登录
11. 新考向 动手操作 如图是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（
A.中线、角平分线、高
B.高、中线、角平分线
C.角平分线、高、中线
D.角平分线、中线、高
C
）A.中线、角平分线、高
B.高、中线、角平分线
C.角平分线、高、中线
D.角平分线、中线、高
答案
11.C
解析
【分析】
解题时先明确三角形角平分线、高、中线的定义，再结合折叠“对应角相等、对应边相等”的性质逐一判断三幅图中AD的属性即可。首先回忆三个概念：①三角形角平分线是平分三角形内角，端点为顶点和对边上交点的线段；②三角形的高是从顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段；③三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段，再对应每幅图的折叠特征推导即可。
【解析】
结合折叠性质和三角形重要线段的定义逐一分析：
1. 图①：沿AD折叠后AB与AB'重合，可得$∠ BAD=∠ B'AD$，即AD平分$∠ BAC$，因此AD是$△ ABC$的角平分线；
2. 图②：沿AD折叠后点B落在BC边上的$B'$处，可得$∠ ADB=∠ ADB'=90°$，即$AD⊥ BC$，因此AD是$△ ABC$的高；
3. 图③：沿AD折叠后点C与点B重合，可得$BD=CD$，即D是BC的中点，因此AD是$△ ABC$的中线。
综上，AD依次为角平分线、高、中线，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的角平分线，三角形的高，三角形的中线
【点评】
本题结合动手操作考查三角形重要线段的识别，核心是掌握三类线段的定义，结合折叠的性质判断即可，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确三角形角平分线、高、中线的定义，再结合折叠“对应角相等、对应边相等”的性质逐一判断三幅图中AD的属性即可。首先回忆三个概念：①三角形角平分线是平分三角形内角，端点为顶点和对边上交点的线段；②三角形的高是从顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段；③三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段，再对应每幅图的折叠特征推导即可。
【解析】
结合折叠性质和三角形重要线段的定义逐一分析：
1. 图①：沿AD折叠后AB与AB'重合，可得$∠ BAD=∠ B'AD$，即AD平分$∠ BAC$，因此AD是$△ ABC$的角平分线；
2. 图②：沿AD折叠后点B落在BC边上的$B'$处，可得$∠ ADB=∠ ADB'=90°$，即$AD⊥ BC$，因此AD是$△ ABC$的高；
3. 图③：沿AD折叠后点C与点B重合，可得$BD=CD$，即D是BC的中点，因此AD是$△ ABC$的中线。
综上，AD依次为角平分线、高、中线，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的角平分线，三角形的高，三角形的中线
【点评】
本题结合动手操作考查三角形重要线段的识别，核心是掌握三类线段的定义，结合折叠的性质判断即可，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
12.[整体思想]如图，O是$△ ABC$内一点，AO，CO分别平分$∠ BAC$，$∠ BCA$，$∠ O = 118°$，则$∠ B$的度数是
56°
。答案
12.56°
解析
【分析】
解题思路：首先从已知角度所在的△AOC入手，利用三角形内角和定理求出∠OAC与∠OCA的和；再结合角平分线的定义，得到△ABC中∠BAC和∠BCA的和；最后再次利用三角形内角和定理，即可求出∠B的度数。解题时无需单独计算每个小角的度数，用整体思想计算更简便。
【解析】
解：在△AOC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ OAC + ∠ OCA = 180° - ∠ AOC = 180° - 118° = 62°$
∵AO平分$∠ BAC$，CO平分$∠ BCA$
∴$∠ BAC = 2∠ OAC$，$∠ BCA = 2∠ OCA$
∴$∠ BAC + ∠ BCA = 2(∠ OAC + ∠ OCA) = 2×62° = 124°$
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B = 180° - (∠ BAC + ∠ BCA) = 180° - 124° = 56°$
【答案】
$56°$
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、整体代入计算
【点评】
本题是三角形角度计算的常见题型，核心是结合角平分线的性质和三角形内角和定理求解，解题时运用整体思想计算两角之和，可避免单独计算单个角的繁琐，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先从已知角度所在的△AOC入手，利用三角形内角和定理求出∠OAC与∠OCA的和；再结合角平分线的定义，得到△ABC中∠BAC和∠BCA的和；最后再次利用三角形内角和定理，即可求出∠B的度数。解题时无需单独计算每个小角的度数，用整体思想计算更简便。
【解析】
解：在△AOC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ OAC + ∠ OCA = 180° - ∠ AOC = 180° - 118° = 62°$
∵AO平分$∠ BAC$，CO平分$∠ BCA$
∴$∠ BAC = 2∠ OAC$，$∠ BCA = 2∠ OCA$
∴$∠ BAC + ∠ BCA = 2(∠ OAC + ∠ OCA) = 2×62° = 124°$
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B = 180° - (∠ BAC + ∠ BCA) = 180° - 124° = 56°$
【答案】
$56°$
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、整体代入计算
【点评】
本题是三角形角度计算的常见题型，核心是结合角平分线的性质和三角形内角和定理求解，解题时运用整体思想计算两角之和，可避免单独计算单个角的繁琐，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
13.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AC$边上的中线$BD$把$△ ABC$的周长分为24 cm和30 cm两部分，则$BC$的长为
14或22
cm.答案
13.14或22
解析
【分析】
本题考查等腰三角形与三角形中线的综合应用，解题思路如下：首先明确BD是AC的中线，因此AD=DC，BD将△ABC的周长分为两部分，分别是“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”，由于题目未说明哪部分周长为24cm、哪部分为30cm，因此需要分两种情况讨论，计算出边长后还要用三角形三边关系验证是否能构成三角形，排除不符合的结果。
【解析】
解：设$AB=AC=2x\ \mathrm{cm}$，$BC=y\ \mathrm{cm}$
∵BD是AC边上的中线
∴$AD=DC=x\ \mathrm{cm}$
BD分周长得到的两部分为$AB+AD$和$BC+CD$，分两种情况讨论：
情况1：$\begin{cases}2x+x=24\\x+y=30\end{cases}$
解第一个方程得$3x=24$，$x=8$
将$x=8$代入第二个方程得$8+y=30$，$y=22$
此时三边长为$AB=AC=16\ \mathrm{cm}$，$BC=22\ \mathrm{cm}$，满足$16+16＞22$，符合三角形三边关系。
情况2：$\begin{cases}2x+x=30\\x+y=24\end{cases}$
解第一个方程得$3x=30$，$x=10$
将$x=10$代入第二个方程得$10+y=24$，$y=14$
此时三边长为$AB=AC=20\ \mathrm{cm}$，$BC=14\ \mathrm{cm}$，满足$20+20＞14$，符合三角形三边关系。
【答案】
14或22
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形中线的定义；三角形三边关系
【点评】
本题属于等腰三角形的经典分类讨论题型，易错点是容易遗漏其中一种情况，或计算后忘记验证三边是否满足三角形的构成条件，解题时需注意分类的完整性和结果的合理性。
【难度系数】
0.6
本题考查等腰三角形与三角形中线的综合应用，解题思路如下：首先明确BD是AC的中线，因此AD=DC，BD将△ABC的周长分为两部分，分别是“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”，由于题目未说明哪部分周长为24cm、哪部分为30cm，因此需要分两种情况讨论，计算出边长后还要用三角形三边关系验证是否能构成三角形，排除不符合的结果。
【解析】
解：设$AB=AC=2x\ \mathrm{cm}$，$BC=y\ \mathrm{cm}$
∵BD是AC边上的中线
∴$AD=DC=x\ \mathrm{cm}$
BD分周长得到的两部分为$AB+AD$和$BC+CD$，分两种情况讨论：
情况1：$\begin{cases}2x+x=24\\x+y=30\end{cases}$
解第一个方程得$3x=24$，$x=8$
将$x=8$代入第二个方程得$8+y=30$，$y=22$
此时三边长为$AB=AC=16\ \mathrm{cm}$，$BC=22\ \mathrm{cm}$，满足$16+16＞22$，符合三角形三边关系。
情况2：$\begin{cases}2x+x=30\\x+y=24\end{cases}$
解第一个方程得$3x=30$，$x=10$
将$x=10$代入第二个方程得$10+y=24$，$y=14$
此时三边长为$AB=AC=20\ \mathrm{cm}$，$BC=14\ \mathrm{cm}$，满足$20+20＞14$，符合三角形三边关系。
【答案】
14或22
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形中线的定义；三角形三边关系
【点评】
本题属于等腰三角形的经典分类讨论题型，易错点是容易遗漏其中一种情况，或计算后忘记验证三边是否满足三角形的构成条件，解题时需注意分类的完整性和结果的合理性。
【难度系数】
0.6
14.如图,在△ABC中,AB=AC=8,P是边BC上任意一点,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,△ABC的面积为14,求PD+PE的值. 
答案
14.解:如图,连接AP,则$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$。
因为$PD⊥AB,PE⊥AC$,
所以$\frac{1}{2}AB · PD+\frac{1}{2}AC · PE=14$。
因为AB=AC=8,所以$PD+PE=\frac{7}{2}$。
解析
【分析】
要求PD+PE的值，已知△ABC的面积，且PD、PE分别是点P到AB、AC的垂线段，可考虑用面积法求解：连接AP，将△ABC分割为△ABP和△ACP两个小三角形，两个小三角形的面积之和等于△ABC的面积，结合已知的AB、AC的长度，代入面积公式即可建立关于PD+PE的等式，进而求出结果。
【解析】
解：如图，连接AP，则$ S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP} $。
因为$ PD⊥ AB $，$ PE⊥ AC $，根据三角形面积公式可得：
$ S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB · PD $，$ S_{△ ACP}=\frac{1}{2}AC · PE $
因此$ \frac{1}{2}AB · PD+\frac{1}{2}AC · PE=14 $。
又因为AB=AC=8，代入上式得：
$ \frac{1}{2}×8× PD + \frac{1}{2}×8× PE =14 $
整理得$ 4(PD+PE)=14 $，解得$ PD+PE=\frac{7}{2} $。
【答案】
$ PD+PE=\frac{7}{2} $
【知识点】
三角形面积计算，面积法应用，等腰三角形性质
【点评】
本题是面积法的典型应用，解题核心是通过作辅助线将原三角形分割为两个分别以PD、PE为高的小三角形，利用面积和的关系建立等式，无需分别求出PD和PE的长度即可得到二者之和，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
要求PD+PE的值，已知△ABC的面积，且PD、PE分别是点P到AB、AC的垂线段，可考虑用面积法求解：连接AP，将△ABC分割为△ABP和△ACP两个小三角形，两个小三角形的面积之和等于△ABC的面积，结合已知的AB、AC的长度，代入面积公式即可建立关于PD+PE的等式，进而求出结果。
【解析】
解：如图，连接AP，则$ S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP} $。
因为$ PD⊥ AB $，$ PE⊥ AC $，根据三角形面积公式可得：
$ S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB · PD $，$ S_{△ ACP}=\frac{1}{2}AC · PE $
因此$ \frac{1}{2}AB · PD+\frac{1}{2}AC · PE=14 $。
又因为AB=AC=8，代入上式得：
$ \frac{1}{2}×8× PD + \frac{1}{2}×8× PE =14 $
整理得$ 4(PD+PE)=14 $，解得$ PD+PE=\frac{7}{2} $。
【答案】
$ PD+PE=\frac{7}{2} $
【知识点】
三角形面积计算，面积法应用，等腰三角形性质
【点评】
本题是面积法的典型应用，解题核心是通过作辅助线将原三角形分割为两个分别以PD、PE为高的小三角形，利用面积和的关系建立等式，无需分别求出PD和PE的长度即可得到二者之和，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
[2026·合肥四十五中期中]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,点D沿CB自点C向点B运动(点D不与点C,B重合),作$BE⊥ AD$于点E,$CF⊥ AD$的延长线于点F.在点D的运动过程中,$BE+CF$的值 (
A.逐渐变小
B.逐渐变大
C.保持不变
D.无法确定
B
)A.逐渐变小
B.逐渐变大
C.保持不变
D.无法确定
答案
[拓展变式] B
解析
【分析】
要判断BE+CF的变化趋势，可借助面积法推导BE+CF的表达式：首先将固定的△ABC的面积拆分为△ACD和△ABD的面积之和，两个小三角形的高分别为CF和BE，底均为AD，据此可推出BE+CF与AD的数量关系；再分析点D从C向B运动时AD的长度变化，即可判断BE+CF的变化情况。
【解析】
连接AD，
∵ 点D在CB上，
∴ $ S_{△ ABC} = S_{△ ACD} + S_{△ ABD} $
∵ $ CF ⊥ AD $，$ BE ⊥ AD $，
∴ $ S_{△ ACD} = \frac{1}{2} · AD · CF $，$ S_{△ ABD} = \frac{1}{2} · AD · BE $
代入面积关系得：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AD · CF + \frac{1}{2} · AD · BE = \frac{1}{2} · AD · (BE + CF) $
整理得：$ BE + CF = \frac{2S_{△ ABC}}{AD} $
∵ $ Rt△ ABC $ 是固定图形，
∴ $ S_{△ ABC} $ 为定值，即分子 $ 2S_{△ ABC} $ 是定值。
当点D沿CB自C向B运动时，AD的长度逐渐减小（A到线段CB的连线中，垂线段AB最短，AD从AC的长度逐步减小到AB的长度）。
定值除以逐渐减小的正数，结果逐渐增大，因此BE+CF的值逐渐变大。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积计算，动点问题分析
【点评】
本题采用面积法将线段和的变化问题转化为分式的变化问题，简化了推导过程，是处理几何中多条垂线段和变化问题的常用思路。
【难度系数】
0.6
要判断BE+CF的变化趋势，可借助面积法推导BE+CF的表达式：首先将固定的△ABC的面积拆分为△ACD和△ABD的面积之和，两个小三角形的高分别为CF和BE，底均为AD，据此可推出BE+CF与AD的数量关系；再分析点D从C向B运动时AD的长度变化，即可判断BE+CF的变化情况。
【解析】
连接AD，
∵ 点D在CB上，
∴ $ S_{△ ABC} = S_{△ ACD} + S_{△ ABD} $
∵ $ CF ⊥ AD $，$ BE ⊥ AD $，
∴ $ S_{△ ACD} = \frac{1}{2} · AD · CF $，$ S_{△ ABD} = \frac{1}{2} · AD · BE $
代入面积关系得：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AD · CF + \frac{1}{2} · AD · BE = \frac{1}{2} · AD · (BE + CF) $
整理得：$ BE + CF = \frac{2S_{△ ABC}}{AD} $
∵ $ Rt△ ABC $ 是固定图形，
∴ $ S_{△ ABC} $ 为定值，即分子 $ 2S_{△ ABC} $ 是定值。
当点D沿CB自C向B运动时，AD的长度逐渐减小（A到线段CB的连线中，垂线段AB最短，AD从AC的长度逐步减小到AB的长度）。
定值除以逐渐减小的正数，结果逐渐增大，因此BE+CF的值逐渐变大。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积计算，动点问题分析
【点评】
本题采用面积法将线段和的变化问题转化为分式的变化问题，简化了推导过程，是处理几何中多条垂线段和变化问题的常用思路。
【难度系数】
0.6
1.如图，AD是$△ ABC$的中线，CE是$△ ACD$的中线，若$△ ABC$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，则$△ CDE$的面积为 （
A.$3\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\ \mathrm{cm}^2$
D.$8\ \mathrm{cm}^2$
A
）A.$3\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\ \mathrm{cm}^2$
D.$8\ \mathrm{cm}^2$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时利用三角形中线的性质：三角形的中线会将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先根据AD是△ABC的中线，求出△ACD的面积，再根据CE是△ACD的中线，进一步推导得出△CDE的面积即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴AD将△ABC分为两个面积相等的三角形，即$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=12\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}^2$。
又
∵CE是△ACD的中线，
∴CE将△ACD分为两个面积相等的三角形，即$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础的三角形面积计算题，核心是掌握三角形中线平分对应三角形面积的性质，按照中线的层级逐步推导面积即可，解题时注意不要混淆两次中线对应的三角形。
【难度系数】
0.8
解题时利用三角形中线的性质：三角形的中线会将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先根据AD是△ABC的中线，求出△ACD的面积，再根据CE是△ACD的中线，进一步推导得出△CDE的面积即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴AD将△ABC分为两个面积相等的三角形，即$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=12\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}^2$。
又
∵CE是△ACD的中线，
∴CE将△ACD分为两个面积相等的三角形，即$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础的三角形面积计算题，核心是掌握三角形中线平分对应三角形面积的性质，按照中线的层级逐步推导面积即可，解题时注意不要混淆两次中线对应的三角形。
【难度系数】
0.8
2. [2026·合肥新桥中学期中]如图，D是AB上一点，连接CD，E是CD的中点，连接AE，BE。若$△ ABC$的面积为8，则阴影部分的面积为
4
。答案
2.4
解析
【分析】
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线会将三角形分成两个面积相等的部分。首先观察图形可知E是CD的中点，因此AE是△ACD的中线，BE是△BCD的中线，由此可分别得到两个阴影三角形的面积和△ACD、△BCD的面积关系，再将两个阴影面积相加，结合△ACD与△BCD的面积和等于△ABC的面积，即可求出阴影部分的总面积。
【解析】
∵ E是CD的中点，
∴ AE是△ACD的中线，BE是△BCD的中线，
根据三角形中线的性质：三角形的中线平分三角形的面积，可得：
$ S_{△ ACE} = \frac{1}{2}S_{△ ACD} $，$ S_{△ BDE} = \frac{1}{2}S_{△ BCD} $，
∴ 阴影部分面积为：
$ S_{阴影} = S_{△ ACE} + S_{△ BDE} = \frac{1}{2}S_{△ ACD} + \frac{1}{2}S_{△ BCD} = \frac{1}{2}(S_{△ ACD} + S_{△ BCD}) $
又
∵ $ S_{△ ACD} + S_{△ BCD} = S_{△ ABC} = 8 $，
∴ $ S_{阴影} = \frac{1}{2} × 8 = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质，面积和差计算
【点评】
本题是三角形中线面积性质的基础应用题型，解题核心是将分散的阴影部分面积转化为大三角形面积的一半，体现了数学中的转化思想，掌握中线平分面积的性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线会将三角形分成两个面积相等的部分。首先观察图形可知E是CD的中点，因此AE是△ACD的中线，BE是△BCD的中线，由此可分别得到两个阴影三角形的面积和△ACD、△BCD的面积关系，再将两个阴影面积相加，结合△ACD与△BCD的面积和等于△ABC的面积，即可求出阴影部分的总面积。
【解析】
∵ E是CD的中点，
∴ AE是△ACD的中线，BE是△BCD的中线，
根据三角形中线的性质：三角形的中线平分三角形的面积，可得：
$ S_{△ ACE} = \frac{1}{2}S_{△ ACD} $，$ S_{△ BDE} = \frac{1}{2}S_{△ BCD} $，
∴ 阴影部分面积为：
$ S_{阴影} = S_{△ ACE} + S_{△ BDE} = \frac{1}{2}S_{△ ACD} + \frac{1}{2}S_{△ BCD} = \frac{1}{2}(S_{△ ACD} + S_{△ BCD}) $
又
∵ $ S_{△ ACD} + S_{△ BCD} = S_{△ ABC} = 8 $，
∴ $ S_{阴影} = \frac{1}{2} × 8 = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质，面积和差计算
【点评】
本题是三角形中线面积性质的基础应用题型，解题核心是将分散的阴影部分面积转化为大三角形面积的一半，体现了数学中的转化思想，掌握中线平分面积的性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
3.[2026·合肥肥东县期末]如图,在$△ ABC$中,$D,E,F$分别为$BC,AD,CE$的中点,且$S_{△ ABC}=20\ \mathrm{cm}^2$,则$S_{\mathrm{阴影}}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
答案
3.5
解析
【分析】
解题思路基于三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们从已知的$△ ABC$面积出发，依次利用D、E、F是各边中点的条件，逐步推导各级小三角形的面积：第一步先根据D是BC中点，求$△ ABD$和$△ ACD$的面积；第二步根据E是AD中点，求$△ BCE$的面积；第三步根据F是CE中点，即可求出阴影部分的面积。
【解析】
解：$\because$ D是BC的中点，AD是$△ ABC$的中线
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}^2$
$\because$ E是AD的中点，BE、CE分别是$△ ABD$和$△ ACD$的中线
$\therefore S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=5\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=5\ \mathrm{cm}^2$
$\therefore S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=5+5=10\ \mathrm{cm}^2$
$\because$ F是CE的中点，BF是$△ BCE$的中线
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
5
【知识点】
1. 三角形中线的面积性质
2. 等底同高三角形面积关系
3. 面积和差计算
【点评】
本题是典型的利用三角形中线性质求面积的题目，核心是理解中线平分三角形面积的原理，解题时按照中线的位置逐步推导各部分面积的比例关系即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.75
解题思路基于三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们从已知的$△ ABC$面积出发，依次利用D、E、F是各边中点的条件，逐步推导各级小三角形的面积：第一步先根据D是BC中点，求$△ ABD$和$△ ACD$的面积；第二步根据E是AD中点，求$△ BCE$的面积；第三步根据F是CE中点，即可求出阴影部分的面积。
【解析】
解：$\because$ D是BC的中点，AD是$△ ABC$的中线
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}^2$
$\because$ E是AD的中点，BE、CE分别是$△ ABD$和$△ ACD$的中线
$\therefore S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=5\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=5\ \mathrm{cm}^2$
$\therefore S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=5+5=10\ \mathrm{cm}^2$
$\because$ F是CE的中点，BF是$△ BCE$的中线
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
5
【知识点】
1. 三角形中线的面积性质
2. 等底同高三角形面积关系
3. 面积和差计算
【点评】
本题是典型的利用三角形中线性质求面积的题目，核心是理解中线平分三角形面积的原理，解题时按照中线的位置逐步推导各部分面积的比例关系即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.75
4.如图，在$△ ABC$中，点$D$在边$BC$上，且$BD=2DC$，$E$是$AC$的中点，$AD$，$BE$交于点$G$，连接$CG$。若$△ BGD$的面积是8，则$△ ABC$的面积是________。
答案
4.30
解析
【分析】
解题时先结合“同高三角形的面积比等于对应底的比”这一规律，由BD=2DC和已知△BGD的面积求出△CGD、△BGC的面积；再利用E是AC中点（中线平分三角形面积）的性质，推导得出△ABG和△BGC的面积相等，进而求出△ABD的面积；最后再次利用BD和DC的比例关系求出△ADC的面积，两部分相加即可得到△ABC的总面积。
【解析】
1. 已知BD=2DC，△BGD和△CGD同高，因此面积比等于底的比，即$S_{△ BGD}:S_{△ CGD}=BD:DC=2:1$。
因为$S_{△ BGD}=8$，所以$S_{△ CGD}=8÷2=4$，可得$S_{△ BGC}=S_{△ BGD}+S_{△ CGD}=8+4=12$。
2. 因为E是AC的中点，所以AE=EC：
△ABE和△CBE同高，故$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}$；△AGE和△CGE同高，故$S_{△ AGE}=S_{△ CGE}$。
两式相减可得$S_{△ ABE}-S_{△ AGE}=S_{△ CBE}-S_{△ CGE}$，即$S_{△ ABG}=S_{△ BGC}=12$。
3. 因此$S_{△ ABD}=S_{△ ABG}+S_{△ BGD}=12+8=20$。
4. 又△ABD和△ADC同高，$S_{△ ABD}:S_{△ ADC}=BD:DC=2:1$，所以$S_{△ ADC}=20÷2=10$。
5. 最终$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=20+10=30$。
【答案】
30
【知识点】
三角形面积与底高的关系，三角形中线的性质
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，核心是灵活运用同高三角形的面积比例规律、三角形中线平分面积的性质，通过逐步推导各小三角形的面积关系求解总面积，重点考查逻辑推理和面积转化的能力。
【难度系数】
0.6
解题时先结合“同高三角形的面积比等于对应底的比”这一规律，由BD=2DC和已知△BGD的面积求出△CGD、△BGC的面积；再利用E是AC中点（中线平分三角形面积）的性质，推导得出△ABG和△BGC的面积相等，进而求出△ABD的面积；最后再次利用BD和DC的比例关系求出△ADC的面积，两部分相加即可得到△ABC的总面积。
【解析】
1. 已知BD=2DC，△BGD和△CGD同高，因此面积比等于底的比，即$S_{△ BGD}:S_{△ CGD}=BD:DC=2:1$。
因为$S_{△ BGD}=8$，所以$S_{△ CGD}=8÷2=4$，可得$S_{△ BGC}=S_{△ BGD}+S_{△ CGD}=8+4=12$。
2. 因为E是AC的中点，所以AE=EC：
△ABE和△CBE同高，故$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}$；△AGE和△CGE同高，故$S_{△ AGE}=S_{△ CGE}$。
两式相减可得$S_{△ ABE}-S_{△ AGE}=S_{△ CBE}-S_{△ CGE}$，即$S_{△ ABG}=S_{△ BGC}=12$。
3. 因此$S_{△ ABD}=S_{△ ABG}+S_{△ BGD}=12+8=20$。
4. 又△ABD和△ADC同高，$S_{△ ABD}:S_{△ ADC}=BD:DC=2:1$，所以$S_{△ ADC}=20÷2=10$。
5. 最终$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=20+10=30$。
【答案】
30
【知识点】
三角形面积与底高的关系，三角形中线的性质
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，核心是灵活运用同高三角形的面积比例规律、三角形中线平分面积的性质，通过逐步推导各小三角形的面积关系求解总面积，重点考查逻辑推理和面积转化的能力。
【难度系数】
0.6
