，巧妙结合菱形性质和垂线段最短的原理求解，能有效锻炼学生的逻辑推理和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.4
解题时首先根据已知对角线互相平分且垂直判断四边形ABCD是菱形，得到各边长度相等；接下来要求PM+PN+PB的最小值，可先分析PM+PN是否为定值：连接PD，通过△ADP与△CDP的面积和等于△ADC的面积，利用面积法推导得出PM+PN是固定值，此时只需找到PB的最小值即可；根据垂线段最短，当PB⊥AC时PB最短，即点P与O重合时PB取最小值，最后将定值与PB最小值相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵ AO=CO=4，BO=DO=3，
∴ 对角线AC、BD互相平分，四边形ABCD是平行四边形，
又
∵ AC⊥BD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形，
∴ AD=CD，在Rt△AOD中，$AD=\sqrt{AO^2+DO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，故CD=AD=5，AC=AO+CO=8。
连接PD，
∵ $S_{△ ADP} + S_{△ CDP} = S_{△ ADC}$，
∴ $\frac{1}{2} · AD · PM + \frac{1}{2} · CD · PN = \frac{1}{2} · AC · OD$，
代入数值：$\frac{1}{2} × 5 × PM + \frac{1}{2} × 5 × PN = \frac{1}{2} × 8 × 3$，
化简得：$5(PM+PN)=24$，解得$PM+PN=4.8$。
∵ PM+PN为定值，
∴ 要使$PM+PN+PB$最小，只需PB最小，
根据垂线段最短，当$BP ⊥ AC$时，PB最短，此时点P与点O重合，PB=BO=3，
∴ $PM+PN+PB$的最小值为$4.8+3=7.8$。
【答案】
7.8
【知识点】
菱形的判定与性质；面积法求线段和；垂线段最短
【点评】
本题属于几何最值综合题，解题核心是运用转化思想，先通过面积法将两个动态线段的和转化为定值，再将三线段和的最小值问题转化为单线段PB的最小值问题，巧妙结合菱形性质和垂线段最短的原理求解，能有效锻炼学生的逻辑推理和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.4
