3.「2026 天津滨海新区期中，★★☆」如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=BC$,D为AB上一点,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转$90°$得到线段CE,连接AE.
(1)求证:$△ BCD≌△ ACE$.
(2)连接ED,若$CD=2\sqrt{2},AE=1$,求AD的长.

(1)证明:由旋转的性质可得 EC=DC,∠ECD=90°=∠ACB,
∴ ∠BCD=∠ACE,
∵ AC=BC,
∴ △BCD≌△ACE(SAS).
(2)由旋转的性质可得 CE=CD=2√2,
在 Rt△DCE 中,$DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$,
∵ ∠ACB=90°,AC=BC,
∴ ∠CAB=∠B=45°,
由(1)得△BCD≌△ACE,
∴ ∠EAC=∠B=45°,
∴ ∠EAD=∠EAC+∠CAB=90°,
∴ $AD=\sqrt{DE^2-AE^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$.

4.「2026福建厦门海沧一模，★★☆」将$△ ABC$绕点$A$顺时针旋转$90°$得到$△ ADE$，点$B$的对应点为$D$，点$C$的对应点为$E$，连接$CE$，将线段$CB$绕点$C$逆时针旋转$90°$得到线段$CM$，连接$MD$交$CE$于点$N$.
(1)如图，若$∠ DAE=40°,∠ B=125°$,求$∠ BCE$的度数.
(2)如图，若$∠ ABC=90°,AB=5,BC=12$,求线段$DN$的长度.

(1)由旋转的性质得 ∠BAC=∠DAE=40°,∠CAE=90°,AC=AE,
∴ ∠ACE=∠AEC=$\frac{1}{2}(180°-∠CAE)=45°$,
∵ ∠B=125°,
∴ ∠ACB=180°-∠B-∠BAC=15°,
∴ ∠BCE=∠ACE-∠ACB=30°.
(2)由旋转的性质得 AD=AB=5,DE=BC,CM=CB=12,∠BCM=∠BAD=90°,∠ADE=∠ABC=90°,
∴ △ABD 和△BCM 都是等腰直角三角形,
∴ ∠ADB=∠ABD=45°,∠CBM=∠CMB=45°,
∴ ∠ABD+∠ABC+∠CBM=180°,
∴ B,D,M 三点共线,由勾股定理得 $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=5\sqrt{2}$,
$BM=\sqrt{BC^2+CM^2}=12\sqrt{2}$,
∴ $DM=BD+BM=17\sqrt{2}$.
∵ ∠EDM=∠ADE-∠ADB=45°,
∴ ∠CMN=∠EDN.又
∵ CM=CB=DE,∠CNM=∠END,
∴ △CNM≌△END(AAS),
∴ DN=MN=$\frac{1}{2}DM=\frac{17\sqrt{2}}{2}$.