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2. 如图,已知数轴上的点$A,B,C$分别表示实数$a,b,c$.
(1)化简:$|a - b| + |c - b| + |c - a|$.
(2)若$a = \frac{x + y}{4}, b = -z^2, c = -4mn$,且满足$x$与$y$互为相反数,$z$是绝对值最小的负整数,$m,n$互为倒数,试求$98a + 99b + 100c$的值.
(1)化简:$|a - b| + |c - b| + |c - a|$.
(2)若$a = \frac{x + y}{4}, b = -z^2, c = -4mn$,且满足$x$与$y$互为相反数,$z$是绝对值最小的负整数,$m,n$互为倒数,试求$98a + 99b + 100c$的值.
答案
2.(1)$2a-2c$ (2)$-499$
解析
【分析】
(1) 首先观察数轴，根据数轴上右边的数总大于左边的数，可得$c＜b＜a$，由此判断每个绝对值内代数式的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可完成化简。
(2) 先根据相反数、绝对值、倒数的相关概念，分别求出$x+y$、$z$、$mn$的值，代入得到$a$、$b$、$c$的具体数值，再将其代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由数轴可知：$c ＜ b ＜ a$，
∴ $a - b ＞ 0$，$c - b ＜ 0$，$c - a ＜ 0$，
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|a - b| = a - b$，$|c - b| = -(c - b) = b - c$，$|c - a| = -(c - a) = a - c$，
∴ 原式$=(a - b) + (b - c) + (a - c)$
$=a - b + b - c + a - c$
$=2a - 2c$。
(2) 由题意得：
∵ $x$与$y$互为相反数，
∴ $x + y = 0$，则$a = \frac{x + y}{4} = \frac{0}{4} = 0$；
∵ $z$是绝对值最小的负整数，
∴ $z = -1$，则$b = -z^2 = -(-1)^2 = -1$；
∵ $m$，$n$互为倒数，
∴ $mn = 1$，则$c = -4mn = -4×1 = -4$。
将$a=0$，$b=-1$，$c=-4$代入$98a + 99b + 100c$得：
原式$=98×0 + 99×(-1) + 100×(-4)$
$=0 - 99 - 400$
$=-499$。
【答案】
(1) $\boxed{2a - 2c}$；(2) $\boxed{-499}$
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，相反数与倒数的性质
【点评】
本题属于基础题，结合数轴考查绝对值的化简规则，同时考查了相反数、倒数、绝对值的基本概念，解题的关键是先通过数轴判断数的大小关系，再结合相关代数概念求出对应值代入计算。
【难度系数】
0.8
(1) 首先观察数轴，根据数轴上右边的数总大于左边的数，可得$c＜b＜a$，由此判断每个绝对值内代数式的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可完成化简。
(2) 先根据相反数、绝对值、倒数的相关概念，分别求出$x+y$、$z$、$mn$的值，代入得到$a$、$b$、$c$的具体数值，再将其代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由数轴可知：$c ＜ b ＜ a$，
∴ $a - b ＞ 0$，$c - b ＜ 0$，$c - a ＜ 0$，
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|a - b| = a - b$，$|c - b| = -(c - b) = b - c$，$|c - a| = -(c - a) = a - c$，
∴ 原式$=(a - b) + (b - c) + (a - c)$
$=a - b + b - c + a - c$
$=2a - 2c$。
(2) 由题意得：
∵ $x$与$y$互为相反数，
∴ $x + y = 0$，则$a = \frac{x + y}{4} = \frac{0}{4} = 0$；
∵ $z$是绝对值最小的负整数，
∴ $z = -1$，则$b = -z^2 = -(-1)^2 = -1$；
∵ $m$，$n$互为倒数，
∴ $mn = 1$，则$c = -4mn = -4×1 = -4$。
将$a=0$，$b=-1$，$c=-4$代入$98a + 99b + 100c$得：
原式$=98×0 + 99×(-1) + 100×(-4)$
$=0 - 99 - 400$
$=-499$。
【答案】
(1) $\boxed{2a - 2c}$；(2) $\boxed{-499}$
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，相反数与倒数的性质
【点评】
本题属于基础题，结合数轴考查绝对值的化简规则，同时考查了相反数、倒数、绝对值的基本概念，解题的关键是先通过数轴判断数的大小关系，再结合相关代数概念求出对应值代入计算。
【难度系数】
0.8
3.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B,点A表示$-\sqrt{2}$,设点B所表示的数为m.
(1)求m的值.
(2)求$|m-1|+m+6$的值.
(1)求m的值.
(2)求$|m-1|+m+6$的值.
答案
3.(1)$-\sqrt{2}+2$
(2)$7$
(2)$7$
解析
【分析】
（1）回忆数轴上点的平移规律：点沿数轴向右平移时，对应的数等于原数加上平移的单位长度，向左平移则减去平移的单位长度。本题蚂蚁从点A向右爬2个单位到B，用点A表示的数加2即可求出m的值。
（2）先将第一问求出的m代入代数式，再判断绝对值内式子的正负：由$\sqrt{2}\approx1.414$可推出$0＜m＜1$，因此$m-1$是负数，根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值符号，合并化简即可得到结果。
【解析】
（1）已知点A表示的数为$-\sqrt{2}$，蚂蚁沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，根据数轴上点向右平移“右加”的规律，可得：
$m = -\sqrt{2} + 2$
（2）把$m=2-\sqrt{2}$代入$|m-1|+m+6$中：
先判断$m-1$的符号：$\because \sqrt{2}\approx1.414$，$\therefore m=2-\sqrt{2}\approx2-1.414=0.586＜1$，即$m-1＜0$。
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，因此$|m-1|=1-m$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}|m-1|+m+6&=(1-m)+m+6\\&=1 - m + m +6\\&=7\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\sqrt{2}+2$
(2)$7$
【知识点】
数轴的平移规律、绝对值的性质、实数运算
【点评】
本题是数轴与实数运算的基础结合题，解题核心是掌握数轴上点平移“右加左减”的规则，以及去绝对值前要先判断绝对值内表达式的正负，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
（1）回忆数轴上点的平移规律：点沿数轴向右平移时，对应的数等于原数加上平移的单位长度，向左平移则减去平移的单位长度。本题蚂蚁从点A向右爬2个单位到B，用点A表示的数加2即可求出m的值。
（2）先将第一问求出的m代入代数式，再判断绝对值内式子的正负：由$\sqrt{2}\approx1.414$可推出$0＜m＜1$，因此$m-1$是负数，根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值符号，合并化简即可得到结果。
【解析】
（1）已知点A表示的数为$-\sqrt{2}$，蚂蚁沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，根据数轴上点向右平移“右加”的规律，可得：
$m = -\sqrt{2} + 2$
（2）把$m=2-\sqrt{2}$代入$|m-1|+m+6$中：
先判断$m-1$的符号：$\because \sqrt{2}\approx1.414$，$\therefore m=2-\sqrt{2}\approx2-1.414=0.586＜1$，即$m-1＜0$。
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，因此$|m-1|=1-m$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}|m-1|+m+6&=(1-m)+m+6\\&=1 - m + m +6\\&=7\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\sqrt{2}+2$
(2)$7$
【知识点】
数轴的平移规律、绝对值的性质、实数运算
【点评】
本题是数轴与实数运算的基础结合题，解题核心是掌握数轴上点平移“右加左减”的规则，以及去绝对值前要先判断绝对值内表达式的正负，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
