5. 学科特色 方程思想「2026云南玉溪期中，★★☆」如图,在$△ ABC$中,$AC=2BC$,点$D,E$分别是$AC,AB$的中点,将$△ ADE$绕点$E$旋转$180°$得到$△ BFE$,连接$BD,CF$.
(1)求证:四边形$BCDF$是菱形.
(2)若$AC=6$,$BD+FC=7$,设四边形$BCDF$的面积为$S$,求$S$的值.

(1)证明:
∵ 点 D 是 AC 的中点,
∴ AD=CD,AC=2CD,
∵ AC=2BC,
∴ CD=BC,
由旋转的性质可得 BF=AD,∠A=∠FBE,
∴ BF//CD,BF=CD,
∴ 四边形 BCDF 是平行四边形,
∵ CD=BC,
∴ 平行四边形 BCDF 为菱形.
(2)设 BD 和 CF 的交点为 O,
∵ AC=6,
∴ BC=$\frac{1}{2}AC=3$,
设 BD=x,CF=y,则 x+y=7,
由(1)得四边形 BCDF 是菱形,
∴ CF⊥BD,OB=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}x$,OC=$\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}y$,
∴ $OC^2+OB^2=BC^2$,
∴ $(\frac{1}{2}y)^2+(\frac{1}{2}x)^2=9$,
∴ $x^2+y^2=36$,
∵ $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$,
∴ $7^2-2xy=36$,
∴ $xy=\frac{13}{2}$,
∴ $S=\frac{1}{2}xy=\frac{13}{4}$.

6.「2025福建厦门湖里期中，★★☆」如图,已知正方形ABCD和Rt△ABE, ∠AEB=90°,将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF(点A和C是对应点,点B和D是对应点).
(1)用无刻度的直尺和圆规作出点O和△CDF.
(2)延长DF交AE于点N,求证:△NEF为等腰直角三角形.

(1)如图,连接 AC 和 BD,则它们的交点为旋转中心 O,连接 EO 并延长至点 F,使 FO=EO,连接 DF,CF,点 O 和△CDF 即为所求.

(2)证明:如图,延长 BE 交 CF 于点 M,
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ AD=DC,∠ADC=90°,OA=OC,
∵ OE=OF,∠AOE=∠COF,
∴ △AOE≌△COF(SAS),
∴ ∠EAO=∠FCO,
∴ AE//CF,
∴ ∠ENF=∠CFD=∠AEB=90°,
∴ ∠NAD+∠ADN=90°,
∵ ∠ADN+∠CDF=90°,
∴ ∠DAN=∠CDF,
∴ △ADN≌△DCF(AAS),
由旋转的性质可知△CDF≌△ABE,
∴ △ADN≌△DCF≌△BAE,
∴ AN=BE=DF,AE=CF=DN,
∴ NE=FN,
∵ ∠ENF=90°,
∴ △NEF 为等腰直角三角形.