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16. 母题 教材 P117习题 T4 先化简，再求值：$(2x + y)^2 - (2x + y)(2x - y) - 2y(x + y)$，其中$x = (\dfrac{1}{2})^{2027}$，$y = 2^{2026}$。
答案
16.【解】$(2x+y)^2 -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)= 4x^2 +4xy+y^2 -(4x^2 -y^2 )-2xy-2y^2 =4x^2 +4xy+y^2 -4x^2 +y^2 -2xy-2y^2 =2xy$.
当 $x= (\frac{1}{2})^{2027},y=2^{2026}$ 时,原式$= 2× (\frac{1}{2})^{2027} × 2^{2026} =1$.
当 $x= (\frac{1}{2})^{2027},y=2^{2026}$ 时,原式$= 2× (\frac{1}{2})^{2027} × 2^{2026} =1$.
17. 先化简,再求值:$(2m+1)(2m-1)-(m-1)^2-(2m)^3÷8m$,其中$m$满足$m^2+m-6=0$.
答案
17.【解】$(2m+1)(2m-1)-(m-1)^2-(2m)^3 ÷8m= 4m^2 -1-(m^2 -2m+1)-m^2 =4m^2 -1-m^2 +2m-1-m^2 =2m^2 +2m-2$.
$∵m^2 +m-6=0,∴m^2 +m=6$.
$∴$原式$=2(m^2 +m)-2=2×6-2=10$.
$∵m^2 +m-6=0,∴m^2 +m=6$.
$∴$原式$=2(m^2 +m)-2=2×6-2=10$.
18. [2025晋城期中]综合与实践
【阅读材料】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的.例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法.
【类比探究】对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.如图，若将图①中的阴影部分（四个全等的小正方形）移动变换成如图②所示的图形，根据两个图形中阴影部分的关系，回答下列问题.
(1)写出图①所表示的数学等式:
【解决问题】
(2)利用(1)中得到的结论，计算当$(6+x)x=7$时，$(6+x)^2 + x^2$的值；
【拓展应用】
(3)将图②阴影部分用剪刀剪去，剩下部分围成一个长方体盒子（无盖），若阴影部分的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$，试求围成的长方体盒子的高.
【阅读材料】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的.例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法.
【类比探究】对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.如图，若将图①中的阴影部分（四个全等的小正方形）移动变换成如图②所示的图形，根据两个图形中阴影部分的关系，回答下列问题.
(1)写出图①所表示的数学等式:
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
;【解决问题】
(2)利用(1)中得到的结论，计算当$(6+x)x=7$时，$(6+x)^2 + x^2$的值；
【拓展应用】
(3)将图②阴影部分用剪刀剪去，剩下部分围成一个长方体盒子（无盖），若阴影部分的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$，试求围成的长方体盒子的高.
答案
18.【解】(1)$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
(2)设 $6+x=a,x=b,∴a-b=6+x-x=6$.
$∵(6+x)x=7,∴ab=7$.
$∴(6+x)^2 +x^2 =a^2 +b^2 =(a-b)^2 +2ab=6^2 +2×7=36+14=50$.
(3)$∵$阴影部分的面积为 $16\ \mathrm{cm}^2,∴(a-b)^2=16$.
$∴a-b=4$ 或 $a-b=-4$(舍去).
$∴$这个长方体盒子的高$=\frac{a-b}{2}=2\ \mathrm{cm}$.
(2)设 $6+x=a,x=b,∴a-b=6+x-x=6$.
$∵(6+x)x=7,∴ab=7$.
$∴(6+x)^2 +x^2 =a^2 +b^2 =(a-b)^2 +2ab=6^2 +2×7=36+14=50$.
(3)$∵$阴影部分的面积为 $16\ \mathrm{cm}^2,∴(a-b)^2=16$.
$∴a-b=4$ 或 $a-b=-4$(舍去).
$∴$这个长方体盒子的高$=\frac{a-b}{2}=2\ \mathrm{cm}$.
